第四章 第4节 有理函数的积分

考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

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考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

0 第四章 不定积分

性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

1 第一节 不定积分的概念与性质

一、原函数的定义

原函数：若对于,有或,称为在区间内的原函数。

Ix)()(xfxFdxxfxdF)()()(xF)(xfI考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

2

原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。 )(xfI)(xFxI)()(xfxF考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

3 【例1】设是在上的一个原函数,则在上（ )

（A）可导 （B）连续

（C)存在原函数 （D)是初等函数

【答案】（C）

)(xF)(xf(,)ab()()fxFx(,)ab考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

4

【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为

（A）. （B）。

（C）。 （D).

【答案】（B）

)(xfxsin)(xfxsin1xsin1xcos1xcos1考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

44有理函数的积分知识讲解

有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。下面将介绍有理函数积分的知识。

一、分式分解

要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。

分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。

二、基本积分公式

有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。常用的基本积分公式有以下几种：

1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$

三、换元积分法

针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。

四、分步积分法

对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。然后，用分部积分法求解原式的积分。

3 / 9 第4节 可有理化函数的不定积分

4.1三角函数有理式的不定积分

设(sin,cos)Rxx是sin,cosxx的有理分式，要做积分(sin,cos)Rxxdx。

作变换tan2xt。

2222222112111tan,cos,1cos,cos122111cos2xxtxxxttt221cos1txt

2221sin2sincos2tancos(1cos)122221xxxxtxtxtt

22sin1txt

221dxdtt

2222212(sin,cos),111ttRxxdxRdtttt

变成了有理函数的积分。以上这些公式，可以背下来，也可以练熟推导过程需要时推出来。tan2xt总可以把三角函数有理式的不定积分变为有理函数的积分。因此称它为万能变换。从上面可以看出，虽然用万能变换总可以把积分做出来，但是它非常麻烦。因此万能变换只能是最后一招。

【例4.1】 求不定积分d2sincos5xxx．

解、用万能变换tan2xt。22sin1txt，221cos1txt，221dxdtt。

22222222112412sincos51511111111313223355311515333tan113112arctanarctan5555dxdtttxxttttdtdtdttttxtCC

【例4.2】 求不定积分3sind1cosxxx．

解、322sinsin1coscoscos1cos1cos1cosxxxdxdxdxxxx

21cos1coscoscos2xdxxxC

（注意：我们这里没有用万能变换。如果用万能变换麻烦就大了。）

1 高等数学教学教案

第4章 不定积分

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第4章 第1节 不定积分的概念与性质 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 原函数与不定积分的概念，直接积分法 教学难点 直接积分法

参考教材 作业布置 课后习题

大纲要求 1．理解原函数与不定积分的概念，了解原函数存在定理.

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质.

教 学 基 本 内 容

4.1.1原函数与不定积分的概念

1.原函数的定义

定义4.1设函数()Fx与()fx在区间I上有定义，并且在该区间内的任一点都有()()Fxfx或d()()dFxfxx,那么函数)(xF就称为函数)(xf在区间I上的一个原函数．

定理4.1（原函数存在定理）若函数()fx在区间I上连续，则在该区间上一定存在可导函数()Fx ，使得对任意xI 都有()()Fxfx．即区间上的连续函数一定有原函数．

注 （1）若)(xF是)(xf在区间I上的一个原函数，即)('xF=)(xf，则CxF)(也是)(xf在区间I上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.

（2）()fx的任意两个原函数只相差一个常数.设函数()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，那么()fx在区间I上的任意一个原函数可以表示为()FxC，其中C是任意常数．

2.不定积分的定义

定义4.2 在区间I上，函数()fx的全体原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记 2 作()dfxx.其中称为积分号，()fx称为被积函数，()dfxx称为被积表达式，x称为积分变量．

4.1.2不定积分的几何意义

不定积分()dfxx的几何意义就是，其表示了()fx的一族积分曲线()yFxC.这族积分曲线可由积分曲线()yFx向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.