第四节 有理函数的不定积分

[不定积分公式]不定积分公式总结篇一 : 不定积分公式总结1不定积分小结一、不定积分基本公式xa+11?xdx=+Ca??1 ?dx=ln|x|+Ca?adx=+C ?sinxdx=?cosx+C lna?cosxdx=sinx+C ?tanxdx=?ln|cosx|+C?cotxdx=ln|sinx|+C ?secxdx=ln|secx+tanx|+C?cscxdx=ln|cscx?cotx|+C ?sec2xdx=tanx+C ?csc2xdx=?cot x+C ???dxdx 1xdx1+x2dxxax=arctanx+C1a?x=aarctana+C ?x?a=2aln|a+x+C x+a=2aln|a?x|+C ?a?x1a+x=arcsin??+??=ln|??+??????|+??=arcsin??+?? ??2xax??a2?x2dx=?a2?x2+arcsin+C2xa??dx=??ln|??+?+??二、两个重要的递推公式 ????=??????????????? ?cos???????????1?????1 则????=+?????2易得????:n为奇数时，可递推至D1=?sinxdx=?cosx+C; n为偶数时，可递推至D2=?sin2xdx=2?????????=?1??2???1则????+1=+????易得????可递推至??1=?x+a=aarctana+Cdx1xxsin2x4+C;2三、普遍方法换元积分法:第一类换元积分法这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

[,首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子x例1: 注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。

x=11?+1d11=?+ 1=??5+x?x+dx2??xx3dx ?dx=?1242d1d1=???后面套公式就好啦21?dx dx1dxd?=?=? 例3:?31d?=arctan+C 2+tan2x接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。

第4章不定积分一元函数积分学是一元函数微积分学的另一重要组成部分，包括不定积分，定积分和定积分的应用•不定积分的概念是由研究导数问题的逆问题而引入的，定积分的概念则是由研究微小量的无限累加问题而引入•这是一元函数积分学的两个基本问题，它们似乎互不相干，却可以通过微积分基本公式密切地联系起来.本章介绍不定积分的基本概念、性质及求不定积分的基本方法.§ 1不定积分的概念一、原函数的概念已知一个函数，求它的导数或微分，是微分学所研究的最基本的问题•在许多实际应用中，还会碰到它的逆问题•例如，从微分学知道，若已知曲线方程为y二f (x)，则可求出该曲线在任一点(x, f(x))处切线的斜率f(X).现假设知道某一曲线上在任一点处切线斜率为2x，且曲线经过原点，则如何求出此曲线方程？又如，若作变速直线运动的质点的位置函数为s =s(t)，则质点在任一时刻的瞬时速度为s (t).现若知道从静止状态开始作变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度为at，则如何求出它的位置函数s = s(t) ?以上两个例子，研究对象虽属于不同范畴，但本质上都是已知某一函数的导数，要求该函数表达式的问题.为了解决这类问题，我们引入原函数的概念.定义1设f (x)是定义在区间I (有限或无穷)上的已知函数，如果存在函数F(x), 使得对区间I上任一点x，恒有F (x)二f (x)或dF (x)二f (x)dx ,则称F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数.1 1例如，当(-1,1)时，因为(arcsin x)：一-------- ，所以arcsinx是在区间J l-x2穴(-1,1)上的一个原函数.当X，(」：，=)时，因为(X2T=2X，所以X2是2x在(」：，=)上的一个原函数.当x • (—□•：：)时，因为(x2 1) = 2x，所以X21是2X在(-：：,•：：) 上的一个原函数•从上述后面两个例子可见，2X的原函数是不唯一的.一般地，若F(x)是f (X)在区间I上的一个原函数，由于常数的导数是零，所以对任意常数C，F(X) C也是f (X)在区间I上的一个原函数•因此，如果函数 f (X)存在原函数，则它的原函数必有无穷多个•为此需要讨论两个问题：(1 )一个函数满足什么条件才有原函数？(2)如果函数f(x)有原函数，它的无穷多个原函数相互之间有什么关系？对于上述两个问题，我们有以下两个结论：定理1 (原函数存在定理) 如果函数在某区间上连续，那么它在该区间上必定存在原函数.简单的叙述是：连续函数必定有原函数. 定理的证明将在下一章给出. 需要指出的是，因为一切初等函数在其定义区间上都是连续的，所以每个初等函数在其定义区间上都有原函数.定理2 (原函数族定理) 若F(x)是f (x)在某区间上的一个原函数，则F(x) • C是f (X)在该区间上的全部原函数，其中C是任意常数.证一方面，由于F(X)是f (X)的一个原函数，即F (x)二f (x) •因此对任意常数C , I.F(X)C\ - f (X)，即F(X) C 都是f (X)的原函数.另一方面，若G(X)是f (X)的任意一个原函数，即G(x)二f(x)，则由第3章§ 1定理2的推论2可得，G(X)与F(x)最多相差一个常数，即G(X HF(X) C •由以上两个方面可得，F(x)是f (X)在该区间上的全部原函数，其中C是任意常数.证毕.二、不定积分的概念定义2设F(X)是f (X)在区间I上的一个原函数，贝U F(X) C ( C是任意常数)称为f (X)在区间I上的不定积分，记为.f (x)dx，即f (x)dx 二F(x) C ,其中 称为积分号,f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数.例 1 求 3x 2dx .解 因为(x3) =3x 2，所以 3x 2dx = x 3• C .例 2 求 sin xdx .解因为 (_cosx)" = sinx ,所以 Jsinxdx = —cosx + C .1 例3求 2dx . 1+x 21解 因为(arctanx) 2，所以1 +x三、不定积分的几何意义设F(x)是f(x)的一个原函数，那么方程y 二F(x)的图形是平面直角坐标系上的一条曲线，称为f (x)的一条积分曲线.将这条积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动，就可以得到 f (x)的无穷多条积分曲 线，它们构成一个曲线族，称为f (x)的积分曲线族.不定积分.f(x)dx 的几何意义就是一个积分曲线族•它的特点是： 在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线斜率相等，都是 f(x),即各切线相互平行(如图4-1).在求f (x)的所有原函数中，有时需要确定一个满足条件y(x 0)=y 0的原函数，也就是求通过点(X o ,y 。

第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。