高考文数热点题型和提分秘籍 专题07 二次函数与幂函数(解析版)

- 1 - 专题07 二次函数与幂函数-

【高频考点解读】

1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点．

2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题，重点考查三者之间的综合应用．

3.高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的概率较低．

4.题型以选择题、填空题为主，若与导数、解析几何知识交汇，

【热点题型】

题型一 二次函数的图象

例1、设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(

)

【提分秘籍】

分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．

【举一反三】

已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(

)

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【热点题型】

题型二 二次函数性质

例2、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；

(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

【提分秘籍】

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类

型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；

(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

【举一反三】

- 3 - 已知函数f(x)＝ x2－2ax＋3a2－1(a＞ 0,0≤x≤1)，求f(x)的最大值和最小值．

【热点题型】

题型三 幂函数的图象和性质

已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数f(x)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

【提分秘籍】

本题集幂函数的概念、图象及单调性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．

1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值．

当－b2a＜m时，函数在区间[m，n]上单调递增，最小值为f(m)，最大值为f(n)．

当m≤－b2a≤n时，最小值为f(－b2a)＝4ac－b24a，最大值为f(m)或f(n)(m，n与－b2a距离较

- 4 - 远的一个对应的函数值为最大值)．

当－b2a＞n时，函数在区间[m，n]上单调递减，最小值为f(n)，最大值为f(m)．

2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的相互转化．

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．

3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．

【举一反三】

已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；

(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

【热点题型】

题型四 分类讨论思想在二次函数中的应用

例4、已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．

(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；

- 5 - (2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

【提分秘籍】

- 6 - 在研究有关二次函数最值时一般用到分类讨论思想，一是对二项式系数a进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．具体运用时一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

【举一反三】

已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2(a＞0)在区间[0,1]内有一个最大值－5，则a的值为________．

【高考风向标】

1．（2014·江苏卷） 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．

2．（2014·全国卷） 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．

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3．（2014·全国新课标卷Ⅰ）设函数f(x)＝ex－1，x＜1，x13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．

【随堂巩固】

1．设函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．

2．已知点12，2在幂函数y＝f(x)的图象上，点－2，14在幂函数y＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝________.

3．当a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．

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4．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案 [－3,1]

5．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．

6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利

- 9 - 润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．

7．已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](a

8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为－32，49，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．

9．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为________．

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10．已知函数f(x)＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，则T＝3a2＋b的取值范围为________．

11．已知函数f(x)＝x|x－2|.

(1)写出f(x)的单调区间；

(2)解不等式f(x)＜3；

(3)设0＜a≤2，求f(x)在[0，a]上的最大值．

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12．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.

(1)若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；

(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．

综上所述：实数m的取值范围是[－1,0]∪[2，＋∞)

13．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，

- 12 - 集合A＝{x|f(x)＝x}．

(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；

(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．

14．已知13≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．

(1)求g(a)的函数表达式；

(2)判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值．

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