用样本方差估计总体方差

第2课时 用样本方差估计总体方差

1．会用样本方差估计总体方差；(重点、难点)

2．体会样本代表性的重要意义．

一、情境导入

某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：

队员

每人每天进球数

甲 10 6 10 6 8

乙 7 9 7 8 9

他们的平均进球数都是8，现在从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？

二、合作探究

探究点一：用样本方差估计总体方差

【类型一】 质量问题

两台机床同时生产直径(单位：mm)为10的零件，为了检验产品的质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：

机床甲 8 9 10 11 12

机床乙 7 10 10 10 13

如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识来判断这两台机床生产的零件的质量优劣？

解析：求出每组数据的平均数，根据方差公式求出每组的方差，然后根据方差的大小进行比较．

解：x甲＝15(8＋9＋10＋11＋12)＝10(mm)，x乙＝15(7＋10＋10＋10＋13)＝10(mm)．由于x甲＝x乙，因此平均直径不能反映两台机床生产出的零件的质量优劣；

再计算方差，可得s2甲＝2，s2乙＝3.6，

∵s2甲

从众数来看，甲机床只有1个零件的直径是10mm，而乙机床有3个零件的直径是10mm，∴从众数的角度看，乙机床生产的零件质量更好一些．

方法总结：解决此题，要先分别计算两组数据的平均数，只有在平均数相等或非常接近的情况下，才能利用方差的大小判断数据的稳定性．

【类型二】 产量问题 在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的产量如下(单位：kg)：

甲：402，492，495，409，460，420，456，501；

乙：428，466，465，428，436，455，449，459.

哪种水稻的平均产量较高？哪种水稻的产量比较稳定？

解析：要比较哪种水稻的产量稳定，需比较两种水稻产量的方差．

解：x甲＝18(402＋492＋495＋409＋460＋420＋456＋501)＝454.375(kg)，

x乙＝18(428＋466＋465＋428＋436＋455＋449＋459)＝448.25(kg)，

s2甲＝18[(402－454.375)2＋(492－454.375)2＋…＋(501－454.375)2]≈1407，

s2乙＝18[(428－448.25)2＋(466－448.25)2＋…＋(459－448.25)2]≈216.

因为x甲>x乙，所以甲种水稻的平均产量较高；又因为s2甲>s2乙，所以乙种水稻比甲种水稻的产量稳定，由此可估计乙种水稻的产量比较稳定．

方法总结：方差越小，产量越稳定．当样本具有代表性时，可用样本方差去估计总体方差．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型三】 比赛成绩问题

如图所示是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图，则下列说法正确的是( )

A．甲比乙的成绩稳定

B．乙比甲的成绩稳定

C．甲、乙两人的成绩一样稳定

D．无法确定谁的成绩更稳定

解析：∵x甲＝8×4＋9×2＋10×410＝9(环)，x乙＝8×3＋9×4＋10×310＝9(环)，s2甲＝110×[4×(8－9)2＋2×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝0.8，s2乙＝110×[3×(9－8)2＋4×(9－9)2＋3×(10－9)2]＝0.6，∵x甲＝x乙，s2甲>s2乙，∴乙比甲的成绩稳定．故选B.

方法总结：从统计图中读取数据信息是解决本题的前提．方差是反映数据稳定性的统计量，方差越小，数据稳定性越好．

探究点二：根据方差做决策

【类型一】 根据方差做决策

某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据(单位：个).

统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？

解析：平均数＝总成绩÷学生人数；中位数是按次序排列后的第3个数．根据方差的计算公式得到数据的方差．

解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；

x甲＝15×500＝100(个)，x乙＝15×500＝100(个)；

s2甲＝15[(89－100)2＋(100－100)2＋(96－100)2＋(118－100)2＋(97－100)2]＝94，

s2乙＝15[(100－100)2＋(96－100)2＋(110－100)2＋(90－100)2＋(104－100)2]＝46.4；

甲班的优秀率为2÷5×100%＝40%，乙班的优秀率为3÷5×100%＝60%；

答：应选乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较高．

方法总结：在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看方差的大小，还要分析变化趋势，进行综合分析，从而做出科学的决策．

【类型二】 结合方差与图表信息解决问题

为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间 ，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．

根据上述信息，解答下列各题：

(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；

(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；

(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如下表)．

统计量 平均数

(次) 中位数

(次) 众数

(次) 方差

该班级男生

收看人数 3 3 4 2

根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．

解析：(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数；(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可；(3)比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．

解：(1)20人 3

(2)该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为1320×100%＝65%，所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人，则x－（1＋3＋6）x＝60%，解得x＝25，

答：该班级男生有25人；

(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为1×2＋2×5＋3×6＋4×5＋5×220＝3，女生收看“两会”新闻次数的方差为22222532435336235132201＝1310，因为2＞1310.所以男生收看“两会”新闻次数的波动幅度比女生收看“两会”新闻次数的波动幅度大．

方法总结：解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部分的具体数据，从图表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确地识图表、用图表．

三、板书设计

本节课学习了用样本方差来估计总体方差，注意样本的选择应具有代表性．教学过程中通过实例的讲解感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想， 1号 2号 3号 4号 5号 总数

甲班 89 100 96 118 97 500

乙班 100 96 110 90 104 500 增强学生的探索推理能力以及逻辑思维能力.