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【精品】第一章基本概念

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资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 1 / 10 第一章基本概念

§1微分方程及其解的定义 一．[内容简介] 本节结合常微分方程的实例,讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语。 二．［关键词］常微分方程，微分方程的通解，初始条件，特解 三．［目的与要求] 1．正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.

2．了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题。

四．［教学过程] §1微分方程及其解的定义 一．何谓微分方程 这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方程说起. 在代数中我们研究过求解高次代数方程

00111axaxaxannnn

。

代数方程——含有一个变元的关系式，即由已知数nnaaaa,,,,110

与未知数x组成的等式，运算资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 2 / 10 有：,,,,乘方，，它的解是数。由代数基本定理知道，它的解只有有限个。

在数学分析中也研究过由隐式0),(yxF确定的隐函数)(xy的问题. 函数方程--至少含有两个变元的关系式,即由自变量x和函数y组成的等式。运算有,,,,函数运算,.它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限. 定义1所谓微分方程，就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式。 例如，tdtdx2，)1.1(

0dy，)2.1( )0(13xxyxdx

dy，)3.1(

21ydxdy，)4.1(

xyyy'''，)5.1(

0...xax，)6.1(

uyuyxux

，)7.1(

以上这些都是微分方程. 只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上

例)1.1(—)6.1(都是常微分方程，)7.1(是偏微分方程。方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 10 方程的阶。例如，)1.1(，)2.1(，)3.1(，)4.1(，)7.1(是一阶方程，)5.1(和)6.1(是二阶方程. 一般n阶常微分方程具有形式 0),,,,()('nyyyxF)8.1(

或者是显式 ),,,,()1(')(nnyyyxfy)9.1(

由代数方程引出微分方程，问题是出现了什么新东西？ 二．微分方程的有关概念 1．微分方程的线性与非线性 ⅰ）线性微分方程

如果)8.1(式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称)8.1(为n阶线性常微分方程. ⅱ)非线性微分方程 不是线性微分方程的，称为非线性微分方程。 n阶线性常微分方程的一般形式是

)()()()()1(1)(0xgyxayxayxannn

，)10.1(

其中)(),(,),(),(10xgxaxaxan

都是已知的实值连续函数.

在上例中，)1.1(,)2.1(,)3.1(，)6.1(，)7.1(是线性的,)4.1(，)5.1(是非线性的。 2．微分方程的解 微分方程的解是一个函数,函数就有定义域,设为区间I。

定义2设函数)(xy在区间I上连续,且有直到n阶导数,若用,),(),('xx

)()(xn分别代替方程)8.1(中的)(',,,nyyy后，使)8.1(在I内为关于x的恒等式，即

0)(,),(),(,)('xxxxFn,

则称函数)(xy为方程)8.1(在区间I上的一个解。 以后我们讨论的函数都是实的单值函数,解)(xy的直到n阶的导数不仅存在而且连续.为了方便,当函数)(x在区间I内具有直到n阶连续微商时,常简记为)()(ICxn，或者nCx)(.C表示)(x在区间I内连续。

例1求微分方程)(xfdxdy的解,其中Cxf)(. 解在数学分析中就是求函数)(xf的原函数)(xy，故只需要在上式两端关于自变量x积分，便得到资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 3 / 10 Cdxxfxy)()()11.1(

这里C是任意常数,显然不论C取任何值,上式都是方程的解。 从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解.给C一个确定的值,就得到方程的一个解。 3．通解和特解

因为方程)(xfdxdy的任一确定的解，必有)11.1(的形式（但其中的C取特定的值），故)11.1(称为此方程的通解，当C取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解。一般地，我们有： 定义3设n阶微分方程)8.1(的解),,,,(21ncccxy包含n个独立的常数nccc,,,21

,则称它为

n阶微分方程)8.1(的通解;若)8.1(的解)(xy不包含任意常数,则称它为特解.

从通解的定义可以看出,通解包含了方程的无穷多个解,它是解的一般表达式，但有例子可以说明，通解不一定是方程的全部解。

这里称n个任意常数nccc,,,21是独立的,其含意是)1(',,,n关于nccc,,,21

的雅可比

(Tacobi)行列式

0,,,,,,)1(2)1(1)1('2'1'2121)1('

nnnnn

n

nn

cccccc

ccc

cccDD





。

显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解.如例2中，当0xx时，00)(yxyxx。这里取0yC,则有特解xxdttfyxy0)()(0.我们把00)(yxyxx称为附加条件。可见确定一个特定的解一

般是要附加条件的。 4．初值条件、初值问题 例3在只有重力的作用下,求落体在铅直方向的运动规律。 设落体的运动只在重力作用下进行，不考虑空气阻力等其他外力的作用，此时落体作垂直于地面的自由落体运动。如图1。1.

取坐标轴y从地面垂直向上,问题是：落体B的位置坐标)(tyy如何随时间t变化？

在运动过程中，落体只受重力F的作用,设落体的质量是m，则mgF，其中g是重力加速度，这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与y轴的正方向相反。 因为)(tyy表示B的位置坐标，所以它对t的一阶导数)(''tyy表示B的瞬时速度)(tvv；而

二阶导数)(''''tyy则表示B的瞬时加速度)(taa.由牛顿第二运动定律，有maF，故得mgtmy)('',资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 4 / 10 这样可得一个微分方程

gty)(''（1。12）

为了得出落体的运动规律，需要求解这个微分方程. 在(1.12）两侧对t积分一次，得

1')(Cgtty（1。13）

其中1C是一个任意常数，再把（1.13)对t积分一次,就得

2122

1)(CtCgtty（1。14）

其中2C是另一个任意常数。可知（1.14)是微分方程（1.12）的通解. 通解（1。14)就表示自由落体的运动规律，在（1。14）中含有两个任意常数。这说明微分方程(1。12）有无穷多个解。 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件：

0)0(yy，0')0(vy（1。15）

将条件（1。15）分别代入（1.13）和（1。14),可得02yC，01vC。 这样，在初值条件（1.15）下，从微分方程（1。12)唯一地确定了一个解

0022

1)(ytvgtty(1.16）

它就描述了具有初始高度0y和初始速度0v的自由落体运动。 称（1。16）是初值问题





0'0'')0(,)0(vyyygy

（1。17）

的解,初值问题又叫柯西问题。 由以上简单实例可以看出: 1．微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分。由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因此仅从微分方程本身求求解（不考虑定解条件），则n阶微分方程的解应该包含n个任意常数. 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是从这种瞬时规律出发,去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动的一个初始状态(即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未来，同时也可以追朔它的过去。

3．一般对n阶微分方程)8.1(的初值问题的提法是：

)1(00)1('00'00)(,,)(,)(nn

yxyyxyyxy(1.18)

于是n阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：





)1(00)1('00'00)(')(,,)(,)(0),,,,(nnnyxyyxyyxyyyyxF



（1.19）

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第一章直线运动(高中物理基本概念归纳整理)

第一章直线运动(高中物理基本概念归纳整理)


二.匀变速直线运动的规律
1.匀速直线运动：瞬时速度保持不变的运动（匀速运动就是匀速 直线运动，匀速是指速度大小方向都不变）。位移公式：x=vt
注意： ①匀速直线运动平均速度、瞬时速度相等 ②匀速直线运动，任意相等时间内位移均相同 ③在x-t图像中匀速直线运动为倾斜直线 ④在v-t图像中匀速直线运动为水平直线
9.图像问题： x-t图像、v-t图像、a-t图像、v-x图像、 x-v2图像、x/t-t图像、 a-x图 像（转换成F-x图像处理）、1/v-x图像……
二.匀变速直线运动的规律
10.自由落体运动：物体只在重力作用下，由静止开始下落的运动，
叫做自由落体运动。
条件：①只受重力，②初速度为零
性质：初速度为零的匀变速直线运动
3.参考系：要描述物体的运动，要选定某个其他物体作为参考， 这种用来作为参考的物体叫做参考系。
注意： 参考系的选取是任意的，物体是否运动与参考系的选取有关。参考系选取得当，会使问 题的研究简洁，方便。一般以地面为参考系。
一.运动的描述
4.坐标系：为了定量的描述物体的位置及位置变化，需要在参考 系上建立适当的坐标系。
2.匀变速直线运动：在任意相等时间内速度的改变量均相同的运 动叫匀变速直线运动（沿着一条直线且加速度不变的运动）
匀加速直线运动—a与v方向相同，速度均匀增加 匀减速直线运动—a与v方向相反，速度均匀减小 注意： 在v-t图像中匀变速直线运动是一条倾斜的直线
二.匀变速直线运动的规律
3.速度与时间的关系：vt v0 at
注意： ①水平直线表示匀速直线运动 ②倾斜直线表示匀变速直线运动 ③曲线表示变加速运动 ④交点表示速度相同（最远或最近） ⑤斜率表示加速度（含大小和方向） ⑥图像并不代表轨迹，图像弯曲不代表物体做曲线运动
工程热力学 第一章 基本概念

工程热力学 第一章 基本概念


位能
（广）
热力学能（广） 摩尔数 （广）
基本热力学参数
温度的热力学定义
温度T 的一般定义
传统：冷热程度的度量。感觉，导热，热容量 微观：衡量分子平均动能的量度
T 0.5 m w 2
热力学第零定律
热力学第零定律（R.W. Fowler）
如果两个系统分别与第三个系统处于 热平衡，则两个系统彼此必然处于热平衡。
恢复平衡所需时间 （驰豫时间）
一般的工程过程都可认为是准静态过程 具体工程问题具体分析。“突然”“缓慢”
准静态过程的容积变化功
以汽缸中mkg工质为系统 初始：pA = p外A +f dl 很小，近似认为 p 不变 如果 p外微小 可视为准静态过程 mkg工质发生容积变 A f 化对外界作的功
z z xy yx
2 2
可判断是否 是状态参数
(3）常用的状态参数有:
压力P、温度T、体积V、热力学能U、 焓H和熵S，其中压力、温度和体积可直 接用仪器测量，称为基本状态参数。其 余状态参数可根据基本状态参数间接算 得。
(4）状态参数有强度量与广延量之分：
强度参数：与物质的量无关的参数
第一章
基本概念
本章基本要求：

掌握工程热力学中一些基本术语和概念：热力系、
平衡态、准平衡过程、可逆过程等。

掌握状态参数的特征，基本状态参数p、v、T 的
定义和单位等。掌握热量和功量这些过程量的特
征，并会用系统的状态参数对可逆过程的热量、 功量进行计算。

了解工程热力学分析问题的特点、方法和步骤。
当h变化大，ρ ρ(h)
p (h) gdh
压力的单位
国际标准单位：帕斯卡(简称帕)
01第一章电路基本概念

01第一章电路基本概念

1.5.1 电源有载工作
开关闭合, 接通电源与负载 1. 电压电流关系 E + I R
–
R0 (1) 电流的大小由负载决定。
E I R0 R
负载端电压 U 电源的外特性 E
或 U = E – IR0 U = IR (2) 在电源有内阻时，I U 。 当 R0 0 时，则U E ， 当负载变化时，电源的端电压变 化不大，即带负载能力强。
3. 电源与负载的判别
根据 U、I 的实际方向判别 电源： U、I 实际方向相反，即电流从“+”端流出， （元器件发出功率） 负载： U、I 实际方向相同，即电流从“-”端流出。 （元器件吸收功率） 相关的习题见26页1.5.2
例: 已知:电路中U=220V，I=5A，内阻R01= R02= 0.6。 求: (1) 电源的电动势E1和负载的反电动势E2 ； (2) 说明功率的平衡关系。 I 解：(1) 对于电源 + + + U= E1-U1= E1-IR01 E2 E1 – – 即 E1= U +IR01 = 220+50.6=223V U
(3) 实际方向与参考方向的关系 若电流(或电压)值为正值，实际方向与参考方向一致； 若电流(或电压)值为负值，实际方向与参考方向相反。 例: 电路如图所示。
I = 0.28A I = – 0.28A E 3V + + U U´ 2.8V – 2.8V +
R0
1.4 欧姆定律
U、I 参考方向相同时 + U I U=IR U、I 参考方向相反时 + U – I U = – IR
电压 U
电动势E
问题
在复杂电路中难于判断元件中物理量的 实际方向，如何解决？
固体物理精品教学(华南理工大学)《固体物理》基本概念和知识点.docx

固体物理精品教学(华南理工大学)《固体物理》基本概念和知识点.docx

《固体物理》基本概念和知识点第一章基本概念和知识点1)什么是晶体、非晶体和多晶？(□)□晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程屮不经过结晶(即有序化)的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。

由许许多多个大小在微米量级的晶粒组成的固体，称为多晶。

2)什么是原胞和晶胞？(0)□原胞是最小的晶格重复单元，不考虑对称性，原胞只包含1个原子；从对称性的角度，选取几倍于原胞大小的重复单元，称为品胞，一个品胞中有大于2个以上的原子。

3)晶体共有几种晶系和布喇菲格子？(□)□按结构划分，晶体可分为7大晶系，共14布喇菲格子。

4)立方晶系有几种布喇菲格子？画出相应的格子。

(□)□立方晶系有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。

5)什么是简单晶格和复式格子？分别举3个简单晶格和复式晶格的例子。

(□)0简单晶格中，一个原胞只包含一个原子，所有的原子在儿何位置和化学性质上是完全等价的。

复式格子则包含两种或两种以上的等价原子，不同等价原子各自构成相同的简单晶格(子晶格)，复式格子由它们的子晶格相套而成。

Au、Ag和Cu具有面心立方晶格结构，碱金属Li、Na. K为体心立方结构，它们均为简单晶格。

NaCK CsCl、ZnS以及具有金刚石结构的Si、Ge等均为复式格子。

6)钛酸顿是由几个何种简单晶格穿套形成的？(□)□ BaTiO.在立方体的项角上是锲(Ba),钛(Ti)位于体心,面心上是三组氧(0)。

三组氧(01, OIL 0111)周围的情况各不相同，整个晶格是由Ba、Ti和01、OIL 0111各自组成的简立方结构子晶格(共5个)套构而成的。

7)为什么金刚石是复式格子？金刚石原胞中有几个原子？晶胞中有几个原子？(□)□金刚石中有两种等价的C原子，即立方体中的8个顶角和6个面的中心的原子等价，体对角线1/4处的C原子等价。

金刚石结构由两套完全等价的面心立方格子穿套构成。

金刚石属于面心立方格子，原胞中有2个C原子，单胞中有8个C原子。