分式(1)[下学期]--北师大版.

第五章 分式与分式方程

1．认识分式（一）

总体说明

本节共二个课时，它分为分式的概念，分式的基本性质以及约分，其中分式的基本性质是整章的中心与灵魂，是整章的重点，可类比小学所学过的分数的基本性质来理解分式的基本性质。

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的．在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系．

学生的活动经验基础：在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．

二、教学任务分析

本节课是分式的起始课，是学生学习了整式、因式分解基础上进行的，是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式方程的前提，所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点。因为分式与分数类似，所以为了突破重点和难点，采用了类比的学习方法，让学生学会自主探索，合作交流，老师的讲和学生的学相结合。分式是表示现实世界中一类量的数学模型，为了让学生体会这一点，在课题引入时从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。根据三维教学目标及新课程标准对本节课的要求，结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平，拟定本课的教学目标：

1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；

2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．

3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．

三、教学过程分析

本节课共设计了 6个教学环节：知识准备——情景引入——自主探索——练习提高——课堂反馈——自我小结

第一环节 知识准备

活动内容：温故而知新

问题：下列式子中哪些是整式？

a， -3x2y3， 5x-1， x2+xy+y2， abcmaayxynm,3,19,,2

项城市第一初级中学 分式方程

班级 学号 姓名__________________________

装订线

分式方程（1）

目标：

1．经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．

2. 经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养应用意识。

重点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示

难点：找实际问题中的等量关系

自主、合作、探究

一、课前预习：

1、(1)一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是47。原两位数的十位数字是几？

如果设原两位数的十位数字是x，那么可以列出方程：

(2)有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,分别求这两块小麦试验田每公顷的产量。

解决这个问题的关键在于找出题中所有的等量关系：

○1

○2

如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,那么第二块试验田每公顷的产量为 kg

根据题意可得方程

（3）、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的高速公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上和平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲地到乙地的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

这一问题中有哪些等量关系？

那么可列出方程：

2、上面所得到的方程有什么共同特点？

小初高学习

小初高学习 八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版

第三章分式

一、分式

1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

2、整式和分式统称为有理式,即有:

3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变.

4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二、分式的乘除法

1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.

逆向运用,当n为整数时,仍然有成立. 小初高学习

小初高学习 3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

三、分式的加减法

1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

2、分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:

异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

3、概念内涵:

通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.

四、分式方程

1、解分式方程的一般步骤:

第五章 分式与分式方程

知识点1：分式的概念

1、分式的定义：

一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成 𝐴𝐵 的形式。如果B中含有字母，那么称 𝐴𝐵 为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

分式需要满足的三个条件：（1）是形如 𝐴𝐵 的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。

分式有意义的条件：分母不能为0.

分式无意义的条件：分母等于0.

分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.

知识点2：分式的性质

2、分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。字母表示：𝐴𝐵=𝐴·𝐶𝐵·𝐶，𝐴𝐵=𝐴÷𝐶𝐵÷𝐶(𝐶≠0，其中𝐴,𝐵,𝐶均是整式)

运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；

（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。

3、分式的符号法则

法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。字母表示：𝐴𝐵=−𝐴−𝐵=−−𝐴𝐵=−𝐴−𝐵

知识点3：分式的约分与通分

4、分式的约分

约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即𝐴·𝐶𝐵·𝐶=𝐴𝐵（𝐶为整式且𝐶≠0）.

约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、分式的通分

通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。用字母表示：将𝐴𝐵和𝐶𝐷通分，𝐴𝐵=𝐴·𝐷𝐵·𝐷，𝐶𝐷=𝐵·𝐶𝐵·𝐷（分母都为B·D）。

通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。