高考数学深化复习+命题热点提分专题03不等式与线性规划文

热点三 不等式【考点精要】考点一. 一元二次不等式及其应用. 主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程“三个二次”的关系. 特别当一元二次不等式的解集是φ或R 的情况的等价命题：02>++c bx ax 的解集是R ⎩⎨⎧<∆>⇔00a 或⎩⎨⎧>==0c b a . 如：设k m 、为整数，方程22=0mx kx -+在区间（0,1）内有两个不同实根，则+k m 的最小值为（D ）A ．-8 B. 8 C.12 D.13 考点二. 绝对值不等式.a x a x a a x a x a a a x -<>⇔>≥≤≤-⇔>≤或)0(,)0(.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解.如: (2011年山东理)若不等式24≤-kx 的解集为{}31≤≤x x ，则实数k=__________.解析：由24≤-kx 可得242≤-≤-kx ，即62≤≤kx ，而31≤≤x ，所以2=k .另解：由题意可知3,1==x x 是24=-kx 的两根，则⎩⎨⎧=-=-24324k k ，解得2=k .考点三. 二元一次不等式组与简单的线性规划问题. 了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点. 考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. 如：设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，y 0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19答案: B考点四. 不等式的性质. 重点考查均值不等式、绝对值不等式、三角不等式、一元二次不等式. 一般不直接单独命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查.如：设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则log a b =( ) A.1-B.12-C.12D.1提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 223()4()44()a b ab a b ab ab +=+-=+248()ab ≥⋅=，即a b +≥．①于是a b +=．再由不等式①中等号成立的条件，得1ab =， 则log 1a b =-，故选A考点五. 利用不等式考查函数的性质. 利用不等式的性质考查函数的性质如单调性、周期性、参数的范围等. 此类题既可以是选择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广. 如：（2010·江苏11）已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 取值范围是 .考点六. 函数的最值. 通过考查函数的最值进而考查学生对不等式的性质、函数的性质的理解和掌握. 此类问题综合性较强，多以解答题的形式进行考查，需要学生具备较好的基础知识，并且具有灵活分析问题、解决问题的能力. 如：设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．提示：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得，故有(2)(3)1f f ≤=，从而5b ≥-且38c b =--．若()0f x =有实根，则240b c ∆=-≥，在区间[]2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⎩即420,420,44,b c b c b -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤≤⎩消去c ，解出4,54,44,b b b ⎧≤-⎪⎪≤-⎨⎪-≤≤⎪⎩即4b =-，这时4c =，且0∆=．若()0f x =无实根，则240b c ∆=-<，将38c b =--代入解得84b -<<-． 综上54b -≤≤-．所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，单调递减， 故2222min max ()32,()74b c b c +=+=．考点七. 无理不等式的解法. 通常以不等式的性质为依据，等价转化为有理不等式组，对于某些特殊的无理不等式，可以考虑用数形结合的方法求解. 如函数x y =及xy 1=等的图像与性质.考点八. 利用函数的单调性、恒成立问题解不等式. 利用函数的单调性、恒成立问题解不等式. 此类问题多出现在解答题中，运算较为复杂，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中引进参变量是一种常用的策略：)(x f a ≥恒成立)(max x f a ≥⇔. 如：x R ∀∈都有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b +的最大值.解析：令cos (11)x t t =-≤≤，则2()21f t bt at b =++-.（1）当0b <时，(1)210(1)210f b a b f b a b -=-+-≥⎧⎨=++-≥⎩，画出平面域，如图，利用线性规划知识可以解得11a b -≤+<.（2）当0b =时，10at +≥，由11t -≤≤，构造关于t 的一次函数可得11a b -≤+≤.（3）当0b >时，则14(1)10a b f b a ⎧-<-⎪⎨⎪-=-+≥⎩或140a b ⎧-<-⎪⎨⎪∆≤⎩或14(1)10a b f b a ⎧-<-⎪⎨⎪=++≥⎩，仿（1）解得503a b <+<或12a b ≤+≤或10b -≤+<， 综上可得max ()2a b +=.考点九.分式不等式的解法.一般是将分式不等式转化为整式不等式,如一元二次不等式组,在一些选择题和填空题中,有时也用穿根法解.即：0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ， ⎩⎨⎧≠≥⇔≥.0)(,0)()(0)()(x g x g x f x g x f ()0()()0()f x f x g x g x <⇔⋅<， ()()0,()0()0.()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．如:（2011年高考上海卷理科4)不等式13x x+<的解为 . 【答案】0x <或12x ≥考点十.基本不等式的应用. 基本不等式这几年在高考题中时常出现,主要是求一些函数的最值,注意“一正、二定、三相等”. 特别注意的是，当等号不能成立时，用“对号函数”（xx y 1+=）（有的资料叫勾函数）的单调性. 如：若实数x ，y 满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是________．巧点妙拨x1．高考对不等式的考查有两种：一种是直接利用基本不等式进行放缩或求最值；另一种是先利用配凑法进行恒等变形，再利用基本不等式求最值，该类问题以选择、填空为主.2．复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力. 因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．3．强化不等式的应用,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．【典题对应】例1. (2014·山东理5) 已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是( )A.111122+>+y x B. )1ln()1ln(22+>+y x C. y x sin sin > D. 33y x > 命题意图：本题主要考查基本不等式的性质、对数函数、三角函数的性质，主要是值域的大小比较.解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C. 答案：D名师坐堂：对于此类选择题，可以巧妙采用特殊值法进行求解. 如列举2,1x y ==带入验证即可.例 2. (2014·山东理9) 已知y x,满足的约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为( )A.5B.4D.2命题意图：本题考查线性规划的应用，目标函数的实际意义，距离的几何意义.解析：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则2a b +=()0,0到直线20a b +-=的距离的平方2224==. 答案：B 名师坐堂：线性规划首先应找准可行域，求得交点，弄清欲求值与可行域中的点、线、域的关系，应用最多的是斜率，其次是截距，再次是距离，求解时应注意灵活掌握.例3. (2013·山东理6) 在平面直角坐标xoy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x ，所表示的区域上的一动点，则直线OM 的斜率的最小值为( )A.2B. 1C. 31-D.21-命题意图：本题综合考查了线性规划问题和直线的斜率问题.，要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.解析：作出可行域，该可行域为点（1,0），（2，2），（3，-1）形成的三角形 . 因此直线OM k 的最小值为310301-=---. 故选C. 名师坐堂：本题应先画出可行域，根据条件求出求出最值. 求线性目标函数的最值关键是将目标函数进行平移，以确定最优解所对应的点的坐标.例4. (2013·山东理12)设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为( ) A.0B. 1C.94D.3命题意图：本题主要考查基本不等式、二次函数的最值，考查对数学表达式的病性能力、消元思想以及运用化归与转化思想解决问题的能力.解析：由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+，故22114343xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当224x y =， 即2x y =时，取等号，即xy z取得最大值时，2x y=，22z y =. 此时，222122121(1)122x y z y y yy +-=+-=--+， 其最大值为1.名师坐堂：解题的关键在于弄清何时取得最大值，而对于多变量函数，消元为常见思路. 例5. (2012·山东理13) 若不等式24≤-kx 的解集为{}31≤≤x x ，则实数k =__________.命题意图：本题综合考查了含绝对值不等式的解法及去掉绝对值号的方法，会解简单的一元二次不等式.解析：由24≤-kx 可得242≤-≤-kx ，即62≤≤kx ，而31≤≤x ，所以2=k . 另解：由题意可知3,1==x x 是24=-kx 的两根，则⎩⎨⎧=-=-24324k k ，解得2=k .名师坐堂：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．运用零点讨论法时，要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．【命题趋向】不等式是联系方程、函数、导数、三角、线性规划等的桥梁与纽带，在教材占有较重的分量，在高考中每年均有涉及，考查时常将不等式与导数不等式与圆锥曲线、不等式与函数、不等式与数列等结合在一起进行考查. 每一年的分值在20分左右.【直击高考】1．已知a ＝(m,1)，b ＝ (1－n,1)(其中m 、n 为正数)，若a ∥b ，则 1m ＋2n的最小值是( )B．C.D．3+42．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )A ．0B ．2C ．3D ．43．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 1,2)(21x x x f xx ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是( ) A ．[—1,2] B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）4．设变量y x ,满足1≤+y x ，则y x 2+的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ． 1，－2D ．2，－15．若对任意x ∈A ，y ∈B ，(A ⊆R ，B ⊆R )有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．满足下列性质的二元函数f (x ，y )称为关于实数x ，y 的广义“距离”：(1)非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号； (2)对称性：f (x ，y )＝f (y ，x )；(3)三角形不等式：f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )对任意的实数z 均成立．今给出三个二元函数：①f (x ，y )＝|x －y |；②f (x ，y )＝(x －y )2；③f (x ，y )＝x －y . 其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的二元函数的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③6．不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．（-∞，-1]B ．[-∞，-2）∪[5，+∞）C ．[1，2]D ．（-∞，1]∪[2，+∞）7. 已知a 、b 、c 、d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <48．函数25y x =+的最大值为 .9．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数. 当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当20020≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x v v x =⋅ 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.10．若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m . （1）若12-x 比1远离0，求x 的取值范围；（2）对于任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33b a +比22ab b a +远离ab ab 2；（3）已知函数)(x f 的定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+≠=R x Z k k x x D ,,42ππ. 任取D x ∈，)(x f 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值，写出函数)(x f 的解析式，并指出他的基本性质（结论不要求证明）.11. 已知函数f (x )＝e x＋2x 2－3x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．热点三 不等式 【直击高考】1. 解析：向量a ∥b 的充要条件是m ×1＝1×(1－n )，即m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m＋2mn≥3＋2 2.答案：选C.2. 解析：C 画出可行域可知y ＝－2x ＋z 过⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3时z 取得最小值，所以2×b 3＋2b 3＝4，b ＝3.3. 解析：分两种情况讨论最后求并集，答案为D.4. 解析：根据题意划出可行域，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.5. 解析：对函数f (x ，y )＝|x －y |，∵f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号，满足非负性；f (y ，x )＝|y －x |＝|x －y |＝f (x ，y )，满足对称性；由|a ＋b |≤|a |＋|b |得|x －y |＝|(x －z )＋(z －y )|≤|x －z |＋|z －y |对任意的实数z 均成立．即f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )，满足三角形不等式．故①满足广义“距离”． 对函数f (x ，y )＝(x －y )2，显然满足非负性和对称性．∵当z ＝0时，f (x ，y )－[f (x,0)＋f (0，y )]＝－2xy ，显然不恒小于等于零，故不满足三角形不等式，故②不满足广义“距离”．对函数f (x ，y )＝x －y ，显然不满足对称性．故③不满足广义“距离”．故选A. 6. 解析：函数|3||1|y x x =+--的最大值为4，由已知条件234a a -≥，即2340a a --≥，解得1a ≤-，或4a ≥，选A 。

则 2m＋n＝1，m2 ＋1n＝(2m＋n)·m2 ＋1n＝5＋2nm＋2mn≥5＋4＝ 9，当且仅当 m＝n＝13时取等号，所以m2 ＋1n的最小值为 9.
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(2)(2014·福建高考)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖 长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造 价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________(单位： 元)．
[解析] 根据指数函数的性质，得 x>y，此时 x2，y2 的大小 不确定，故选项 A，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性 质，选项 C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质，知选项 D 中的不等式恒成立．
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1．比较两数(代数式)大小的“两种”思路 (1)利用不等式的性质、基本不等式比较大小，有时也可取特 殊值验证． (2)利用函数的单调性比较大小，必要时需构造函数．
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2．解不等式的四种策略 (1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二 次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将 不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指、对数不等式的策略：利用指、对数函数的单调性 将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准， 依次讨论求解．
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3.基本不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件， 等号成立的条件的检验，常用来求最值或求恒成立问题中参数的 取值范围.
4.线性规划是高考的热点题型，常考常新，主要涉及平面区 域问题、参数问题、线性及非线性目标函数的最值及范围问题等， 难度为中等及中等以下.

高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一 不等式的解法 【题型要点】 解不等式的常见策略(1)解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次”之间的关系，借助相应二次函数图象，确定一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负”这一符号法则，转化为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解含“f ”的函数不等式，首先要确定f (x )的单调性，然后根据函数的单调性去掉“f ”转化为通常的不等式求解．(4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)【解析】 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.【答案】 B【例2】．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)≥ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】 D题组训练一 不等式的解法1．若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确的是( )A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③⑤D ．③④⑤【解析】 ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故a <0，且ax 2－bx ＋c ＝0的两根为－12，2.由根与系数的关系得2－12＝b a >0,2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝ca <0，故b <0，c >0.因此，②③正确，①错误．设f (x )＝ax 2－bx ＋c ，根据f (－1)<0，f (1)>0，可知a ＋b ＋c <0，a －b ＋c >0，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，当0＜x ＜2时，f (x )＝1－log 2(x ＋1)，则当0＜x ＜4时，不等式(x －2)f (x )＞0的解集是( )A ．(0,1)∪(2,3)B ．(0,1)∪(3,4)C ．(1,2)∪(3,4)D ．(1,2)∪(2,3)【解析】 当0＜x ＜2时，x －2＜0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＜0，f (x )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1－log 2(x ＋1)<0，解得1＜x ＜2，当2＜x ＜4时，x －2＞0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，f (x )＞0，由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，又f (x －2)＝f (x ＋2)，则f (x )＝f (x －2＋2)＝f (x －2－2)＝－f (4－x )， 因为0＜4－x ＜2，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，－1＋log 2(5－x )＞0，解得2＜x ＜3， 则原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D. 【答案】 D题型二 简单的线性规划问题 【题型要点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．【例3】已知P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4x －y ≤0x －a ≥0表示的平面区域M 内任意一点，若目标函数z ＝5x ＋3y 的最大值等于平面区域M 的面积，则a ＝________.【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝5x ＋3y 得y ＝－53x ＋z3，平移直线y ＝－53x ＋z3，由图象知当直线y ＝－53x ＋z3，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝0，解得x ＝y ＝2，即A (2,2)， 此时z ＝5×2＋3×2＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x ＝a .解得x ＝a ，y ＝4－a ，即B (a,4－a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＝a ，解得x ＝y ＝a ，即C (a ，a )， ∴BC ＝4－a －a ＝4－2a ，△ABC 的高为2－a ， ∴S △ABC ＝12×(2－a )(4－2a )＝(2－a )2＝16，解得a ＝－2，a ＝6(舍去)， 【答案】 －2【例4】．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,10]D ．[3,11]【解析】 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.【答案】 D题组训练二 简单的线性规划问题1．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1x ≤3x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 作出不等式组所对应的平面区域： 由图象可知x ＞0，y ＞0，设z ＝x 2y ，则x 2＝zy ，对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝x －1与抛物线相切时，此时z 取得最小值，将y ＝x －1代入抛物线x 2＝zy ，得x 2－zx ＋z ＝0，由Δ＝0⇒z ＝4，z ＝0(舍)所以选择D. 【答案】 D2．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.【解析】 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎪⎭⎫⎝⎛--3,3k k .目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k3＋3×⎪⎭⎫⎝⎛-3k ＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.【答案】 －6题型三 基本不等式的应用 【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax ＋bx(ab ＞0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．【例5】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意的实数x 都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23B ．[2，＋∞)C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D ．[3，＋∞)【解析】 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＞0.又∵对于任意的实数x 都有f (x )≥0，∴a ＞0且b 2－4ac ≤0，∴b 2≤4ac ，∴c ＞0，∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2acb＋1≥2. 【答案】 B2．若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( )A ．2B.322C.52 D ．1＋324【解析】 由a ，b 为正数，且1a ＋2b ＝1，得b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12a a －1－2＝2a －1＋a －12≥22a －1·a －12＝2，当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b ＝1同时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以2a －1＋1b －2的最小值为2，故选A. 【答案】 A题组训练三 基本不等式的应用1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ＞0，b ＞0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是( )A ．4B ．817C ．2D.81717【解析】 由题意，圆心(－4，－1)代入直线l ：ax ＋by ＋1＝0，可得4a ＋b ＝1,4a ＋b ＝1≥4ab ，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，ab 取得最大值，坐标原点到直线l 的距离是1164＋14＝81717，故选D.【答案】 D2．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16【解析】 依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.【答案】 C题型四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题【题型要点】线性规划求目标函数的最值时， 常用方法是数形结合判定所过的定点，也可以把边界端点的坐标代入目标函数，寻找最值，研究可行域与其他函数的关系时，可用边界端点确定出答案．【例7】 记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】 法一：作出可行域，利用可行域的上下界，建立的不等式，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝4，x ＝0得(0,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得(1,1)． 区域D 的上界为(0,4)，下界为(1,1)，∴y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则有⎩⎨⎧2a ≥1a ≤4，∴12≤a ≤4. 法二：直线y ＝a (x ＋1)为经过定点P (－1,0)且斜率为a ，作出可行域后数形结合可知．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0，直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ，由斜率公式可知k BP ＝4，k AP ＝12，若直线y＝a (x ＋1)知区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.【答案】 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21题组训练四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠P AB 最小时，cos ∠P AB ＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12【解析】 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示的平面区域D ，如图所示：要使∠APB 最大，则∠OPB 最大．∵sin ∠OPB ＝|OB ||OP |＝1|OP |，∴只要OP 最小即可，即点P 到圆心O 的距离最小即可． 由图象可知当|OP |垂直于直线3x －4y －10＝0，此时|OP |＝|－10|32＋42＝2，|OA |＝1.设∠APB ＝α，则∠APO ＝α2，即sin α2＝OA OP ＝12，此时cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×221⎪⎭⎫⎝⎛＝1－12＝12，即cos ∠APB ＝12，∴∠APB ＝60°，∴△P AB 为等边三角形，此时对应的∠P AB ＝60°为最小，且cos ∠P AB ＝12.故选B.【答案】 B【专题训练】 一、选择题1．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<311x x x 或，则f (e x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |－1＜x ＜－ln 3}C ．{x |x ＞－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}【解析】 f (x )＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x则由f (e x )＞0得－1＜e x ＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x )＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}． 【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋1y ＝13，x ＋2y ＞m 2－2m 恒成立，则m 的取值范围是( )A ．[－6,4]B ．[－4,6]C ．(－4,6)D ．(－6,4)【解析】 ∵2x ＋1y≥22xy ，即13≥22xy， 解得xy ≥72，∵2x ＋1y ＝13，∴6x ＋3y ＝1，即3x ＋6y ＝xy ，∴x ＋2y ＝13xy ≥24，∴m 2－2m ＜24恒成立，解不等式m 2－2m －24＜0 得－4＜m ＜6.故选C. 【答案】 C3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎪⎭⎫⎝⎛+-21,21a a ，则a －12＋a ⎪⎭⎫⎝⎛+21a ＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 【答案】 B4．已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)【解析】 设x ＞0，则－x ＜0，所以g (－x )＝－ln(1＋x )，因为g (x )是R 上的奇函数，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x ＞0，易知f (x )是R 上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1.故选D.【答案】 D5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，若不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立，则实数a 的最小值是________．【解析】 可行域为一个三角形ABC 及其内部(图略)，其中A (2,4)，B (1,4)，C ⎪⎭⎫⎝⎛310,35，因此y x ∈[k OA ，k OB ]＝[2,4]，因为y x ＋x y 在[2,4]上单调递增，所以y x ＋x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,25，不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立等价于a ≥()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++max222y x y x 95⇒a min ＝95. 【答案】 956．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0，z ＝mx ＋y 的最大值为3，则实数m 的值是( )A ．－2B ．3C ．8D ．2【解析】 由实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0y ＋1＝0，解得A ⎪⎭⎫⎝⎛-1,21，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x ＋y －2＝0，解得B (1,0)，同理C (2，－1)化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ， 当直线z ＝mx ＋y 经过C 点时，取得最大值3； ∴3＝2m －1，解得m ＝2.故选D. 【答案】 D7．已知函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b 的最小值为( )A.92 B ．9 C ．18D ．36【解析】 函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，轴为x ＝1，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2所以1a ＋4b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 41(a ＋b )×12＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a a b 45≥12(5＋4)＝92，当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92，故选A. 【答案】 A8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值不可能是( )A ．3B ．2C ．0D ．－1【解析】 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2作出可行域如图，联立方程组求得A (－2,2)，B (2，－2)，C (2,10)，化目标函数z ＝－mx ＋y 为y ＝mx ＋z ，若m ≥0，则目标函数的最大值为2m ＋2，最小值为－2m －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋10＝2m ＋2－2m －2＝－2m －2，可知m ＝2； 若m ＝0，则目标函数的最大值为10，最小值为－2，符合题意；若m ＝－1，则目标函数的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，符合题意． ∴实数m 的取值不可能是3. 故选A. 【答案】 A9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x ＞0，－ln (－x )＋x ，x ＜0.则关于m 的不等式f ⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1＜ln 12－2的解集为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．(0,2)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21∪⎪⎭⎫⎝⎛21,0 D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】 函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理：x <0时，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2.∴当m ＞0时，由f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜ln 12－2，得f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜f (2)， ∴1m ＞2，解得0＜m ＜12.根据偶函数的性质知当m ＜0时，得－12＜m ＜0. 【答案】 C10．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋y b(a ≥b ＞0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，解得A (2,6)，化目标函数z ＝x a ＋y b 为y ＝－bax ＋bz ，由图可知，当直线y ＝－ba x ＋bz 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 31 ＝4＋b a ＋3ab≥4＋2b a ·3ab＝4＋2 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，b ＝3a ，即a ＝3＋1，b ＝3＋3时取等号．【答案】 A11．若函数f (x )＝x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(3－12，＋∞) D ．(2－12，＋∞) 【解析】 x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1>0恒成立，当x ＝0时，a ∈R ，当x ≠0时，a >－x 4＋4x 3－4x ＋1x 2＝－(x 2＋4x －4x ＋1x 2)＝－(t 2＋4t ＋2)＝－(t ＋2)2＋2，其中t ＝x －1x ∈R ，因为－(t ＋2)2＋2≤2，从而a >2，因此实数a 的取值范围是(2，＋∞)，选A.【答案】 A 二、填空题12．已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值是( )A.55B.255C.510D. 5【解析】 点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0的可行域如图：N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值，就是两条平行线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离：d ＝|－2＋4|12＋22＝255，故选B.【答案】 B13．设a >b >c >0，若不等式log a b 2018＋log b c 2018≥d log ac 2018对所有满足题设的a ，b ，c均成立，则实数d 的最大值为____________．【解析】 log a b 2018＋log b c 2018≥d log a c 2018⇒lg2018lg a b ＋lg2018lg b c ≥d lg2018lg ac ，因为a >b >c >0，所以lg a b >0，lg b c >0，lg a c >0，设x ＝lg a b ，y ＝lg b c ，则lg a c ＝x ＋y ，因此d ≤(1x ＋1y )(x ＋y )的最小值，而(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号，从而d ≤4，即实数d 的最大值为4.【答案】 414．已知点O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为OA →＝(－1，－2)，OM →＝(x ，y )， 所以OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →＝－x －2y .所以不等式OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1m≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值，最大值1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m≤x ＋2y 恒成立，只需1m ≤3，解得m ≥13或m ＜0，即实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31【答案】 (－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31。

度较小,也经常作为工具
性知识渗透在函数、三
角函数、数列、解析几
选择题
何等题目中;高考对线性
填空题
规划考查的频率非常高,
几乎每年都有题目,重点
是确定二元一次不等式
(组)表示的平面区域,求
目标函数的最值或范围,
已知目标函数的最值求
参数值或范围.
复习策略
抓住考查的主
要题目类型进
行训练,重点
是一元二次不
等式、简单的
分式不等式、
对数不等式和
指数不等式的
解法;求目标
函数的最值或
范围;已知目
标函数的最值
求参数值或范
围.
-3命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
简单不等式的解法
【思考】 如何解一元二次不等式、分式不等式?解指数不等式、
对数不等式的基本思想是什么?
例 1(1)若 log 1 (1-x)<log 1 x,则( C )
题,求解时借助二次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向,判别
式的符号,对称轴的位置,区间端点函数值的符号.
-6命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
-1
对点训练 1(1)不等式2+1≤0 的解集为( C )
1
A. -∞,- 2 ∪[1,+∞)
1
C. - ,1
2
2 -8
1
B. - 2 ,1
≤ 2,
例 2 若 x,y 满足 ≥ -1,
则 y-x 的最小值为
4-3 + 1 ≥ 0,
1
最大值为
.
解析 作出可行域如图阴影部分所示.
设z=y-x,则y=x+z.