2.3.1等比数列的概念和通项公式_基础题

数列知识点总结大纲

一、数列的概念。

1.1 数列的定义。

1.2 数列的表示方法。

1.3 数列的通项公式。

二、常见数列。

2.1 等差数列。

2.2 等比数列。

2.3 斐波那契数列。

2.4 等差-等比数列。

三、数列的性质。

3.1 数列的有界性。

3.2 数列的单调性。

3.3 数列的极限。

四、数列的运算。

4.1 数列的加法运算。

4.2 数列的乘法运算。

4.3 数列的整体运算。

五、数列的应用。 5.1 数列在数学中的应用。

5.2 数列在生活中的应用。

5.3 数列在科学中的应用。

六、数列的发展与展望。

6.1 数列的历史发展。

6.2 数列的未来展望。

数列知识点总结大纲。

一、数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。数列中的每一个数称为该数列的项，通常用a1, a2, a3, …, an表示。数列可以是有限的，也可以是无限的。数列的概念是数学中非常基础的概念，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。

二、常见数列。

1. 等差数列，等差数列是指数列中任意两个相邻的项之差都相等的数列，这个公共的差值称为公差，通常用d表示。等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2. 等比数列，等比数列是指数列中任意两个相邻的项之比都相等的数列，这个公共的比值称为公比，通常用q表示。等比数列的通项公式为an = a1 q^(n-1)。

3. 斐波那契数列，斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列，通常用F(n)表示。斐波那契数列的前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …。

4. 等差-等比数列，等差-等比数列是指数列中每一项都等于前一项加上一个公差再乘以一个公比的数列，通常用an = a1 + (n-1)d q表示。

- 1 - 新人教A版高中数学必修5：

等比数列的概念与通项公式

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列数列为等比数列的是( )

A．0，0，0，0，…

B．22，42，62，82，…

C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…

D．1a，1a2，1a3，1a4，…

解析：A选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为1a，公比为1a的等比数列，故选D.

答案：D

2．(多选)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则( )

A．数列{2an＋an＋1}是等比数列

B．数列{an＋1－an}是等比数列

C．数列{anan＋1}是等比数列

D．数列{log2|an|}是递减数列

解析：因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，故A项错．

an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝

(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝3(－2)n－1，故{an＋1－an}是等比数列，故B项正确．

anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝(－2)2n－1，故C项正确．

log2|an|＝log22n－1＝n－1，是递增数列，故D项错．

答案：BC

3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，

则an＝( )

A．4×32n B．4×32n－1 - 2 - C．4×23n D．4×23n－1

解析：由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，

故a1＝4，a2＝6，所以q＝32，an＝4×32n－1.

答案：B

4．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则2a1＋a22a3＋a4的值为( )

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4.3 等比数列

4.3.1 等比数列的概念

第一课时 等比数列的概念与通项公式

课标要求 素养要求

1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.

2.体会等比数列与指数函数的关系. 在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.

新知探究

我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”

问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？

提示 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.

问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？

提示 上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列. 2 / 15

1.等比数列的定义及通项公式

等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数

(1)等比数列的定义和通项公式

(2)通项公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N*，q≠0).

(3)等比数列的通项公式与指数型函数的关系

①当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝a1q·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).

②任给指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，

则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.

2.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab.

拓展深化

[微判断]

1.等比数列的公比可以为任意实数.(×)

提示 公比不可以为0.

2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(×)

提示 应为同一个常数.

3.常数列既是等差数列又是等比数列.(×)

等比数列的判断和证明进阶洋葱数学

1. 引言

1.1 等比数列的概念

等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。

在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。

等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。

1.2 等比数列的性质

等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。我们来看等比数列的负项。如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。

等比数列的任意项也具有一定的性质。假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。

等比数列的等比中项也有着特殊的性质。等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。