第三章总练习题111121221.N ew to n -L eib n iz 1(1).[1,1],.tan (2).tan (0,2)2tan2.,x x xd de d x e e d x d x x d x d x u x xf F F ππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰为什么用公式于下列积分会得到不正确结果?无界从而不可积在的一些点不可导.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.设奇连续函数的原函数为 现在证明是偶证.()().(()())()()()()0,()(),(0)(0)0.()()0.,.()().(()())()()()()0,()().(0)0,(F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C C F F F x F x f F F F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C F C F ''''=--=---=---=--==--=--=''''=-+=--+=--+=--===函数设偶连续函数的原函数为现在证明是奇函数设则3003440010100)(0)0.()()0.sin ,0,3.()()()?0,0., 0,()()()sin co s |1co s .444.sin ().sin ()s b ab b b a aaabF F x F x x x f x f x f x d x a b x x f x d x f x d x f x d x x d x xd xxax b d x t d x d xd d x t d x d xd x--=-+=≥⎧==<>⎨<⎩=+=+=-=+-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求定积分其中求微商解解()()110001201/2221210221in ()sin (1)sin ().5.lim()(),().1lim()()().6.lim(1).(2)!!(1)co s.(21)!!2x xh x h u xh u xnn nn n n u d u x x f x h t d x f x f x f x h t d u f t d tf x hx d x n x d x td t I n I π+→+→=→∞+++=+-+='+==--===+<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰试证明其中是实轴上的连续函数求极限证解12210(2)!!(21)!!1,(21)!!(22)!!1100(),lim(1)0.sin co s 7..2sin 3co s sin co s (2sin 3co s )(2sin 3co s )(2sin 3co s )(2co s 3sin )(23)sin (32)co s nn n n n n n n I n x d x x x d x x xx x A x x B x x A x x B x x A B x A B +→∞+=+++<<→→∞-=+-'+=-+-=-++=++-+⎰⎰令解,x23115,,.3211313sin co s 2sin 3co s (2sin 3co s )(2sin 3co s )2sin 3co s ln |2sin 3co s |15ln |2sin 3co s |.1313A B A B A B x xd x x x A x x B x x d xx xA xB x xC x x x C +=⎧=-=⎨-+=⎩+=-'-+-=-=+-+=-+-+⎰⎰222228.:2(1),ln (2),.22222222.(2)(2)222xxu d u x u x u d x uu d u d u x u uu u C C xex x e xd==+=+⎛⎫==- ⎪++⎝⎭⎛⎛=-+=-+ ⎝⎝=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰通过适当的有理化或变量替换求下列积分()24.2).22(3)33.(4)(11ln .2x C x C x CC d x x C ⎛⎫=+⎝=-++==-⨯=-=+-==-+⎰⎰⎰⎰⎰224444224222244sec tan(1)9..sin co s1tan11112111.21111((arctan1)arctansin co sd x xd x u d ux x x uuuu ud xx x+==++++⎛==++⎝⎛⎫⎪⎪=+⎪⎛⎛⎪++-+⎪⎝⎝⎝⎭=+++⎰⎰⎰⎰)1).110.()(,),,()()(),:()()( 3.424)11.()[,],()0.:(,),()0.,()(,),,TxbaCf x Tg x f x f x d xTh x g t d t Tf x a b f x d x a b cf cf x a b ff-+-∞+∞=-===⎰⎰⎰设函数在上连续以为周期令证明函数也以为周期.此即习题第题设函数在区间上连续且证明在内至少存在一点使若不然在没有零点由的连续性和连续函数的中间值定理在证证(,).()0,(,).,,,[,]0.()()()()()0..b c d ba a c da b f x x a b c d a c d b f c dmf x d x f x d x f x d x f x d x m d c>∈<<<>=++≥->⎰⎰⎰⎰不变号不妨设取满足则在取最小值于是矛盾22222212.[,],()0,:()0,[,].[,][,],|()||()|,[,].2|()|()()()0.2.bab ea da b f x d x f x x a bd e a bf cf x x d ef cf x d x f x d x d e=≡∈∈≠⊆>∈≥>->⎰⎰⎰设函数f在区间上连续且证明若不然,存在c[a,b],f(c)0.由f在c的连续性,存在区间矛盾证00222/200013.()(-,),(1),()();sin(2);1co s4sin1(3)(1co s sin()()()()().a aa a aaf xa f x d x f a x d xx xd xxxd xx xf x d x x a t f a t d t f a t d t f a x d xπππ∞+∞=-=+=++=-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设在上可积证明对于任意实数有证(1)22220211022222sin ()sin ()sin sin (2),1co s 1co s 1co s 1co s sin co s arctan |.21co s 21co s 14sin sin (/2)(3)co s sin co s(/2)s x x x x x x xI d x d x d x d x I x x xx xd xd x d uI u xxux x I d x x xx ππππππππππππππππ--==-==-++++==-===+++-==+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰/2/20222/2/2/20/2/2/2in (/2)co s co s sin ,2co s sin co s sin co s sin 1|csc(/4)co t(/4)||co s sin 11ln1ln co s s 4d xx x xx d x I d x d xx xx xx xd x d xd x x x x xππππππππππππ==++++===+-++⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=+-⎥ ⎪⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11),in 411).I π⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭=232221123222014.()(23)m /s .004m /s,(1);(2)3(1)()23,3,4,34,4,3230.()4.34(4)(1)0, 4.32(5)a t t t x v tx t t x t t C C x t t x t t C tC x t t t x t t t t t s x =-===-''''=-=-+-==--=--+'==--=--=-+===一质点作直线运动,其加速度若时且求质点改变动方向的时刻头5秒钟内质点所走的总路程.解3322543343(4)|(4)|424m.32322t t t t x x t t t t ==⎛⎫⎛⎫-+=-----=⎪⎪⎝⎭⎝⎭000200022002200215.100m ,10.2s,25m ,25m ., 0;(), 10.2., 0;()210.2./2/2253m /s .10010.2a t t t v t a t t t a tt t s t a t t C t t a t a t Ca t a a t C ≤≤⎧=⎨≤≤⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪+≤≤⎩⎧=+⎪=≈⎨⎪=+⎩一运动员跑完共用了在跑头时以等加速度进行然后保持等速运动跑完了剩余路程.求跑头时的加速度解16.(1):利用积分的几何意义证明111111ln,1,2,111(2)1ln ,211111ln ,21,.111(3)lim 1ln E u ler 211ln |111ln (1)ln lnn n n n n n n n n nnn n n n nx n n y n n nx y n n n d x d x x n n xn n n n→∞++++<<=+=+++--=++++--⎛⎫++++- ⎪-⎝⎭=<=+++=+-=<⎰⎰令证明序列单调上升而序列单调下降证明极限存在(此极限称为常数).证 (1)1121.1111(2)1ln (1)1ln 22111ln 10((1)).111111ln (1)1ln 21211ln 10((1)).1(3)1ln 20(2)n n n n n n d x n n x x n n n n n n y y n n n n n n n y x x n ++=⎛⎫⎛⎫-=+++-+-+++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=++++-+-+++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭>>=->>⎰由由n +1n11/22111/1/2222112.,lim .17.:0,11.111111(1/).111/118.()(,),,(2)().2,()0.(2)()n n n xxxxxay y x d t d t ttd t x u d x d t tuutf x x f x f x a f x d x f x f x →∞>=++==⨯=+++-∞+∞-=-≠=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰单调下降有下界故有极限证明当时设在上连续(书上为可积，欠妥)且对一切实数均有求实数使条件证解(22220221(11)(11))()(2)(),()0.0.19.ln (1)arctan ,0 1.11,[0,1],[0,],1111ln (1)arctan ,0 1.20.(1)x x f x f x f x f x d x f u d u f u d u f x d x a x x x d t d t t x ttttx x x =+-=-+-=-=-==+≤≤≤≤∈≤+++++≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰相当关于为奇函数取即可利用定积分的性质，证明不等式在上积分得设证()()[0,];()()2(2)a f x d x a f x a d x f x f a x =+-⎰在上可积，证明利用(1)中的公式求下列积分的值：22/2222sin ;22sin co s ()()(1)()()()()()()2()()()()()(-)1,.()()()()22a a a a a a a xx d x d xx x x xf x f a u I d x d uf x f a x f u f a u f x f a u I d x d uf x f a x f u f a u f x f a x a d x d x d x a I f x f a x f x f a x xx x π-++-==+-+--=++-+-=+===+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证解(2)22222/20222 2.2(2)2sin /2.sin sin (/2)24xd x d x x x xd x x x ππππ==⨯=++-==+-⎰⎰⎰tan 2sin tan tan 22sin sin tan 22222sin tan 32222sin 2()21.()(1).()(1)tan sin ,()sec co s tan sec sin co s sec co s tan sec sin co s 3sec x xx x x xx xxxd f x f x xt d td x d xf x xt d t x x x t d t d f x x x x x x x x x t d td xt x x x x x x x x =+=+=-+=-+-+=-+-+==⎰⎰⎰⎰设求解()()22233222331co s tan sec sin co s tansin 31sec (1tan )co s (1sin )tansin .3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=+-++-()/22/2/22/220/20/2/2022.co s 3.11co s 3(1co s 6)sin 6|.2412423.|sin co s |.|sin co s ||sin co s ||sin co s ||sin co s ||sin ()2I d I d d I x x d x x x d xx x d x x x d x x x d x t ππππππππππθθππθθθθθπ===+=+==--=-+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求定积分的值求定积分的值解解I =22=2()()()()/20/2/20/4/2/20/4/4/2/2/40co s()|2|sin co s ||co s sin |(co s sin )(sin co s )(co s sin )2sin co s |(co s sin )|(sin co s )|t d x x x d x t t d xx x d x x x d x t t d xx x x x x x ππππππππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-++=-+-++=++--+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰221010101010100110()/224.0,.2x x x x x x x x x x x x x x I x I xxx x x x u x --<<====+⎛⎫==- ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰设求定积分的值解10()/210222102()2arcsin().28x x a aux x x a u a a x x aππ--==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-==⎰⎰4342(2)16468 4.y x x x y x x x =++-=++-与43323242224342442432164164684,680,6840,680,(2)(4)0,2,4.{(164)(684)][(684)(164)]y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x S x x x x x x d xx x x x x x d x⎧=++-⎪+-=+--+=⎨=++-⎪⎩=-+=--===++--++-+++--++-⎰⎰解222212552233532325.:(1)6827.682768,278150,(3)(5)0.3, 5.(27(68))(815)4415.33y x x y x y x x x x x y x x x x x x x S x x x d x x x d xx x x =-+=-⎧=-+-=-+⎨=-⎩-+=--====---+=-+-⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭⎰⎰求下列曲线所围图形的面积与解/2/2/4/45/45/4/2/2(4)sin ,cos /2.(sin -cos )(cos sin )|1;(sin cos )(cos sin )| 1.y x y x x S x x dx x x S x x dx x x πππππππππ=====--==-=--=⎰⎰与解/21102/211226.co s ,1/2,,.,)2arcco s 2arcsin 2(1co s 2).242arcsin arcsin y x y x x V V V x d x y y d y y yd y V x d x V y yd y yd yππσπσππππππππ===⎛⎫=-==⎪⎝⎭=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域由曲线及所围成将绕轴旋转一周得一旋转体试用两种不同的积分表示体积并且求的值. 2解V =(1-c o s 24323222444323202(68)(68)24248.44x x x d x x x x d xx x x x x x =-++-+-⎡⎤⎡⎤=-++-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰2222212321(3)1 3.(3)1,7100,(2)(5)0,2,5.1,2.[(3)(1)]92.322y x y x x x x x x x x y S y y d x yy y --=-=--=--+=--===-=+-+⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰与解4π2π54π112212222arcsin ()1arcsin .22244y y y xyπππππππ=-⨯⎤=-=-=⎥⎦⎰22111/21/2200213397200257025027.:(1)arcsin |.4612(2)(918055801)400.28.()[0,7],()5,()6,() 3.(1)();(2)x xxx d x f x f x d x f x d x f x d x f x d x f πππ-===-=-++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列定积分的值设在上可积且一直已知求的值求7552500277557755().(3):(5,7),()0.(1)()()()5611.(2)()()()3118.(3),()0,(5,7),()0,()80,.x d x f x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x x f x d x f x d x <=+=+==-=-=-≥∈≥=-<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的值证明在内至少存在一点使若不然但是矛盾解证2/23/21/2/2/2/2/232111, 2,129.()sin ,(),()2, 2.(1)()();(2)()();(3)()().(1)()()sin 0.(2)()()()()()xx f x x h x g x x x f x g x d x g x h x d x f t g t d x f x g x d x xd x g x h x d x g x h x d x g x πππππππππ----≤≤⎧===⎨<≤⎩===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设试求下列定积分的值或表达式:解322323221212/22/2/22()12125.6sin co s ,2(3)()()sin 2sin co s 22co s ,2.xxx h x d x d x d x xxxxtd t x t x f t g t d x td t td t x x πππππ=+=--=⎧=--≤≤⎪=⎨⎪+=-<≤⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()30()[,](0),()()()()()().b f b af a f x a b ag y f x f x d x b f b a f a g y d x >=--⎰⎰设函数在区间上连续，严格单调递增是的反函数,利用定积分的几何意义证明下列公式并作图解释这一公式.解11()10031.(1)()[0,),()0,0()()()()()()()(*).00(0),()a B a aa x x x a B a B x d x x d xx x x d x x d x a a B B x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---+∞→∞→+∞≥≥≤++==>=→∞→+∞⎰⎰⎰⎰⎰设函数在上连续且严格单调递增又设当+时且(0)=0.证明:对于任意实数,下列不等式成立:其中是的反函数.由题时不等式显然成立.设由于+时证30,111101100()11()1()1,0,(),[0,],,0,().,*)()().,()()()()()()()()(())(a B aBa a B a Ba a a B a a a B a a a B x d x x d x a a x d x x d xx d x x d x x d xa a x d xa a a B ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------'>''>>===+>+=++=++≥+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰存在在连续根据连续函数的中间值定理存在若则由(得若则1100()()11()11()).,()()()()()()()()(())(()).11(2)(1),0,,11,M in k o w sk i.1aB a a a Ba B pqa a B a a x d x x d xx d x x d x x d xa a x d xa a a a B a B ab p q p qaba b pqp ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------=<+=+-=-≥--=≥≥+=≤+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则利用中的不等式,对于任意实数证明下列不等式不妨设证111/(1)1/(1)1/(1)1/0.(),()..1/(1)1/(1)p p pp pp p pqa b ppx x x x abababa b x d x xd x pp pp p pqϕϕ----+-==≤+=+=+=+-+-⎰⎰在中取则(1)232.0,,1,112.xa a y y x a y π>=+===设求的值使由曲线及所围成的区域绕直线旋转所得之旋转体的体积等于b22222202222220002.)2,112,22,2,18,2ln 9,44aa x aa a x x u a d x d x xe d x e d x e d u e a a ππ=====-===⎰⎰⎰⎰⎰20解(y -1) 20033.1sin 21co s 43(1sin 2)(12sin 2).22r S d d ππθθπθθθθ=+-=+=++=⎰⎰作由极坐标方程所确定的函数的图形,并求它所围区域的面积.解。
