第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。
第4题第十八章 勾股定理复习学案主编：温云虎考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________．4、边长为4的等边三角形面积________． 5．在数轴上作出表示10的点．6．如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（ ）AB ．C ．2D ．-27．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________ ．8．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点二、利用列方程求线段的长9、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm 10．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的长是（ ）． A ．2.5cm B．11．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，•花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少？12．如图1，折叠长方形的一边AD ，点D 落在上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，•求EC 的长．13．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米， 又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离． B 第17题AB考点三、判别一个三角形是否是直角三角形14、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有-----------15、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是---------------.16、在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，你能求出AC的值吗？17、若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．考点四、构造直角三角形解决实际问题18、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm．19、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm12、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？20、如图：带阴影部分的半圆的面积是（ 取3）21、若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为c m,则这个三角形是______________________．22.已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．23．（2003年贵州省贵阳市中考题）如图4，某货船以20海里/•时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：1.4≈1.7）知识点五、其他图形与直角三角形24、等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为。
第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．理解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和水平。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的准确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践水平；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的准确性。
四、课堂引入当前世界上很多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实能够说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
重庆市开县九龙山初级中学八年级数学 第十八章《勾股定理》复习测试 新人教版一、选择题（每题2分，共26分）1、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( ) A. 12米 B. 13 C. 14米 D. 15米2、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角 形那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）； A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、在△ABC 中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，104、在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是 （ ）A 、5B 、13C 、11D 、25、若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）； A 、2倍 B 、3倍 C 、4倍 D 、5倍6、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）； ⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）； A 、5组； B 、4组； C 、3组； D 、2组 7、如果正方形ABCD 的面积为92，则对角线AC 的长度为（ ）； A 、32 B 、94 C 、32 D 、928、如图，1====DE CD BC AB ，且AB BC ⊥，AC CD ⊥，AD DE ⊥，则线段AE 的长为（ ）； A 、23 B 、2 C 、25D 、3 9、如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定10、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此三角形为（ ）； A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10， 那么DC 的长是（ ）；A 、4B 、3C 、5D 、4.5ABC D EABD C 第11题图ACDBE 第12题图ABE FD C第30题AB C图212、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC =6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC 沿直线AD 折 叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）； A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝13、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折 痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）.A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 2二、填空题（每题2分，共18分）14、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=_________________； 15、命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是_____________________________；16、如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成， 若图中大小正方形的面积分别为52和4_________ ；（第16题）17、 如图，正方形ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为3，那么AC 2=_______，A ′C 2=________； 18、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最 短路线的长是______________________；19、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是_______________2cm ； 20、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______.21、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=_______ .22、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,P 是△ABC 内一点，且PA=6,PB=2,PC=4,∠BPC=_______ . 三、解答题（共56分）23、如图，一架长2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m ，如果梯 子的顶端沿墙下滑0.4 m ，则梯子的底端将滑出多少米？A DBCB ′A ′C ′D ′ 第17题图 AB第18题图A B D P 第21题图ABC D 7 cm A BC DOAC BP24、小明从家出发向正东方向走了160千米，然后又向正北出发走到离家200千米远的地方。
