勾股定理的逆定理专题训练(含答案)

第3章《勾股定理》：3.2 勾股定理的逆定理选择题1．已知三角形的三边长之比为1：1： 2 ，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7 3．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=13，b=14，c=15；②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④ a =7，b = 24，c = 25 ⑤a=2，b=2，c=4 A．2个B．3个C．4个D．5个4．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=b=5，c=5 2C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=155．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m（第5题）（第6题）（第7题）6．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤137．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m9．放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．以上都不对10．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米11．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（）A．11米B．12米C．13米D．14米（第11题）（第13题）（第14题）12．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米13．如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（）A．150米B．100 3 米C．100米D．50 3 米14．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里15．如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（）A．8cm B．10cm C．413 D．20cm（第15题）（第16题）（第21题）（第22题）16．如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米17．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，418．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米19．一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将下滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m20．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米21．国庆假期中，小华与同学到休博园去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B 的直线距离是（）千米．A．20 B．14 C．11 D．1022．如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A． 3 B．2 3 C．3 3 D．323．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．12cm B．10cm C．14cm D．无法确定（第23题）（第24题）（第25题）24．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（）A．8 B．2 6 C．210 D．2+2 5 25．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm答案：填空题1．故选D．考点：勾股定理的逆定理．分析：由已知得其有两条边相等，并且符合勾股定理的逆定理，从而可判断三角形的形状．解答：解：由题意设三边长分别为：x，x， 2 x∵x2+x2=（ 2 x）2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．故选D．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系满足a2+b2=c2，三角形为直角三角形．2．故选C．考点：勾股定理的逆定理．分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解答：解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故错误；C、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；D、42+62≠72，不能构成直角三角形，故错误．故选C．点评：解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．3．故选A．考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．解答：解：①(13)2+(142)≠(15)2，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．点评：本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．故选D．考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．解答：解：A、92+402=412，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误；B、5+52＝(5 2 )2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误；C、设a=3k则b=4k，c=5k，则（3k）2+（4k）2=（5k）2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误；D、112+122≠152，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故正确．故选D．点评：本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．5．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题；压轴题．分析：了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．解答：解：连接OA，交⊙O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA=OB2+AB2 =10；又OE=OB=6，所以AE=OA-OE=4．因此选用的绳子应该不＞4，故选A．点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．6．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：压轴题．分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选A．点评：主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，有一定的难度．7．故选C．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．解答：解：由题意得BC=8m，AC=6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=错误!=10米．所以大树的高度是10+6=16米．故选C．点评：熟练运用勾股定理．熟记6，8，10是勾股数，简便计算．8．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x-0.5）米．根据勾股定理，得：x2=1.52+（x-0.5）2，x=2.5．那么河水的深度即可解答．解答：：解：若假设竹竿长x米，则水深（x-0.5）米，由题意得，x2=1.52+（x-0.5）2解之得，x=2.5所以水深2.5-0.5=2米．故选A．点评：此题的难点在于能够理解题意，正确画出图形．9．故选C．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意知：他们行走的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，得直角三角形的两条直角边分别是600米，800米，根据勾股定理求得他们两家的距离即可．解答：解：如图：∵小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，即∠1=∠2=45°，故∠AOB=∠1+∠2=90°，即△AOB为直角三角形，A、B分别为小明家和小林家，根据题意得，OA=40×20=800米，OB=40×15=600米，根据勾股定理得，AB=错误!=错误!=1000米．故选C．点评：正确理解题意，注意两条直角边即是两人各自所走的路程，熟练运用勾股定理进行计算．10．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．解答：解：梯脚与墙角距离：错误!=0.7（米）．故选A．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．11．故选B．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．解答：解：由题意得，AB为旗杆的高，AC=AB+1，BC=5米，求AB的长．已知AB⊥BC，根据勾股定理得AB=错误!=错误!，解得，AB=12米．所以旗杆的高度为12米．故选B．点评：此题是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理解答．12．故选B．考点：勾股定理的应用．分析：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．解答：解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，而CA=5米，∴AB=10米，∴AB+AC=15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故选B．点评：本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．13．故选B．考点：勾股定理的应用；方向角．专题：应用题；压轴题．分析：根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．解答：解：在Rt△DAB中，∵∠DAB=30°，AB=100，∴DB=50，勾股定理得，DA=50 3 ，在Rt△DCA中，∵BC=200，DB=50，∴DC=150，∵DA=50 3 ，∴勾股定理得，AC=100 3 ．故选B．点评：此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用．14．考点：勾股定理的应用；方向角．分析：根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解答：解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：322+242 40（海里）．故选D．点评：熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．15．考点：勾股定理的应用．分析：桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长，所以只要求出桶的对角线长则可．解答：解：圆桶最长对角线长为：122+82 =413 cm，桶内能容下的最长的木棒长为：4413 cm．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．故选D．考点：勾股定理的应用．分析：先利用勾股定理计算出墙高，当梯子的顶端沿墙下滑4分米后，也形成一直角三角形，解此三角形可计算梯的底部距墙底端的距离，则可计算梯子的底部平滑的距离．解答：解：墙高为：252−72 =24分米当梯子的顶端沿墙下滑4分米时：则梯子的顶部距离墙底端：24-4=20分米梯子的底部距离墙底端：252−202 =15分米，则梯的底部将平滑：15-7=8分米．故选D．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．17．故选C．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形三边关系及勾股定理即可解答．解答：解：A、132≠122+62，错误；B、122≠82+62，错误；C、132=122+52，正确；D．82≠52+22，错误．故选C．点评：综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理进行判断．18．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．解答：解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=AB2−BC2 =132−52 =12米．故选A．点评：此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．19．故选D．考点：勾股定理的应用．分析：首先根据勾股定理求得第一次梯子的高度是 2.4m，如果梯子的顶端下滑0.4米，即第二次梯子的高度是2米，又梯子的长度不变，根据勾股定理，得此时梯足离墙底端是 2.52−22 =1.5．所以梯足将下滑1.5-0.7=0.8．解答：解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，所以AC2=AB2-BC2，所以AC=2.4，在Rt△DCE中，DE=2.5，CD=AC-AD=2.4-0.4=2，所以CE2=DE2-CD2，所以CE=1.5，此时BE=CE-BC=1.5-0.7=0.8．故选D．点评：注意两次中梯子的长度不变，运用两次勾股定理进行计算．20．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．解答：解：如图所示，AB=13米，BC=5米，由勾股定理可得，AC=AB2−BC2 =132−52 =12米．故选A．点评：此题考查学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题．21．故选D．考点：勾股定理的应用；坐标确定位置．分析：根据题意先求A、B两地的水平距离和竖直距离，运用勾股定理求AB的长．解答：解：根据题意得：AB之间的水平距离和竖直距离分别为6和8，据此构造的直角三角形直角边为6，8，所以AB=10，即门口A到藏宝点B的直线距离是10千米．故选D．点评：本题考查两点的距离，可构造直角三角形，利用勾股定理求解．22．故选C．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：由题意知，底面圆的直径AB=4，故底面周长等于4π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=nπ×6 180，解得n=120°，所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，因为半径PA=PB，∠APB=60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，根据勾股定理求得AD=3 3 ，所以蚂蚁爬行的最短距离为3 3 ．故选C．点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．23．故选B．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．解答：解：如图所示：可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长BC= 4π2=2π=6，矩形的宽AC=8，在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，根据勾股定理得：AB=(2π)2+64 ≈10．故选B．点评：要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．24．故选C．考点：平面展开-最短路径问题．分析：把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．解答：解：把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，∵M、N为C1D1和BB1的中点，∴NB1=2，MC1=2，在Rt△NMB1中，MN=22+62 =210 ．故选C．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．24．故选A．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．25．故选A．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．26．故选A．考点：勾股数．分析：欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解答：解：（1）1.52+22=2.52，但不是正整数，故错误；（2）（ 2 ）2+（ 2 ）2=22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；（3）122+162=202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；（4）0.52+1.22=1.32，但不是正整数，故错误．故选A．点评：解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．27．故选B．考点：命题与定理；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．分析：利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理对各选项进行逐一证明即可．解答：解：A、正确，根据三角形内角和为180°可以证明；B、错误，根据三角形内角和为180°可以证明不成立；C、正确，利用勾股定理的逆定理可以证明；D、正确，利用勾股定理的逆定理可以证明．故选B．点评：利用三角形内角和为180°和勾股定理的逆定理可解决上述问题．填空题28．故答案分别填：8个．考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题可先根据AB两点的坐标得出直线的方程，再设C点的坐标为：（x，y），根据点到直线的公式得出C点的x与y的关系，然后分别讨论∠A为直角时或∠B 为直角时或∠C为直角几种情况进行讨论即可得出答案．解答：解：到直线AB的距离为4的直线有两条．以一条直线为例，当∠A为直角时，可得到一个点；当∠B为直角时，可得到一个点；以AB为直径的圆与这条直线有2个交点，此时，∠C为直角．同理可得到另一直线上有4个点．点评：本题需注意：到一条直线距离为定值的直线有两条；需注意分情况讨论三角形为直角的情况．29．点A（-6，8）到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．29．故答案分别填：8、6、10．考点：两点间的距离公式．分析：根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．根据两点之间的距离公式便可求出点到原点的距离．解答：解：由点A（-6，8）可知，此点到x轴的距离为|8|=8，到y轴的距离为|-6|=6，到原点的距离为82+(−6)2 =10．故答案分别填：8、6、10．点评：解答此题的关键是熟知点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．30．点（3，4）到原点的距离为．30．故答案填：5．考点：两点间的距离公式．分析：先画出图形，然后利用勾股定理根据图形计算．解答：解：如图：设原点为D，点A为题是点（3，4），则根据勾股定理，DA=32+42 =5．故答案填：5．点评：本题要熟悉平面直角坐标系的结构及点的坐标的意义．。

CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。

4Education intelligently快乐学习 健康成长细节决定未来-1 -勾股定理的逆定理、基础巩固1•满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 : 2 : 3B.三边长的平方之比为 1 : 2 : 3C.三边长之比为 3 : 4 : 5D.三内角之比为 3 : 4 : 52•如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件 ABCD , AD // BC ,斜腰DC 的长为10 cm , / D=120°3•如图18-2-5,以Rt △ ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 AB 的长为 __________ .14•如图18-2-6,已知正方形 ABCD 的边长为4, E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且 AF= — AD ，试 4判断△ EFC 的形状•5•一个零件的形状如图 18-2- 7,按规定这个零件中/ A 与/ BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边 尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗?图 18-2- 76•已知△ ABC 的三边分别为 k 2- 1, 2k , k 2+1 （ k > 1）,求证：△ ABC 是直角三角形启智教育则该零件另一腰AB 的长是cm （结果不取近似值）图 18 — 2- 4图 18 - 2-6S 1、S 2、S 3,且 S 1=4, S 2=8，则A 1)A FD启智教育Education intelligently 快乐学习健康成长、综合应用7•已知a、b、c是Rt△ ABC的三边长，△ A i B i C i的三边长分别是2a、2b、2c,那么△ A i B i C i是直角三角形吗？为什么？8•已知：如图i8- 2-8，在△ ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD・BD.求证：△ ABC是直角三角形•图i8 —2-89•如图i8-2 - 9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A ( 3, i), B (2, 4), △ OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论•iO.阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足a2c2- b2c2=a4- b4,试判断△ ABC的形状•解：■/ a2c2- b2c2=a4—b4, (A) /• c2(a2- b2)=(a2+b2)(a2- b2), (B) /. c2=a2+b2, (C)「.A ABC 是直角三角形• 问：①上述解题"过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_________ ;②错误的原因是r_____________ ；③本题的正确结论是 __________ •ii・已知：在△ ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=i0a+24b+26c・试判断△ ABC的形状•启智教育细节决定未来-2 -Education intelligently快乐学习 健康成长细节决定未来-3 -12.已知：如图 18-2 — 10,四边形 ABCD , AD // BC , AB=4 , BC=6, CD=5 , AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18— 2 —10参考答案一、基础巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2•解：过D点作DE // AB交BC于E,则△ DEC是直角三角形•四边形ABED是矩形，••• AB=DE.•••/ D=120，•/ CDE=30 .又•••在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，• CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= 102525、3 cm.•- AB= . 10252 5.3 cm.3. 思路分析：因为△ ABC是Rt △，所以BC2+AC2=AB2,即S+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB 2,所以AB= . S^ 12 2 3.答案：2.34. 思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：••• E 为AB 中点，• BE=2.•- CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.••• CE2+EF2=CF2,• △ EFC是以/ CEF为直角的直角三角形.5. 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和厶DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ ABD 中，AB2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2,所以△ ABD 为直角三角形，/ A =90°.在厶BDC中,BD2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC2. 所以△ BDC是直角三角形，/ CDB =90 .启智教育Education intelligently快乐E学习健康成长因此这个零件符合要求6•思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证明：••• k2+i>k2—1,k2+i —2k=(k - 1)2>0,即k2+1>2k ,二k2+1 是最长边.••• (k2—1)2+(2k )2=k4—2k2+i+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,•••△ ABC是直角三角形.二、综合应用7•思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形(例2已证).8•思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证明：••• AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,•AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD - BD+BD 2=(AD+BD ) 2=AB 2.•△ ABC是直角三角形.9•思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ OAB是否是直角三角形即可.解：••• OA2=OA I2+A I A2=32+12=10,OB2=OB I2+B I B2=22+42=20,AB 2=AC 2+BC2=12+32=10,•- OA2+AB 2=OB2•••△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形•10. 思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B)②没有考虑a=b这种可能，当a=b时厶ABC是等腰三角形：③厶ABC是等腰三角形或直角三角形.11. 思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0,则都为0; (3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得a2—10a+25+b2—24b+144+c 2—26c+169=0,配方并化简得,(a—5)2+(b —12)2+(c —13)2=0. ••• (a—5)2》0,(- 12)2》0,(- 13)2为.启智教育Education intelligently快乐学习 健康成长细节决定未来-8 -a — 5=0,b — 12=0,c — 13=0. 解得 a=5,b=12,c=13. 又••• a 2+b 2=169=c 2, •••△ ABC 是直角三角形.12. 思路分析：(1 )作DE // AB ，连结BD ，则可以证明 △ ABD ◎△ EDB (ASA );(2)DE=AB=4 , BE=AD=3 , EC=EB =3; (3)在△ DEC 中，3、4、5 为勾股数， △ DEC 为直角三角形, DE 丄BC ; (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解 解：作 DE // AB ，连结BD ，则可以证明 △ ABD EDB (ASA ),• DE=AB=4 , BE=AD=3. •/ BC=6, • EC=EB=3.T DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,• △ DEC 为直角三角形. 又••• EC=EB=3,• △ DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在厶 BDA 中 AD 2+AB 2=32+42=25=BD • △ BDA 是直角三角形$△ BDA = 1 X 3X 4=6^DBC 」怡X=12.2 2• S 四边形 ABCD =S △ BDA +S A DBC =6+12=18.它们的面积分别为。

勾股定理的逆定理练习试题勾股定理逆定理练习题一、选择1.△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ） A ．a=41，b=40，c=9 B ．a=1.2，b=1.6，c=2C ．a=12，b=13，c=14D ．a=35，b=45，c=12. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）． A ．12．5 B ．12 C ．1522D ．9 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D6.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5二、填空1、若果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形，且______所对的角=90°.注：若a ，b ，c 能围成RT △则把它们同时扩大或缩小相同的倍数也可围成________.2、直角△的两条直角边长分别为1cm 和2cm ，一个正方形的边长恰好等于这个直角△的斜边长，则这个正方形的面积为__________.3、一个等腰△腰长为13cm ，边长为10cm ，则底边上的高位_______.4、如图，带阴影的矩形面积是________平方厘米。

. 3cm17cm8cm5、若15,25，X 三个数为勾股数，则X=_______6、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是三、解答题1、.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.2、如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－93、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.4、如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.5、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？6、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.ADC BA7、如图18－2－5，在ABC∆中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求ABC∆的周长和面积．8、如图18－2－7，四边形ABCD中，B=90∠o，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．扩展延伸题：1、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．l321S4S3S2S12、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(简单证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；3、图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形5的边长为1cm，则正方形1的边长为多少cm.。

勾股定理的逆定理一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－910.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18－2－10参考答案一、基础·巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E, 则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S . 答案：324.思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.∵CE 2+EF 2=CF 2,∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.5.分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°.在△BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2.所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=O B2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.∴a －5=0,b －12=0,c －13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.。

专题1.2 勾股定理的逆定理【八大题型】【北师大版】【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 (1)【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 (3)【题型3 在网格中判断直角三角形】 (6)【题型4 勾股数的探究】 (9)【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】 (13)【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】 (16)【题型7 勾股逆定理的应用】 (19)【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】 (23)【知识点 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．【题型1 判断三边能否构成直角三角形】【例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a 、b 、c 组成的三角形是直角三角形的是（ ）A ．a =5,b =3,c =3B ．a =13,b =15,c =14C ．a =6,b =4,c =5D ．a =7,b =24,c =25【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】解：A 、32+32=18≠52，故不能组成直角三角形，故不合题意；B +=41400≠，故不能组成直角三角形，故不合题意；C 、42+52=41≠62，故不能组成直角三角形，故不合题意；D 、72+242=625=252，故不能组成直角三角形，故不合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足(a +b )(a−b )=c2，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】B【分析】将原式整理为a2=b2+c2，即可判断.【详解】解：∵(a+b)(a−b)=c2，∴a2−b2=c2，∴a2=b2+c2，∴这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出a2=b2+c2是解题的关键.【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图，以△ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，则△ABC的形状是________三角形．【答案】直角【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案．【详解】解：∵S1=2，S2=3，∴BC2=2，AC2=3，∵AB2=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有___________（填序号）．【答案】①②③【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵三角形三个内角之比为5:6:1，=90°，∴三角形最大的内角为180°×6561∴该三角形为直角三角形，故①正确；∵2+=2，∴该三角形为直角三角形，故②正确；∵92+402=412，∴该三角形为直角三角形，故③正确；∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形内角和为180度和勾股定理的逆定理是解题的关键．【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C 到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有______个．【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则∠C=90°；（2）AB为直角边，AC=2cm或BC=2cm；【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2cm，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C 也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（）A．4B．2C．1D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上，在图中画ΔABC（点C在小正方形的顶点上），使ΔABC为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）【答案】ΔABC为直角三角形，理由详见解析.【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.【详解】解：如图所示.图1图2如图1，在ΔABC中，AC=5，BC=3，AB2=32+52=34因为AC2+BC2=52+32=34=AB2，所以∠ACB=90°，即ΔABC为直角三角形.如图2，在RtΔACD中，AC2=CD2+AD2=12+12=2.在RtΔBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.在RtΔABF中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.所以AC2+CB2=AB2，所以∠ACB=90°，即ΔABC为直角三角形.【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.【题型3在网格中判断直角三角形】【例3】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（）A．2.5B．3C．D【答案】A【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,则AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．【详解】解：由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,∴AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，BC=2.5．∴AD=12故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识点，根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基础，掌握斜边上的中线的性质是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为_________．【答案】45°【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．【详解】解：如图，连接AC，由题意，AC=，BC=AB∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．【变式3-2】（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)求证：∠BCD=90°．【答案】(1)周长为：32(2)见解析【分析】（1）借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长；（2）在△ABC中，根据勾股定理的逆定理进行判定．【详解】（1）解：根据勾股定理可知AB=3BC=CD=AD=5∴四边形ABCD的周长为+面积为：8×8−12×3×3−12×5×5−12×5×3−12×3×5=32．（2）证明：连接BD，∵BC=CD=DB=∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·八年级单元测试）如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则∠APB=________．【答案】135°【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解．【详解】解：延长AP至C，连接BC，CP=CB=BP∵2+2=2，即CP2+CB2=BP2，∴△PCB是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°−45°=135°，故答案为：135°．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△PCB是等腰直角三角形．【题型4勾股数的探究】【例4】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数．如(3,4,5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：（___________），（___________）；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2−1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．【答案】(1)5，12，13；7，24，25(2)证明见解析【分析】（1）根据x2+y2=z2，即可得出5，12，13、7，24，25是勾股数；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【详解】（1）∵52+122=169,132=169，∴52+122=132，∴5，12，13是勾股数；∵72+242=625,252=625，∴72+242=252，∴7，24，25是勾股数；故答案为：5，12，13；7，24，25；（2）证明：∵x=2n，y=n2−1，∴x2+y2=(2n)2+(n2−1)2=4n2+n4−2n2+1=n4+2n2+1=(n2+1)2=z2，即x，y，z为勾股数．∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形．【点睛】此题考查勾股逆定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股逆定理的证明，根据勾股定理得出勾股数是解题的关键．【变式4-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）A．B．6，8，10C．D．2，3，4【答案】B【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．【详解】解：A+=7=5，7≠5，故此选项错误；B、62+82=100，102=100，且100=100，故此选项正确；C、12+=3=3，3=3D、22+32=13，42=16，13≠16，故此选项错误．故答案为：B．【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足a2+b2=c2．【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且m>n）：m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22−1232−1232−2242−1242−22…(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)m2+n2，2mn，m2−n2(2)以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据给出的数据总结即可；（2）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理逆定理进行判断．【详解】（1）解：观察可得a=m2+n2，b=2mn，c=m2−n2，故答案为：m2+n2，2mn，m2−n2；（2）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，b2+c2=m4−2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，∴a2=b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理的逆定理，熟练掌握：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．【变式4-3】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【答案】（1）见解析；（2）a=9730b，a＝31，b＝4；（3）见解析7【分析】（1）根据勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一条直角边长为2mn，因为m，n为正整数，所以2mn也为正整数，即可得证；（2）首先根据勾股定理求出a关于b的代数式，再根据被开方数需大于等于0，即可求得a、b的范围，且a、b 均为正整数，将b的可能值：1，2，3，4分别代入，即可求得符合条件的正整数a、b；（3）观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，而252=152+202，故存在．【详解】（1）证明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（m2+n2+m2﹣n2）•（m2+n2﹣m2+n2）＝2m2•2n2＝（2mn）2，∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，∵m，n为正整数，且m＞n，∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数，∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）由勾股定理得：7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，∴a=9730b7，由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，∴a＞1，0＜b＜5，∵a和b均为正整数，∴b的可能值为：1，2，3，4，当b＝1时，a=97307=1277，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a=1577，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a=97907=1877，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a=971207=2177=31==∵2+2=240，4=240，∴2+2=4，∴b＝4符合题意，∴a=9730b7，a＝31，b＝4；（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1•c2＝5×5＝25，152+202＝225+400＝625，252＝625，∴152+202＝252．∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【点睛】本题目考查勾股定理，难度一般，也是中考的常考知识点，熟练掌握勾股定理的应用以及二次根式的相关性质是顺利解答此题的关键．【题型5利用勾股定理的逆定理证明】【例5】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4．求证：∠ACB=90°．【答案】见解析【分析】根据勾股定理得出BC2，AC2，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【详解】证明：∵CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4，∴BC2=BD2+CD2=12+22=5，AC2=AD2+CD2=42+22=20，∵AB=AD+BD=4+1=5，∴AB2=25=AC2+BC2=20+5，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°．【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理与其逆定理的区别是解题的关键．【变式5-1】（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a=n2−1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．【答案】直角三角形，理由见解析【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵a=n2−1,b=2n,c=n2+1∴a2=(n2−1)2=n4−2n2+1，b2=(2n)2=4n2，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答的关键．【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．【答案】△ABC是直角三角形，证明见解析【分析】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，【详解】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，然后根据绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC2,b+e=BC2求解即可．．∵绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等∴a+b=c∴a+b+d+e=c+d+e∴(a+d)+(b+e)=c+d+e∵a+d=AC2,b+e=BC2∴c+d+e=AB2∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．【变式5-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中线，点E在AD的延长线上，且AD=ED=12．(1)求证：△CDE≌△BDA；(2)证明：CE⊥AE；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)84【分析】（1）根据SAS证明△CDE≌△BDA即可；（2）结论：△ACE是直角三角形；首先根据△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根据勾股定理的逆定理即可证明；（3）由全等三角形的性质得出S △ABC =S △ACE ，所以计算△ACE 的面积，即可得出△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵AD 是边BC 上的中线，∴BD =CD ，在△BDA 和△CDE 中，AD =BD ∠ADB =∠EDC BD =CD，∴△CDE≌△BDA （SAS ），（2）结论：△ACE 是直角三角形；理由：由（1）知：△CDE≌△BDA ,∴CE =AB =7，∵AD =ED =12，∴AE =24，∵AE 2+CE 2=242+72=625，AC 2=252=625，∴AE 2+CE 2=AC 2，∴∠E =90°，∴△ACE 是直角三角形；（3）∵△CDE≌△BDA ，∴S △CDE +S △ADC =S △ADC +S △BDA ，∴S △ABC =S △ACE ，∵S △ACE =12AE·CE =12×24×7=84，∴S △ABC =84．【点睛】此题是三角形的综合题，考查三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理的运用，三角形的面积计算方法，掌握三角形全等的判定方法与勾股定理逆定理是解决问题的关键．【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB =5，BC =4，AC =3，将三角形纸片沿AD 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，则△BDE 的周长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理判断出∠C=90°，利用翻折不变性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB2=BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由翻折的性质可知：AE=AC=3，CD=DE，∴BE=2，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的长．【答案】AC=256【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程即可解答．【详解】解：∵BC=5，BD=3，CD=4，∴BD2＋CD2=32＋42=25=BC2．∴∠BDC=90°．∴∠ADC=180°−∠BDC=90°．∴AD2＋CD2＝AC2．设AC=x．∵AB=AC，BD=3，∴AD=x−3．∴(x−3)2＋42＝x2．解得x=256．∴AC=256．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键在于熟练掌握定理，灵活运用．【变式6-2】（2023春·河南开封·八年级统考期末）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足(a+2b−11)2+|2a−b−2|=10c−25−c2，请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积．【答案】△ABC是直角三角形，它的周长是12，面积是6【分析】首先把原等式变形为(a+2b−11)2+|2a−b−2|+(c−5)2=0，利用非负数的性质，建立三元一次方程组，求得a、b、c的数值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，进一步求得周长和面积即可．【详解】解：由题意得(a+2b−11)2+|2a−b−2|+c2−10c+25=0，∴(a+2b−11)2+|2a−b−2|+(c−5)2=0，∴a+2b−11=02a−b−2=0c−5=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，它的周长是3+4+5=12，面积是12×3×4=6．【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解三元一次方程组，勾股定理逆定理以及三角形的周长和面积的计算方法；注意解题的思路与方法的灵活性．【变式6-3】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）已知在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，点E为边AC 上的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是_________．【答案】12013【分析】先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB =90°，再作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E,B ′F,AB ′，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当B ′F ⊥AB 时，线段FE +EB 的值最小，最小值为B ′F ，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：∵在△ACB 中，AC =12,BC =5,AB =13，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，如图，作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E,B ′F,AB ′，∴B ′C =BC =5,BB ′=2BC =10,B ′E =BE ，∴FE +EB =FE +B ′E ，由两点之间线段最短可知，当点B ′,E,F 共线时，FE +B ′E 最小，最小值为B ′F ，由垂线段最短可知，当B ′F ⊥AB 时，B ′F 的值最小，又∵S △ABB ′=12AB ⋅B ′F =12AC ⋅BB ′，∴12×13B ′F =12×12×10，解得B ′F =12013，即FE +EB 的最小值为12013，故答案为：12013．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键．【题型7 勾股逆定理的应用】【例7】（2023春·广东广州·八年级统考期中）如图，在笔直的公路AB 旁有一座山，从山另一边的C 处到公路上的停靠站A 的距离为AC =15km ，与公路上另一停靠站B 的距离为BC =20km ，停靠站A 、B 之间的距离为AB =25km ，为方便运输货物现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到C 处，且CD ⊥AB ．(1)请判断△ABC 的形状？(2)求修建的公路CD 的长．【答案】(1)直角三角形(2)12km【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，由AC 2+BC 2=AB 2得到△ABC 是直角三角形．（2）利用△ABC 的面积公式可得，CD ⋅AB =AC ⋅BC ，从而求出CD 的长．【详解】（1）解：△ABC 是直角三角形．理由：∵AC =15km ，BC =20km ，AB =25km ，∴ 152+202=252，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形．（2）解：∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ，∴CD =AC⋅BC AB =15×2025=12(km)．答：修建的公路CD 的长是12km ．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【变式7-1】（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC 区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A 飞向点B ，已知点C 为其中一个着火点，且点C 与点A ，B 的距离分别为600m 和800m ，又AB =1000m ，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．(1)求△ABC 的面积．(2)着火点C 能否受到洒水影响？为什么？【答案】(1)240000m 2(2)受影响【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，再利用面积公式计算即可；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响．【详解】（1）解：∵AC =600m ，BC =800m ，AB =1000m ，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∴S △ABC =12×AC ×BC =240000m 2；（2）如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∴S △ΔABC =12AC ⋅BC =12CD ⋅AB ，∴600×800=1000CD ，∴CD =480，∵飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响，∴着火点C 受洒水影响．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【变式7-2】（2023春·广西桂林·八年级统考期中）一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC ＝15米，AD ＝13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？【答案】电线杆和地面垂直，理由见解析【分析】由勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答．【详解】解：电线杆和地面垂直，理由如下：连接BD在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴电线杆和地面垂直．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．【答案】北偏东40°【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【详解】由题意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里），又∵AB=100海里，∵602+802=1002，即OB2+OA2=AB2∴∠AOB=90°，∵∠DOA=50°，∴∠BOD=40°，则B舰艇的航行方向是北偏东40°，故答案为：北偏东40°．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解决问题的关键．【题型8勾股定理及其逆定理的综合】【例8】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为________．【答案】24【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根据阴影部分的面积S等于S△ABC−S△ABD，即可．【详解】∵AD⊥BD，∴AB2=AD2+BD2，∵AD=4，BD=3，∴AB=5，∵AC=13，BC=12，∴AC2=169，BC2=144，AB2=25，∴AC2=BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，设阴影部分的面积S，∴S=S△ABC−S△ABD=12×AB×BC−12×AD×BD，∴S=24，∴设阴影部分的面积为：24．故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理．【变式8-1】（2023春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=14AB，求证：∠FEC=90°．【答案】见解析【分析】由正方形的性质和已知求得AF=1，FD=3，由中点的性质得AE=EB=2，利用勾股定理求得EF，EC，FC，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论．AB，【详解】证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF=14∴AF=1，FD=3，DC=BC=4，∵E为AB的中点，∴AE=EB=2，在Rt△AEF中，EF=在Rt△DFC中，FC===5，在Rt△EBC中，EC==∴EC2+EF2=FC2，∴△EFC是以EC、EF为直角边的直角三角形，∴∠FEC=90°．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理解答是证明此题的关键．【变式8-2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上．经测量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC长12米．(1)求△ABD的面积；(2)求小路DE的长．【答案】(1)120平方米(2)14.4米【分析】（1）根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可；（2）设DC =x 米，利用勾股定理求解出DC =18米，AC =30米，再利用等积法求解即可．【详解】（1）∵BD 2=102=100，AD 2=242=576，AB 2=262=676，∴BD 2+AD 2=AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB =90°，∴S △ABD =12BD ⋅AD =12×10×24=120（平方米）；（2）设DC =x 米，则AC =(x +12)米，由（1）知∠ADB =90°，由勾股定理得x 2+242=(x +12)2，解得x =18，∴DC =18米，AC =30米，∵DE ⊥AC ，∴S △ACD =12AC ⋅DE =12DC ⋅AD ，∴30DE =18×24，∴DE =14.4（米）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理证明是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，已知正方形OABC 的边长为8，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点D 是x 轴上一点，坐标为(2，0)，点E 为OC 的中点，连接BD 、BE 、ED ．(1)求点B 的坐标；(2)判断△BED 的形状，并证明你的结论．【答案】(1)(8，8)(2)△BED 是直角三角形【分析】（1）根据正方形的性质可得OA=OC=8，进而求出点B的坐标；（2）求出BD、BE、ED的平方，根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】（1）解：正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，所以OA=OC=8，因此，点B的坐标为(8，8)．（2）解：△BED是直角三角形；点D是x轴上一点，坐标为(2，0)，点E为OC的中点，∴OD=2，OE=CE=4，DA=6，∴ED2=OD2+OE2=20，EB2=BC2+CE2=80，DB2=BA2+AD2=100，∴ED2+EB2=DB2，∴△BED是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理及逆定理，解题关键是根据正方形性质写出点的坐标，利用坐标求出线段的平方．。

2020-2021年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步提升训练（附答案）1．下列各组线段中不能作为直角三角形三边长的是（）A．1、、2B．1、、C．、2、D．、、2．下列说法不正确的是（）A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形C．△ABC的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形3．下列各组数是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．5，7，9C．4，5，6D．6，8，104．如果用，a、b、c表示△ABC的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（）①b2＝c2﹣a2②a：b：c＝3：4：5③∠C＝∠A﹣∠B④∠A：∠B：∠C＝12：13：15A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（）A．44°B．56°C．46°D．68°6．如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m后往东一拐，仅走0.5m就到达了B．则点A与点B之间的直线距离是（）A．10m B．8.5m C．7m D．6.5m7．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC 的BC边上的高是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题）8．将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为cm．9．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝°．10．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度．11．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC尺．12．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是尺．13．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．14．若一个三角形的三边长为m+1，12，m+5，当m＝时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5．15．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有组这样的“完美勾股数”．16．将一根16cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的最短长度是．17．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是．19．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动．20．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC ＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．21．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．22．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．23．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？24．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？25．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？26．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．27．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6．（1）求证：△ABD≌△ECD；（2）求△ABD的面积．参考答案1．解：A．∵12+（）2≠22，∴以1，，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+（）2＝（）2，∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵22+（）2＝（）2，∴以2，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵（）2+（）2＝（）2，∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：A、△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，可得，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；B、△ABC中，若b2﹣c2＝a2，可得，b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；C、△ABC的三边之比是5：12：13，可得，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；D、△ABC中，若a2+b2≠c2，而b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法错误，符合题意；故选：D．3．解：A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；B、∵52+72≠92，∴这组数不是勾股数；C、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；D、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数．故选：D．4．解：①b2＝c2﹣a2，可以变形为b2+a2＝c2，是直角三角形；②∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴a2+b2＝c2，∴是直角三角形；③∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∵∠C+∠B+∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，∴设∠A＝×180°≠90°∴不是直角三角形；则直角三角形有3个，故选：C．5．解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°．过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．∵CM∥EF，∠EFC＝136°，∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．又∵CM∥BD，∴∠CBD＝∠BCM＝46°．故选：C．6．解：过点B作BC⊥AD于C，从图中可以看出AC＝4﹣2+0.5＝2.5（m），BC＝4.5+1.5＝6（m），在直角△ABC中，AB为斜边，则AB＝＝6.5（m）．答：从点A到点B之间的距离是6.5m，故选：D．7．解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，在△ABC中，BC＝4，CA＝3，AB＝5，∴△ABC是直角三角形，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE＝OF＝OD，设OE＝x，∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴×4×3＝OD×5+OE×3+OF×4，∴5x+3x+4x＝12，∴x＝1，∴点O到BC的距离等于1．即△BOC的BC边上的高是1，故选：A．8．解：设筷子露在杯子外面的长度为h，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝20（cm），故h＝24﹣20＝4（cm）．故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm．故答案为：4．9．解：连接BC，由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，∴∠OCB＝90°，即△COB是等腰直角三角形，∴∠COB＝45°，∵∠DOA＝90°，∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，故答案为：45．10．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（x+1）2＝x2+52，解得：x＝12，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．11．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为4尺．故答案为：＝4．12．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．13．解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．故答案为：680．14．解：由题意可得，（m+1）2+122＝（m+5）2，解得m＝15．故答案为：15．15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，∴共有8组这样的“完美勾股数”．故答案为：8．16．解：如图，由题意知：盒子底面对角长为＝5（cm），盒子的对角线长：＝13（cm），∵细木棒长16cm，∴细木棒露在盒外面的最短长度是：16﹣13＝3cm．故答案为：3cm．17．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝8米，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，斜边长AC＝＝13米，即小鸟至少要飞13米．故答案为13．18．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AD•AB＝15，故答案为：15．19．解：依照题意画出图形，如图所示．在Rt△AOB中，OB＝3m，AB＝5m，∴OA＝＝4m．在Rt△COD中，OC＝OA﹣AC＝3m，CD＝AB＝5m，∴OD＝＝4m，∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1m．故答案为：1m．20．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，∴m；（2）如图，连接BE，在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，∵AB＝16m，AE＝2m，∴AB2+AE2＝162+22＝260，∴AB2+AE2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．21．解：（1）a2+b2＞c2，理由如下：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，整理得：a2+b2＝c2+2ax，∵2ax＞0，∴a2+b2＞c2；（2）a2+b2＜c2，理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，设CE＝x，则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，∵2ax＞0，∴a2+b2＜c2；（3）连接AC，作DF⊥AC于F，由勾股定理得，AC＝＝100，由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，解得，CF＝30，则DF＝＝60，∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米222．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，∴AC＝＝＝5（米），∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2+CD2＝AC2＝25，∴∠ADC＝90°；（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．23．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．由题意得x2+52＝（x+1）2．解得x＝12．∴x+1＝13．答：水深12尺；芦苇长13尺．24．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．25．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，∴502+x2＝（80﹣x）2+302，解得x＝30．答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．26．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．27．证明：（1）∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），（2）∵△ABD≌△ECD，∴AB＝CE＝5，∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30，∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝15。

17.2 勾股定理的逆定理1．下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A ．对顶角相等B ．正方形的四个角都是直角C ．两直线平行，同位角相等D ．菱形的对角线互相垂直 2．下列定理有逆定理的是 ( )A ．直角都相等B ．同旁内角互补，两直线平行C ．同位角相等D ．全等三角形的对应角相等3．下列各组数是三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组数是 ( )A ．3，4，5B ．6，8，10C ．1.5，2，2.5D ．543，，4.若一个三角形的三边长之比为8：15：17，则它为________三角形．5．如图17-2-1．以△ABC 的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为________.6．如图17-2-2，四边形ABCD 中，∠C=90º，BD 平分∠ABC ，AD=3，E 为AB 上一点，AE=4，ED=5，求CD 的长．7．下列四组数：(1)0.6，0.8，1；(2)5，12，13；(3)8，15，17；(4)4，5，6．其中勾股数的组数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4能力提升全练1．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )A ．∠A =∠C-∠B B ．a:b:c=2:3:4C ．a ²=b ²-c ²D ．a=34，b=45，c=12．如图17-2-3，四边形ABCD 中，AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm, DA=13 cm ，且∠ABC=90º，则四边形ABCD 的面积为( )A ．6 cm²B ．30 cm²C ．24 cm²D ．36 cm² 3．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a ²c ²-b ²c ²=a ⁴-b ⁴，试判断△ABC 的形状． 解：∵a ²c ²-b ²c ²=a ⁴-b ⁴，①∴c²(a²-b²)=(a²-b²)(a²+b²),②∴c²=a²+b²．③∴△ABC为直角三角形，④(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__________；(2)错误的原因是________________________________________________________；(3)本题正确的结论是____________________________________________________. 三年模拟全练一、选择题1．F列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( )A．1.5，2，2.5 B．4，5，6C．2，3，4 D．1，2，32．下列各组数中，是勾股数的为 ( )A．1，1，2 B．1.5，2，2.5C．7，24，25 D．6，12，133．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A．乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000 m，甲客轮沿着北偏东30º的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 ( )A．南偏东60º B．南偏西60º C．北偏西30º D．南偏西30º二、填空题4．三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b)²=c²+2ab，则这个三角形是_________．三、解答题5．如图17-2-4，每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)∠DAB是直角吗？五年中考模拟一、选择题1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米二、填空题3．如图17-2-5，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．则∠ACB 的大小为_______.核心素养全练1．王老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表：(1)请你分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示a 、b 、c ；(2)猜想：以a 、b 、c 为边长的三角形是不是直角三角形，请证明你的猜想．2．如图17-2-6，南北线MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以13海里／时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇曰密切注意，反走私艇A和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 和走私艇C 的距离是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？3．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形， 理解：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？________（填“是”或“不是”）；②若某三角形的三边长分别为1、7、2，则该三角形________（填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究：在Rt △ABC 中，两边长分别是a 、c ，且a ²=50，c ²=100，则这个三角形是不是奇异三角形？请说明理由， 拓展：在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a²：b²：c²．17.2 勾股定理的逆定理1．C“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线判定定理，所以逆命题是真命题．2．B“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”，选项A错误；“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，选项B正确；“同位角相等”的逆命题是“相等的角是同位角”，选项C错误；“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“角对应相等的三角形是全等三角形”，选项D错误，故选B．3．D ∵3²+4²=5²，∴此三角形是直角三角形，选项A不合题意；∵6²+8²=10²,∴此三角形是直角三角形，选项B不合题意；∵1.5²+2²=2.5²,∴此三角形是直角三角形，选项C不合题意；()()()222543≠+,∴此三角形不是直角三角形，选项D符合题意，故选D．4.答案直角解析设三边长分别为8k，15k，17k( k＞0)，则(8k)²+(15k)²=289k²=(17k)²，由勾股定理的逆定理，可判断此三角形为直角三角形．5．答案直角三角形解析由题意得S₁+S₂=S₃，即222212121212121⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ABACBCπππ,∴BC²+AC²=AB²,∴△ABC为直角三角形．6．解析∵AD=3,AE=4,ED=5,∴AD²+AE²=ED²．∴∠A=90º,∴DA⊥AB．∵∠C=90º,∴DC⊥BC．∵BD平分∠A BC,∴CD=AD=3．7．B(1)中各数不全是正整数；(2)中5²+12²=13²；(3)中8²+15²=17²；(4)中4²+5²≠6²．故有2组勾股数．1.B A．由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180º，可求得∠C=90º，故△ABC 为直角三角形；B．不妨设a=2，b=3，c=4，此时a²+b²=13，而c²=16，即a²+b²≠c²，故△ABC 不是直角三角形；C ．由条件可得到a ²+c ²=b ²，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形；D ．由条件有a ²+c ²=2222451625143b =⎪⎭⎫ ⎝⎛==+⎪⎭⎫ ⎝⎛，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形．故选B ． 2.C 连接 AC, ∵∠A BC=90º,AB=4 cm,BC=3 cm,∴AC=5 cm,∵CD=12 cm,DA=13 cm,AC ²+CD ²=5²+12²=169=13²=DA ²,∴△ADC 为直角三角形，∴S 四边形ABCD =S △ACD - S △ABC=21AC •CD-21AB •BC =21×5×12-21×4×3=30-6=24(cm ²).故四边形ABCD 的面积为24 cm ²．故选C ．3．答案 (1)③ (2)不能确定a ²-b ²是不是0 (3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形解析 ∵c ²(a ²-b ²)=(a ²-b ²)(a ²+b ²)，∴(a ²-b ²)[c ²-(a ²+b ²)]=0，∴a ²-b ²=0或c ²-(a ²+b ²)=0，即a=b 或a ²+b ²=c ²，∴三角形为等腰三角形或直角三角形，故从第③步开始错误，其原因是不能确定a ²-b ²是不是0． 一、选择题1．A 根据勾股定理的逆定理判断，求出两短边的平方和与最长边的平方，判断是否相等即可．1.5²+2²=2.5²．即三角形是直角三角形，故此选项正确．故选A ． 2．C A ∵1²+1²≠2²，∴不是勾股数，此选项错误； B ．1.5和2.5不是正整数，此选项错误；C .∴7²+24²=25²，且7，24，25是正整数，∴是勾股数，此选项正确；D ．∵6²+12²≠13²，∴不是勾股数，此选项错误，故选C ．3.A 如图，∵甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了40×15=600(m)，乙客轮走了40×20=800(m)．∵A 、B 两点间的直线距离为1000 m ，又∵600²+800²=1000²，∴∠A OB=90º, ∵甲客轮沿着北偏东30º的方向航行， ∴乙客轮沿着南偏东60º的方向航行，故选A ．二、填空题4．答案 直角三角形解析化简（a+b ）²=c ²+2ab ，得a ²+b ²=c ²，所以该三角形是直角三角形. 三、解答题5·解析(1)四边形ABCD 的面积为25-1-21×1×5-21×1×4-21×1×2-21×2×4=14.5， 周长为AB+BC+CD+AD=2617532026175++=+++．(2)∠D AB 是直角．理由如下：连接BD ，∴AB ²+AD ²=5+20=25,BD ²=25.∴AB ²+AD ²=BD ². ∴△ABD 是直角三角形，且∠D AB 是直角. 一、选择题1.A 根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形的三边长必须满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．∵3²+4²=5²，∴长为3，4，5的三条线段能组成直角三角形．故选A ．2．A 将里换算成以米为单位，则三角形沙田的三边长分别为2.5千米．6千米，6.5千米，因为2.5²+6²=6.5²，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以S=21×6×2.5=7.5（平方千米），故选A ． 二、填空题 3．答案 90º解析在网格中，由勾股定理得AC=183322=+，BC=324422=+．AB=507122=+， ∴AC ²+BC ²=AB ²．∴由勾股定理的逆定理，知△ABC 为直角三角形，且∠A CB=90º. 1．解析(1)由题表可以得出： n=2时．a=2²-1,b=2×2,c=2²+1；n=3时，a=3²-1,b=2×3,c=3²+1； n=4时，a=4²-1,b=2×4,c=4²+1； ……∴a=n ²-1，b=2n ，c=n ²+1（n ＞1，且n 为自然数）． (2)以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形， 证明：∵a ²+b ²=(n ²-1)²+4n ²=n ⁴+2n ²+1, c ²=(n ²+1)²=n ⁴+2n ²+1, ∴a ²+b 2=c 2．∴以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形． 2．解析 设MN 与AC 相交于E ，则∠B EC=90º， ∴AB ²+BC ²=5²+12²=13²=AC ².∴△ABC 为直角三角形，且∠A BC=90。

第 3 章《勾股定理》 ： 3.2 勾股定理的逆定理填空题1． 你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高 0.9m ，宽 1.2m 的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC ，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食， 此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m ．（结果不取近似值） 7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池，该 U 型池可以看作是一个长方 体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，其 边缘AB=CD=20，m 点E 在CD 上，CE=2m ，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，则他滑 行的最短距离约为 m ．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）第 3 题） 2． 如图，将一根长 24cm 的筷子，底面直径为 5cm ，高为 12cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为 h cm ，则 h 的最小值是 如图所示的一只玻璃杯，最高为 8cm ，将一根筷子插入其中，杯外最长4 厘 短 2 厘米，那么这只玻璃杯的内径是 厘米． 8 米高的路灯．当电工 B ′处，下滑后，两次梯脚间的距离为 2 cm 3． 米，最 4．如图，一架 10 米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达 师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了 米，则梯顶离路灯 米．第 5 题） 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 错误 !，高为 沿着圆柱体的侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路程是 5． ．（结果保留根（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想得到上底面 B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为cm ．（π 取 3 ）9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8 的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2 米、0.3 米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点， A 点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是米．第10 题）第12 题）11．在一个长为2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01 米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5 寸和3寸，A 和 B 是这个台阶的两个相对端点， A 点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= 解答题14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠ PBQ=6°0 ，且BQ=B，P 连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△ PQC的形状，并说明理由．15．如图，点O是等边△ ABC内一点．将△ BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠ AOB=11°0 ．（1）求证：△ COD是等边三角形；（2）当α =150°时，试判断△ AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α 为多少度时，△ AOD是等腰三角形．16 ．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c 为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ ABC的形状．解：∵a2c2-b 2c2=a4-b 4①∴c2（a2-b 2）=（a2+b2）（a2-b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=9°0 ，（1）试说明：BD⊥BC；（2）计算四边形ABCD的面积．18．如图，△ ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ ACE≌△ BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．19．请阅读下列解题过程：已知a、b、c 为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2 -b 2）=（a2 +b2）（a2 -b 2），B ∴c2=a2+b2，C∴△ ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是：．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+11）请你分别观察a，b， c 与n 之间的关系，并用含自然n（n>1）的代数数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．9 22．如图，在△ ABC 中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB= ．51）求CD，AD的值；2）判断△ ABC的形状，并说明理由．23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图 3 备用）24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为 3 米，DE为 1.68 米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1 米，3≈1.732 ）25 ．如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高 4 米，两树相距8 米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=6°0 ，∠DAE=4°5 ，点D到地面的垂直距离DE=错误!m．求点B到地面的垂直距离BC．27．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距 A 站多少千米处？29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．答案：填空题1．故答案为： 1.5 m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误!=1.5m．点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可．2．故答案为：11cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=错误!=错误!=13cm，h=24-13=11cm．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．故答案为： 6 厘米．考点：勾股定理的应用．分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC 长，那么利用勾股定理可得内径．解：根据条件可得筷子长为12 厘米．如图AC=10厘米，BC=错误!=错误!＝ 6 厘米．点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．4．故答案为：2cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．解答：解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt △ A′ OB′中，根据勾股定理，得：OA′ =6m．则AA′ =8-6=2m．点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．5．故答案为：2 2 ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长， C 是边的中 点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π?错误 !=2，CB=2．∴AC= AB 2+BC 2 = 8 =2 2 ， 故答案为： 2 2 ．点评 ：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽 即高等于圆柱的母线长． 本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， “化曲面为平面”， 用勾股定理解决．6． 故答案为： 3 5 m ．考点：平面展开-最短路径问题． 专题：压轴题；转化思想．分析 ：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问 题，转化为平面上两点间的距离的问题． 根据圆锥的轴截面是边长为 6cm 的等边三角形可知，展开图是半径是 6的半圆．点B 是半圆的一个端点， 而点 P 是平分 半圆的半径的中点， 根据勾股定理就可求出两点 B 和 P 在展开图中的距离， 就是∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是 180 度． 则在圆锥侧面展开图中AP=3， AB=6，∠BAP=90度． ∴在圆锥侧面展开图中 BP= 32+62 = 45 ＝3 5 m ．故小猫经过的最短距离是 3 5 m ．故答案是： 3 5 m ．点评 ：正确判断小猫经过的路线， 把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键． 7． 故答案为： 22m ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析 ：要求滑行的最短距离，需将该 U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线 段最短”得出结果．解答 ： 解：其侧面展开图如图：AD=πR=4π，AB=CD=20．mDE=CD-CE=20-2=18，m在 Rt △ADE 中，AE= AD 2+DE 2 =错误!≈21.9 ≈22m ． 故他滑行的最短距离约为6π， 则 6π =n π×6180 解： 圆锥的底面周长是22m．点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20．m本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．故答案为：15cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B 所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr ，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长．解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B 所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理得AB= 12 2+(3 π )2=错误!=错误!=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．( π 取3) 点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．9．故答案为：10．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为 6 和8，故矩形对角线长AB= 62+82=10 ，即蚂蚁所行的最短路线长是10．点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．10．故答案为：2.5．考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为( 0.2+0.3 )× 3，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3 )×3] 2=2.52，解得x=2.5 ．点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．11．故答案为：2.60 ．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2 ×2=2.4 米；宽为 1 米．于是最短路径为： 2.4 2+12=2.60 米．故答案为： 2.60 ．点评 ： 本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题． 12．故答案为： 25寸．考点：平面展开-最短路径问题．分析 ： 根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．解答 ： 解：将台阶展开矩形，线段 AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分 别为 24 寸，7寸， 由勾股定理得 AB= 72+242 =25 寸．点评 ： 本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．13 ． 故答案为： b=84，c=85； 考点：勾股数． 专题：规律型．分析 ：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个 数为从 3开始连续的奇数， 第二、三个数为连续的自然数； 进一步发现第一个数在 52=12+13中， 12=5 2-1 ，13=5 2+1 ；点评 ： 认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．解答题14．考点：等 边三角形的 性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题：探究型． 分析 ： 根据等边三角形的性质利用 SAS 判定△ ABP ≌△ CBQ ，从而得到 AP=CQ ；设 PA=3a ，PB=4a ，PC=5a ，由已知可判定△ PBQ 为正三角形从而可得到 PQ=4a ，再根 据勾股定理判定△ PQC 是直角三角形．解答：解：（1）猜想： AP=CQ ，证明：∵∠ ABP+∠PBC=6°0 ，∠ QBC ∠+ PBC=6°0 ，∴∠ABP=∠QBC ．又 AB=BC ， BP=BQ ，∴△ABP ≌△CBQ ，∴AP=CQ ；的平方是第二、三个数的和；最后得出第 n 组数为（ 2n+1）， (2 n +1)2- 1 2）， (2n +1)2+1232-1 ），由此规律解决问题． 2 解答： 32-1在 32 =4+5 中，4= 232+1 ，5= 2则在 13、b 、c 中， b= 132-1 2 =84，c=1322+1 =85；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4，a且∠ PBQ=6°0 ，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△ PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．15．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；定理的逆勾股定理．专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵ CO=C，D ∠OCD=6°0 ，∴△COD是等边三角形；（3 分）（2）解：当α=150°，即∠ BOC=15°0 时，△ AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ ADC=∠BOC=15°0 ，又∵△ COD是等边三角形，∴∠ODC=6°0 ，∴∠ ADO=9°0 ，即△AOD是直角三角形；（7 分）（3）解：①要使AO=AD，需∠ AOD∠= ADO．∵∠AOD=36°0 - ∠AOB-∠COD- α =360°- 110°- 60°- α =190°- α ∠ADO=α - 60°，∴190°- α=α- 60°∴α=125°；②要使OA=O，D需∠ OAD∠= ADO．∵∠AOD=19°0 - α，∠ADO=α- 60°，∵∠OAD=18°0 - （∠AOD∠+ ADO）=50°，∴α- 60°=50°∴α=110°；③要使OD=A，D 需∠ OAD∠= AOD．∵190°- α=50°∴α=140°．综上所述：当α 的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12 分）说明：第（3）小题考生答对 1 种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．16．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“ 2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2 分）（2）等号两边不能同除a2-b 2，因为它有可能为零．（4 分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），移项得：c2（a2-b2）- （a2+b2）（a2-b2）=0，得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5 分）∴a2 =b2或c2=a2+b2（6 分）∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7 分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．17．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．解答：解：（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=9°0 ，∴BD=5．又BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥BC．（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．18．考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．专题：证明题．分析：（1）根据SAS判定△ ACE≌△ BCD，从而得到∠ EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．（2）互相垂直，只要证明∠ AFD=90°，从而转化为证明∠ EAC+∠CDB=90即可解答：（1）证明：∵△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=9°0 ，在△ACE和△BCD，∠AC ＝BC∠ACE ＝∠ BCDCE＝CD∴△ ACE≌△ BCD（SAS）；（2）解：直线AE与BD互相垂直，理由为：证明：∵△ ACE≌△ BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠ DBC+∠CDB=9°0 ，∴∠ EAC+∠CDB=9°0 ，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE与BD互相垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．19．故答案为：（1）第C步（2）等式两边同时除以a2-b2（3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．解答：解：（1）C；（2）方程两边同除以（a2-b 2），因为（a2-b2）的值有可能是0；（3）∵c2（a2-b 2）=（a2+b2）（a2-b2）∴c2=a2+b2或a2 -b 2=0-b2=0a+b=0 或a-b=0a+b≠0c2=a2+b2或a-b=0c2=a2+b2或a=b 该三角形是直角三角形或等腰三角形．点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．20．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△ BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ ABD的面积+直角△ BDC 的面积．解答：解：∵在△ ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，∴BD= AB2+AD 2= 32+42=5 ．在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．∵122+52=132，即CD2+BD2 =BC2，∴△ BDC是直角三角形，且∠ BDC=9°0 ，1 1 1 1∴S四边形ABC D=S△ABD+S△BDC =2 AB?AD2+ BD?C2D ×3×4+2×5×12=36，即四边形ABCD的面积是36．点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．故答案填：n2-1，2n，n2+1；考点：勾股定理的逆定理；列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c 与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．解答：解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵ a=n2-1 ，b=2n；c=n2 +1∴a2+b2=（n2-1 ）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2 而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c 为边的三角形是直角三角形．点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．22．考点：勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ ABC 是直角三角形．9 解答：解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD= ，故△ CDB为直角三角形，5理由：∵ AD=156 ，BD=59 ， 55 9 ∴ AB=AD+BD= +=5 ， 16 ∴AC 2+BC 2=42+32=25=52=AB 2，∴根据勾股定理的逆定理，△ ABC 为直角三角形．点评 ： 本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目． 23． 80 故答案为： 32m 或( 20+4 5 )m 或 3 m ．勾股定理的应用； 分类讨论． 等腰三角形的性质．考点 专题分析 ：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的 性质利用勾股定理解答．解答：解：在 Rt △ABC 中，∠ ACB=9°0 ， AC=8，BC=6 由勾股定理有： AB=10，应分以下三种情况： ①如图 1，当 AB=AD=10时，∵AC ⊥BD ，∴CD=CB=6，m∴△ ABD 的周长=10+10+2×6=32m ．②如图 2，当 AB=BD=10时，∵BC=6m ，∴CD=10-6=4m ，∴AD=4 5 m ，∴△ABD 的周长=10+10+4 5 = ( 20+4 5 )m ．③如图 3，当AB 为底时，设AD=BD=，x 则CD=x-6，由勾股定理得： AD= 82+(x-6)2 =x25解得， x= 3 ，80∴△ ABD 的周长为： AD+BD+AB 3=m ．2)△ ABC 为直角三角形． 2 2- 12 2 - CD 2 = 42 - ( )2 5 16 5 在 Rt △CAD 中， AD= AC 2 ∴在 Rt △CDB 中， CD= CB 2 (95 -BD 2 = -BD = 32 - )2 (5 12 5点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．24．考点：勾股定理的应用．分析：因为∠ CAD=3°0 ，则AC=2C，D再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度．解答：解：在Rt△ACD中，∠ CAD=3°0 ，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2 =AC2，得，32+x2=4x2，x= 3 =1.732 ，所以大树高 1.732+1.68 ≈3.4 （米）．点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．25．考点：勾股定理的应用．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过 C 点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6，m 在Rt△AEC中，AC= AE 2+EC 2=错误!=10m，故小鸟至少飞行10m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．解答：解：在Rt△DAE中，∵∠ DAE=4°5 ，∴∠ADE=∠DAE=4°5 ，AE=DE= 8 ，∴AD2=AE2+DE2=36m( 8 ) 2+( 8 ) 2=16，∴AD=4，即梯子的总长为 4 米．∴AB=AD4=．在Rt △ ABC中，∵∠ BAC=6°0 ，∴∠ ABC=3°0 ，1∴AC=2 AB=2，∴BC2=AB2-AC2=42-22=12，∴BC= 12 =2 3 m ；∴点B到地面的垂直距离BC=2 3 m ．点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．27．考点：勾股定理的应用．分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．解答：解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.5 2=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．在Rt△ECD中，EC2=ED2-CD2=2.52 -2 2=2.25，∴EC=1.5，∴AE=AC-EC=2-1.5=0.5 ．答：梯子顶端下滑了0.5 米．点评：注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理．28．考点：勾股定理的应用．分析：根据使得C， D 两村到 E 站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△ EBC，得出AE=BC=10k；m解答：解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE=C，E∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2 =BE2 +BC2，设AE=x，则BE=AB-AE(= 25-x )，∵ DA=15km，CB=10km，∴x2+152=(25-x )2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．29．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（ 1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由 A 点向 BF 作垂线，垂足为 C ， 若 AC > 200则 A 城不受影响，否则受影响；（2）点A 到直线 BF 的长为 200千米的点有两点，分别设为 D 、G ，则△ ADG 是等 腰三角形，由于 AC ⊥BF ，则 C 是 DG 的中点，在 Rt △ADC 中，解出 CD 的长， 则可求 DG 长，在 DG 长的范围内都是受台风影响， 再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由 A 点向 BF 作垂线，垂足为 C ， 在Rt △ABC 中，∠ABC=3°0 ， AB=320km ，则 AC=160km ， 因为 160< 200，所以 A 城要受台风影响；因为 DA=AG ，所以△ ADG 是等腰三角形，因为 AC ⊥BF ，所以 AC 是 BF 的垂直平分线， CD=G ，C 在 Rt △ADC 中，DA=200千米， AC=160千米，由勾股定理得， CD= DA 2- AC 2 = 2002 -160 2 =120 千米，则 DG=2DC=24千0 米，遭受台风影响的时间是： t=240 ÷40=6（小时）．点评 ：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．30．考点：勾 股定理的应 用．分析 ： 连接 AC ，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ ABC 和△ACD 为直角三 角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来， 两者面积相加即 为四边形 ABCD 的面积．AG=200千米． 则还有一点 G ，有∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，∵AC 2=AB 2+BC 2=82+62=102， ∵AC >0，∴AC=10，在△ACD 中，∵AC 2+CD 2=100+576=676，AD 2=262=676， ∴AC 2+CD 2=AD 2，∴△ ACD 为直角三角形，且∠ ACD=9°0 ，点评 ：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过 程变得简单．∴S1 ×6×8+12 ×10×24=144． 四 边 形 A B C ACD 1 2。