18.2勾股定理的逆定理(三)

勾股定理课时练（1）1.在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2BC 2AC 2的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） .3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂之前高多少m ？5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .3m“路”4m第5题图第2题图6. 飞机在空中水平飞行, 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?7.如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .9.如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 第的西7 8km题图北 7km处，第 8题图. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家11 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m, 长 13m，宽2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼第9题图道至少需要多少元钱 ?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻13m5m 找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8：00甲先出发，他以 6 千米 / 时的第 11题速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得BC2AC21，所以 AB2BC 2AC 2=1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了4 步.3.60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜边为12252169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x60 ； 2 2134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m ，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2 AB 2AC 2162 122202,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ), 故旗杆在断裂之前有 32 m 高.5.86. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002 400023000 ( 米 ),3所以飞机飞行的速度为540( 千米 / 小时 )2036007. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E.在Rt CEF , CEF 90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE= 30(cm) ，2. 60CE2EF230 2 16 234( )由勾股定理，得 CF=8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得22222在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9. 解：延长 BC 、AD 交于点 E. （如图所示）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8， 设 AB=x ，则 AE=2x ，由勾股定理。

《勾股定理》同步作业及参考答案§18.1 勾股定理（一）1.在Rt △ABC ，∠C=90°：⑴已知a=b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ；⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ； ⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c .2. 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ：⑴求等边△ABC 的高；⑵求S △ABC .3．填空题:⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ； ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ；⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ； ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ； ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ； 4．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.5．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.中考链接1.（2005 扬州）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．2.（2006，娄底）如图，滑杆在机械槽内运动，ACB ∠为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？ DBAAEC§18.1 勾股定理（二）1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米.A2.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长. ArrayB3.（2009年，北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、n ,且n为BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（2整数），则A′N=（用含有n的式子表示）.4．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是多少？5.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为.BC6．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米.Q7．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米. 8．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米.中考链接棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对§18.1 勾股定理（三）1. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长.2. 已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠A =45°，∠B =60°，根据题设可知什么？3. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD 的面积.4．(2010年，北京市燕山)已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）.A ．21a 2 B ．23a 2 C ．42a 2 D ．43a 25．如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，点D 落在BC 边上的点D ′.若AB=8,AD=10,求CE 的长.6．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22， 求（1）AB 的长；（2）S △ABC .C中考链接1.(2006，河北课改)如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从→→所走的路程为m．（结果保留根号）A B C2.（2010年，北京市门头沟区）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积S n＝________（n为正整数）.§18.1 勾股定理（四）1． △ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = .2．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC .3．如图所示在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线OM 与反比例函数的图象相交于点M ，已知OM①求点M 的坐标；②求此反比例函数的解析式.4．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向南偏东50°航行，乙船向北偏东40°航行，3小时后，甲船到达B 岛，乙船到达C 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？5．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域. （1）A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？C中考链接（2010年，北京市大兴区）如图，ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(33)，、(64)46，、（，），则B C 边上的高为 ．1．在Rt △ABC 中，若AC BC AB ＝4，则下列结论中正确的是（ ）．A ．∠C ＝90°B ．∠B ＝90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( )． A. 仍是直角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：44．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴ a=3，b=22，c=5； ⑵ a=5，b=7，c=9； ⑶ a=2，b=3，c=7； ⑷ a=5，b=62，c=1 .5．一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.6．如图所示，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，△DBC 是直角三角形吗？为什么？中考链接(2006，荆门大纲)园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，求这块草坪的面积.1．在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 2．△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ）A ．如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形；B ．如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°； C ．如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形；D ．如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形. 3. 根据三角形的三边a ，b ，c 的长，判断三角形是不是直角三角形： （1）a ＝11，b ＝60，c ＝61 （2）a ＝32，b ＝1，c ＝45 4．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？CD5．如图，四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,AB=13,BC=12, ∠ADC=90°,求四边形ABCD 的面积.6.在△ABC 中，AB=13,BC=10,BC 边上的中线AD=12,求AC 的长.C中考链接（2005年，呼和浩特课改）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH ，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）.Ａ．CD EF GH ，， Ｂ．A BE F G H ，， Ｃ．AB CD GH ，， Ｄ．A BC D E F ，，1．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）.A ．2个B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个2．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=32，c=4； ⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）. 3．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状.4．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积.5．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？N中考链接某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？参考答案及解析§18.1 勾股定理（一）1.（1）25； （2）3； （3）15； （4）5； （5）a=53， c=103.2. （1）33； （2）S △ABC =93.3．⑴17； ⑵7； ⑶a=6，b=8； ⑷6，8,10； ⑸4或34.4．8.5．48.中考链接1. 4．2.由勾股定理求得AC =2米，DC =2米，CE=1.5米，所以滑杆顶端A 下滑的长AE=0.5米.§18.1 勾股定理（二）1．2502米.2. 334.3.2，n （2n ≥，且n 为整数）.4．18米.5. 503米.6．20厘米.7．22米.8．23米，6米.中考链接Ａ．§18.1 勾股定理（三）1. 4.2. 根据题设可求得BC=634，AB=63222+.提示：作CD ⊥AB 于D.3. 63.提示：延长AD 、BC 交于点E ，则S 四边形ABCD =S △ABE - S △CDE .4． D .5．3.6．（1）AB=4； （2）S △ABC =2+23.中考链接 1.52 .2. 22-n .§18.1 勾股定理（四）1．AC=2，CD=3，BD=3，AD=1，S △ABC =23.2． S △ABC =204.提示：作BD ⊥AC 于D.设AD=x ，由勾股定理得方程：2222)17(2526x x --=-，解得x =10. 3．①点M 的坐标为（2，2）； ②反比例函数的解析式为xy 4=. 4．12海里/时.5．（1）A 城会受到这次台风的影响.作AM ⊥BF 于M ，则AM=160km<200km .（2）以A 为圆心、以200km 为半径画圆，分别交BF 于C 、D 两点，求得MC=MD=120km ，即CD=240 km , A 城遭受这次台风影响的时间为240÷40=6小时.中考链接S △ABC =5，BC=22,则B C 边上的高为225.§18.2 勾股定理的逆定理（一）1．A ．2．A.3．D ．4．⑴是直角三角形,∠B 是直角； ⑵不是直角三角形；⑶是直角三角形,∠C 是直角； ⑷是直角三角形,∠A 是直角.5．设短边长x 米，则另外两边分别长7+x 、8+x 米，x +7+x +8+x =30，x =5，三边长分别为5、12、13，这个三角形是直角三角形.6．在R t △ABD 中，由勾股定理得BD=5；在△CBD 中，由勾股定理的逆定理得∠CBD=90º，△DBC 是直角三角形吗.中考链接连结AC .在R t △ABC 中，由勾股定理得AC=5；在△ACD 中，由勾股定理的逆定理得∠ACD=90º，则S=6,S△ACD=30, S四边形ABCD=36米2.△ABC§18.2 勾股定理的逆定理（二）1．直角，∠B.2．B．3.（1）是，（2）不是.4．BC=25，AC=5，AB=5，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º,即A、B、C三点能构成直角三角形.5. 连结AC.在R t△ADC中，由勾股定理得AC=5；在△ACB中，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º，则S△ADC=6,S△ACB=30, S四边形ABCD=24米.6. AC=13.中考链接Ｂ．§18.2 勾股定理的逆定理（三）1．B．分别是⑴、⑷、⑸.2．⑴是直角三角形，∠B是直角；⑵不是直角三角形；⑶是直角三角形，∠C是直角；⑷是直角三角形，∠C是直角.3．由a+b=4，ab=1，得a2+b2=（a+b）2-2ab=14= c2，所以∠C=90º,即△ABC是直角三角形.4．由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得（a-3）2+（b-4）2+( c-5）2=0，则a=3，b=4，c=5，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º，则S△ABC=6.5．AC=12, BC=5, AB=13,∠ACB=90º，又∠ABC=50º，则∠CAB=40º，甲巡逻艇的航向为北偏东50°.中考链接“海天”号沿西北（或北偏西45º）方向.。

要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。

18.2 勾股定理的逆定理知识点1 互逆命题在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真.知识点2 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 勾股定理的逆定理——直角三角形的判别条件定理:如果三角形的边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.解读:(1)作用:可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形.(2)用较短两边的平方和与最大边的平方进行比较.(3)条件中没有涉及直角三角形,结论是直角三角形.(4)勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:联系:①两者都与三角形的三边关系a2+b2=c2有关;②两者都与直角三角形有关.区别:①勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边的数量关系,即a2+b2=c2.②勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是否是直角三角形的一个有效的方法.(5)应用:①现实生活中,在没有测量角的仪器的情况下,常利用勾股定理的逆定理来确定直角(或垂线).②勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.知识点4 勾股数概念:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.解读:(1)勾股数满足两个条件:①正整数;②满足a2+b2=c2.(2)常见的勾股数:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17;9,40,41;…(3)小窍门:记住常见的勾股数可以提高做题速度.(4)一组勾股数中各数扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数,如当k=1,2,3,…,n时,下列各组数还是勾股数,{3k,4k,5k},{l5k,l2k,l3k},…延伸:(1)几个求勾股数的常见公式:①n2-1,2n,n2+1(n≥2,n.为正整数);②2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n是正整数);③m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m、n都是正整数).(2)小窍门:①有最小的勾股数(3,4,5),没有最大的勾股数.②勾股数不能全是奇数,但可以全是偶数.③勾股数中不可能只有两个偶数.一、选择题1.以下面各组数为边长的三角形,能组成直角三角形的个数是( )①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,在满足下列条件下,不是直角三角形的是( )A.a :b :c =3:4:5B.a :b :c =9:12:15C.∠A :∠B :∠C =3:4:5D.∠A :∠B :∠C =1:2:33.在△ABC 中,∠A :∠B :∠C =2:1:3, a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,则有( )A.b 2+a 2=c 2B.c 2=3b 2C.3a 2=2c 2D.c 2=2b 24.等腰三角形底边上的高为1cm,周长为4cm,则三角形的面积是( )A.14cm 2B.10cm 2C.1cm 2D.23cm 45.如图所示,已知AB ⊥CD , △ABD 、△BCE 都为等腰三角形,如果CD =7,BE =3,那么AC 的长为( )A.8B.5C.3D.46.下列说法中,正确的是( )A.三角形两条边的平方和等于第三条边的平方B.如果一个三角形两条边的平方差等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形C.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c , 若a 2+b 2=c 2,则∠A =90°D.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,若c 2-a 2=b 2,则∠B=90°7.把直角三角形的三边都扩大n 倍( n >0),得到的三角形是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定8.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先回家拿了钱去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟.小芳从公园到图书馆拐的角是( )A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定9.如图所示,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a ,较长的直角边为b ,那么(a +b )2的值为( )A.13B.19C.25D.16910.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棍,选出三根首尾连接,最多可搭成的直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.411.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )A.12,15,27B.32,42,52C.5a, l2a, l3a(a>0)D.1,2,312.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )A.∠A=∠B-∠CB.∠A:∠B:∠C=1:1:2C.a:b:c=1:1:2D.b2=a2-c213.已知在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论无法判断的是( )A.△ABC是直角三角形,且AC为斜边B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°C.△ABC的面积为60D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°14.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列说法错误的是( )A.∠C=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b15.若△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1(m>1),则下列结论正确的是( )A.△ABC是直角三角形,且斜边的长为m2+ 1B.△ABC是直角三角形,且斜边的长为2mC.△ABC是直角三角形,但斜边的长需由m的大小确定D.△ABC无法判定是否是直角三角形二、填空题1.若△ABC三边长为a、b、c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为_______三角形.2.若三角形三边之比为3:4:5,则该三角形为________三角形;若三角形三角之比为1:2:3,则该三角形为__________三角形.3.三角形三边分别为6、8、10,则最长边上的高为__________.4.三边长为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(其中m>n>0)的三角形为_______三角形.5.请任意写出三组勾股数_______,________,_________.6.一直角三角形的两直角边分别为9、12,该三角形的周长为_________.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则斜边上的高是__________cm.8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,AD⊥AB,AD=9cm,BD=15cm,则AC=-_________cm.9.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是_________.10.传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别是______厘米,_________厘米,_________厘米,其中的道理是________.11.一条对角线长39cm,一条边长是36cm的矩形的周长为________cm.12.三角形三边长为a+1,a+2,a+3,当a=_________时,此三角形为直角三角形.13.在△ABC中,三边为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为________.14.在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=l2cm,则△ABC的面积为_______.15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2, CD=1.5,BD=2.5,则AC等于___________.16.将一根长24cm的筷子,置于直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中(如图所示).设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围是__________.17.直角三角形的三边长分别是a-b,a,a+b,其周长为24cm,则面积为________cm2.三、解答题1.试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形.2.已知△ABC的三边的长分别为a、b、c,且满足关系式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P为BC上一点,求证:PB2+PC2=2P A2.4.如图所示,CD是△ABC的边AB上的高,且CD2=AD·DB.求证:∠ACB=90°.5.求证a=m2-n2, b=m2+n2,c=2mn(m>n>0)是一个直角三角形的三边.6.如图所示,如果只给你一把带刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角,简述你的作法.7.如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥BC,且AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,求四边形ABCD的面积.8.如图所示,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走AB、BC两条路可到达公路,经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km.现需修建一条公路使学校B到公路的距离最短,请你帮助学校B设计一种方案,并求出公路的长.9.如图所示,一个池塘呈三角形形状,三角形的边长分别为6m、8m、10m,距池塘边缘5m 内的土地上栽着树,问池塘连同树木共占土地多少m2？(结果精确到1m2,π=3.14)10.如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且1,4EC BC试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.11.3,4 ,5 32+42=525, 12 , 13 52+122=327,24 ,25 72+242=2529,40 ,41 92+402=412……21, b ,c212+b2=c2(1)试找出它们的共同点,并说明你的结论;(2)当a=21时,求b、c的值.a b c第一组3=2×1+1 4=2×l×(1+1) 5=2×1×(1+1)+1第二组 5=2×2+1 12=2×2×(2+1) 13=2×2×(2+1)+1 第三组7=2×3+1 24=2×3×(3+1) 25=2×3×(3+1)+1 第四组9=2×4+1 40=2×4×(4+1) 41=2×4×(4+1)+1 … … … …根据以上勾股数组的组成傅点,你能求,出第七组勾股数的a 、b 、c 各是多少吗？第n 组呢？13.如图是一个零件的形状,校规这个零件中必须有AC ⊥BC ,工人师傅量得B 、C 两点距离为36,AD =12,CD =9,AB =39,∠ADC =90°.问:这个零件符合要求吗？并说明理由.14.如图所示,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,并且AB =4,1,4CE BC =F 为CD 的中点,连接AF 、AE 、EF ,△AEF 是什么三角形？请说明理由.15.甲、乙两船从港口A 同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船沿南偏东一角度航行,船速为12海里/时,2小时后,甲、乙两船相距40海里,问乙船的航行方向.16.如图所示,在△ABC 中,AB =40,BC =100,且BC 边上的中线长AD =30.(1)试说明2;ABC ABD S S ∆∆=(2)求△ADC 的面积.17.同学们在数学老师的带领下来到平坦的草原上游玩,他们发现前面有两棵大树,当地的牧'民告诉他们,这是两棵古老而特别的树,两楝树之间的距离为750 m,一部分同学以45 m/min 的速度向一棵大树走去,伺时,剩下的一部分同学以60m/min 的速度向另一棵大树走去,10min 后,两组同学同时到达目的地.问:(1)两组同学行走的方向是否成直角？(2)如果他们仍以原速度行走,至少还需要几分钟才能相遇？18.Tom 和Jerry 去野外宿营,在某地要确定两条互相垂直的路,而身边又没带直角尺,可利用的只有背包带,你能帮他们想一个简单可行的办法吗？19.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ,如图所示,现计划在该空地上种上草皮,经测量,∠A =90°,AB =3m,BC =12m,CD =13m,DA =4m.若每平方米草皮需要200元,问需要投人多少元.20.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状.解:∵222244a c b c a b -=-① ∴2222222()()()c a b a b a b -=+- ②∴222c a b =+③ ∴△ABC 是直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号:________;(2)错误的原因为___________;(3)本题正确的结论是_____________;21.观察下列两组勾股数:(1)3,4,5;5,12,13;7,24,25;…(2)6,8,10;10,24,26;14,48,50;…你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m 、n 的式子表示出来,你还能发现勾股数有什么特征？与同学交流.22.已知,如图△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,求△ABC 的面积.。

勾股定理的逆定理及其证明勾股定理是数学中一个经典的几何定理，它可以被表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

而勾股定理的逆定理则是对这一关系进行逆向推导的结果，即：如果一个三边长满足两条较短边的平方之和等于最长边的平方，那么这三条边所对应的角形成一个直角三角形。

本文将阐述这一逆定理的证明方法。

首先，假设有一个三角形ABC，其三条边分别为AB、AC和BC，我们要证明的是如果满足AB² + AC² = BC²，那么角ABC是个直角。

证明思路首先要求建立直角三角形，而直角可以通过两条垂直线交汇形成。

因此我们可以将边BC延长，产生点D，使得AD与BC垂直相交。

这样，我们就得到了直角三角形ABD。

接下来，我们需要证明两个关键的定理，即：定理1：如果AB² + AC² = BC²，那么∠ABC = ∠ABD。

证明：根据勾股定理，我们可以得到AB² = AD² + BD²，将这个等式带入AB² + AC² = BC²中，得到AD² + BD² + AC² = BC²。

而AB² + AC² = BC²是题目已经给出的条件，所以我们可以得到AD² + BD² = 0。

由于无论AD和BD的长度为多少，它们都是正数，所以AD² + BD² = 0只有一个可能的解，即AD = 0，BD = 0。

因此，D点与B点重合，这说明∠ABC = ∠ABD。

定理2：如果∠ABC = ∠ABD，并且∠ABC是直角，那么AB² +AC² = BC²。

证明：根据正弦定理，我们可以得到AB/AD = sin∠ABD，以及AC/AD = sin∠ADC。

将这两个等式带入，可以得到AB/AD + AC/AD = sin∠ABD + sin∠ADC。

新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的逆定理（三）》学案1.⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b=15，则c= . ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b=4，则c= . ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= .(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 （把这题的解题过程展示到黑板上）2.（1）已知01086=-+-+-z y x ，则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.（2）三角形的三边长为3、4、5，则其面积为 .（3）△ABC 中，AB=13cm, BC=10cm, BC 边上的中线AD=12cm,求AC （画出图形，把这题解题过程展示在黑板上）活动二 加深勾股定理与逆定理之间的关系例：1在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ．例2：已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：四边形ABCD 的面积。

例3：已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。

A B C D ECD练习：1、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=1, BC=1, DC=3, AD=5, 试求∠DCB 的大小.(自主完成后小组交流，把过程展示在黑板上)小结：谈谈你的学习收获课堂练习：1.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a =7，c=25，则b= .⑵如果∠A=30°，a =4，则b= .⑶如果∠A=45°，a =3，则c= .（4）如果b=8，a：c=3：5，则c=2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状.3．若△ABC的三边a、b、c满足a 2+b2+c2+50=6 a +8b+10c，求△ABC的面积.【此题选做】反思小结，观点提炼：本节学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定三、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形AB CD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。