第1讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( )A ．(－2，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选C.根据补集的定义可知，∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}＝[－2，2]，故选C.3．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B.因为A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故选B.4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}＝{x |－12≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{0，1，2}，故选B.5．(2018·福州综合质量检测)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |1＜2x ≤4，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(1，2]C ．{2}D ．{1，2}解析：选C.法一：因为A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |1＜2x ≤4，x ∈N }＝{1，2}，所以A ∩B ＝{2}，故选C.法二：因为1∉A ，所以1∉A ∩B ，故排除D ；因为1.1∉B ，所以1.1∉A ∩B ，故排除B ；因为2∈A ，2∈B ，所以2∈A ∩B ，故排除A.故选C.6．已知全集为整数集Z .若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z }，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z }，则A ∩(∁Z B )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2，0]D ．{－2，－1，0}解析：选D.由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z }，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z }，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1，0}，故选D.7．(2018·陕西质量检测(一))已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C.化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，选C.8．(2018·洛阳第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( ) A ．{2，3}B ．{－1，2，5}C ．{2，3，5}D ．{－1，2，3，5}解析：选D.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．10．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则 2.选B.11．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.12．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选 B.因为集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.二、填空题13．(2017·高考江苏卷)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，所以a ＝1或a 2＋3＝1，因为a ∈R ，所以a ＝1.经检验，满足题意．答案：114．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________． 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]。
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(对应学生用书第3页)[基础知识填充]1．命题可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的叫做真命题，判断为假的叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pD q，且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系A BB A1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( ) (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (4)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则 綈p ”，显然綈q ：tan α≠1，綈p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [a ＝3时，A ＝{1,3}，显然A ⊆B ． 但A ⊆B 时，a ＝2或3.∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )【导学号：00090004】 A ．1 B ．2 C ．3D ．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B．](对应学生用书第3页)(1)A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(1)C(2)B[(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．][规律方法] 1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1] (1)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福 (2)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假(1)D (2)A [(1)等价命题即为逆否命题，故选D ． (2)由a n ＋a n ＋12＜a n ，得a n ＋a n ＋1＜2a n ，即a n ＋1＜a n . 所以当a n ＋a n ＋12＜a n 时，必有a n ＋1＜a n ，则{a n }是递减数列．反之，若{a n }是递减数列，必有a n ＋1＜a n ， 从而有a n ＋a n ＋12＜a n .所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)法一：由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |<0.当90°<θ<180°时，m ·n <0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A ．法二：∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A ．(2)|x －2|＜1⇔1＜x ＜3.由于{x |1＜x ＜2}是{x |1＜x ＜3}的真子集，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分不必要条件．] [规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．[变式训练2] (1)(2018·九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥－1，－x ，x ＜－1，则“x＝0”是“f (x )＝1”的( )【导学号：00090005】A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·东北三省四市联考)设a ，b 均为实数，则“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A [(1)若x ＝0，则f (x )＝1，若f (x )＝1，则e x＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e. 故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件，故选B ．(2)a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A ．]已知P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．[母题探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． [解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}． 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．[母题探究2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且SDP ，∴[－－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3] (1)(2017·长沙模拟)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________． (1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝1 [(1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.(2)当a ＝0时，原方程为2x ＋1＝0， ∴原方程有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根．∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根．当方程有一正一负根时，则x 1x 2＜0，∴1a＜0，且Δ＝4－4a ＞0，解得a ＜0；当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，此时方程的根为－1，符合题意． 综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a ≤0或a ＝1.]本文档仅供文库使用。
