最新高二数学上学期期末考试试卷

高二数学（答案在最后）满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线20x y ++=的倾斜角为（）A.45°B.60°C.135°D.150°【答案】C 【解析】【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率1k =-，利用tan k α=即可算出所求的倾斜角大小．【详解】根据题意：202x y y x ++=⇔=--，所以该直线的斜率为1-，设该直线的倾斜角为α，且0180α︒≤<︒，可得tan 1135αα=-⇔=︒．故选：C2.在空间直角坐标系中，已知点()0,0,1A ，()1,2,3B ，(),,2C m n ，若向量AB与向量BC 共线，则m 的值为（）A.0B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.【详解】根据题意：()1,2,2AB = ，()1,2,1BC m n =---，AB 与BC共线，所以()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= ，可得12λ=-，12m =．故选：B3.已知等差数列{}n a 满足1356a a a ++=，则24a a +=（）A.10B.8C.6D.4【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.【详解】由1356a a a ++=，得到336a =，即32a =，所以24324a a a +==，故选：D.4.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b =，1AA c =，点M 为四边形11BCC B 的中心点，则AM = （）A.111222a b c ++B.1122a b c++C.111222a b c +- D.1122a b c-- 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.【详解】根据题意，1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++，又BC AC AB=-，所以1111111222222AM AB BB AC c =++=++ ，故选：A.5.已知双曲线222:14y x C b-=的渐近线方程为250x =，则该双曲线的焦点坐标分别为（）A.()3,0，()3,0- B.()0,3，()0,3-C.()1,0，()1,0- D.()0,1，()0,1-【答案】B 【解析】【分析】由渐近线、,,a b c 的关系以及焦点的概念即可求解.【详解】已知双曲线222:14y x C b -=的渐近线方程为220y x x by b=±⇔±=，对照250x =，可得25b =，所以2549c =+=，所以该双曲线的焦点坐标分别为()0,3，()0,3-．故选：B.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足21n n S a =-，则1224log T T =（）A.45B.50C.55D.60【答案】D 【解析】【分析】根据1nn n a S S -=-可得12n n a a -=，结合等比数列的定义可知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出n a ，进而求出124T T 即可求解.【详解】根据题意：1121,21n n n n S a S a --=-=-，两式作差可得12n n a a -=，当1n =时，11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以()()44115601256128942,22n n T a a a a a a T -==⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1224log 60T T =，故选：D ．7.已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线:21l y x =+与该抛物线交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为1M .若17||4MM =，则p =（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】先运用中位线定理，将17||4MM =转化得到,A B 两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到p 的值.【详解】根据题意，过点,A B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为11,A B ，所以1117||||2||2AA BB MM +==，所以72AF BF +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据定义可得121222p pAF BF x x x x p +=+++=++，联立()22122244210221y px p x p x x x y x ⎧=-⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩，1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=．故选：B .8.已知函数()[]f x x =表示不超过x 的最大整数，41n a n =-，[]2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S =（）A.673B.747C.769D.821【答案】A 【解析】【分析】用特殊值法，根据对数得运算对n b 进行分类，从而求出前100项的和.【详解】根据题意分析可得：[][]1212log log 31b a ===，[][]2222log log 72b a ===，[][]3232log log 113b a ===，[][]4242log log 153b a ===，584b b ~=，9165b b ~=，17326b b ~=，33647b b ~=，651008b b ~=，所以10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：A二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知向量()2,2,1a =-，(),,2b x y = ，则下列结论正确的是（）A.向量a关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1B.若a b ⊥，则20x y -+=C.若a b =，则225x y +=D.若a b ⊥ 且a b = ，则2x =-，1y =-【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的对称可判断A;根据空间向量垂直的坐标表示可判断B;根据空间向量模长的坐标表示可判断C;结合题意联立20x y -+=，225x y +=,计算即可判断D.【详解】对于选项A :根据题意可知向量()2,2,1a =-关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1,故A 正确；对于选项B :若a b ⊥，则2220a b x y ⋅=-+=，即10x y -+=，故B 错误；对于选项C :若a b = ，则225x y =⇔+=，故C 正确；对于选项D :若a b ⊥ 且a b = ，2210251x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或12x y =⎧⎨=⎩，故D 错误．故选：AC.10.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法正确的是（）A.若12BF BF ⊥，则a =B.若椭圆C 的离心率为2，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为12D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A ，112BF F A = ，则232a =【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 项，易得等腰直角三角形12BF F ,则1b c ==，即得；对于B 项，由离心率公式和222a b c =+易得；对于C 项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径22b a，易得；对于D 项，利用112BF F A = 表示出点A的坐标，代入椭圆方程计算即得.【详解】对于A 项，若12BF BF ⊥，因12BF BF =,可得1b c ==，则a =，故A 项正确；对于B 项，由222212a e a -==可解得：2a =，故B 项正确；对于C 项，2a =时，椭圆22:14x C y +=，因过点1F 的直线被椭圆C 所截的弦长的最小值为通径长，即22112b a =≠，故C 项错误；对于D 项，如图，因为()0,1B ，()1,0F c -，设点(,)A m n ，由112BF F A =可得(,1)2(,)c m c n --=+，解得：31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆222:1x C y a +=中，可得2291144c a +=，即229(1)344a a -=，解得：232a =，故D 项正确．故选：ABD .11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，238a a +=，现将数列{}n a 与数列{}1n S -的公共项从小到大排列可以得到新数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A.21n a n =-B.21n S n =-C.10399b = D.数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1021【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件求出数列{}n a 的公差，易得通项n a 和前n 项和n S ，易于判断A,B 两项；对于新数列{}n b ，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C 项；对于D 项，因数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，由231238a a a d +=+=解得：2d =，故12(1)21n a n n =+-=-，()21212n n n S n +-==，故A 项正确，B 项错误；将数列{}n a 列举出来为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, 数列{}1n S -列举出来为：0,3,8,15,24,35,,故共同项依次有：3,15,35, ,即13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ ，故2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-，则1041001399b =⨯-=，C 项正确；因()()211111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭，其前10项和为11111111111011232352192122121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．故D 项正确.故选：ACD.12.点A ，B 为圆22():21M x y -+=上的两点，点()1,P t -为直线:1l x =-上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当0=t ，且AB 为圆的直径时，PAB 面积的最大值为3B.从点P 向圆M 引两条切线，切点分别为A ，B ，AB 的最小值为3C.A ，B 为圆M 上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得π3APB ∠=D.当()1,2P -，AB =时，PA PB +的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A ；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B ；由B 项可判定C 项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.【详解】对A ：当0=t ，AB 为直径时，1122PAB A S PM h =⨯⨯ （其中A h 为点A 的纵坐标），所以当点A 为()2,1或()2,1-时，三角形PAB 的面积最大，()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯= ，所以A 正确；对B ：设APM θ∠=，AB 交PM 与点N ，由圆的切线性质Rt Rt BNP MNB ，则ABM APM θ∠=∠=，所以2cos AB θ=，θ越大，AB 越小，当点P 在()1,0-处时，θ最大，此时1sin 3θ=，cos 3θ=，3AB =，即min 3AB =，B 正确；对C ：当点P 在()1,0-处，且PA ，PB 为切线时，APB ∠最大，此时11sin 32APM ∠=<，即π6APM ∠<，π23APB APM ∠=∠<，所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设AB 的中点D ，则MD AB ⊥，221122MD r AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点D 在以M 为圆心，12为半径的圆上，2PA PB PD += ，设小圆半径为1r ，则1max1132PDPM r =+=+，则PA PB +的最大值为2131+，D 正确．【点睛】思路点睛：选项D 中根据圆的弦长公式求出点D 轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线1:1l y kx =+，()2:2l y k x =-，则直线1l ，2l 之间距离的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.【详解】由题意可知：直线1:1l y kx =+的斜率为k ，过定点()0,1A ；直线()2:2l y k x =-的斜率为k ，过定点()2,0B ；可知12l l //，所以两直线之间距离的最大值为5AB =.14.过点()3,1的直线l 被圆：22450x y x +--=所截得的弦长的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先分类讨论得圆心()2,0到直线l 的距离最大值，结合弦长公式即可求解.【详解】根据题意：直线l 过定点()3,1，判断可知点()3,1在圆22450x y x +--=内，而圆2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=，若直线l 斜率存在时，设:31l y kx k =-+，圆心()2,0到直线31y kx k =-+的距离为d =，所以()2221210d k k d -++-=，若1d =，则0k =，若0,1d d >≠，则()224410d ∆=--≥，解得01d <<或1d <≤，直线l斜率存在时，max d =，此时1k =-，若直线l 斜率不存在时，即:3l x =，圆心()2,0到直线3x =的距离为1d =，综上所述，圆心()2,0到直线l，所以所截的弦长的最小值为=故答案为：.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线:l y kx =与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线MP 、MQ 的斜率分别为MP k 、MQ k ，且3MP MQ k k ⋅=，若12MF F △的面积为，记直线1MF 、2MF 的斜率分别为1MF k 、2MF k ，则12MF MF k k +=______．【答案】【解析】【分析】首先联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理结合3MP MQ k k ⋅=得223b a =，进一步得双曲线方程，由12MF F △的面积为M 坐标，由斜率公式即可求解.【详解】设(),M M Mx y ，0Mx>，0M y >，根据题意，可得2c =，联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()2222220b a k x a b --=，222b k a <，所以2212122220,a b x x x x a k b+==-，所以()()()()222222222221212222212122222223M M MMP MQ MM M M Ma b b x b a k b a k k kx y kx a y k x x y b k x x a b k b x x x x x a x--+⋅==⎛⎫+-===--⎪⎭+--+ ⎝，又2224a b c +==，可得21a =，23b =，所以双曲线22:13y C x -=，12MF F △的面积为，可得122M M c y y ⨯⨯=⇔=代入双曲线C的方程可得M x =M的坐标为，所以12MF MF k k +==故答案为：16.已知抛物线22(0)y px p =>，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为60︒时，2BF =，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为______．【答案】92【分析】结合题意求出p ,设直线3:2AB x my =+，结合韦达定理表示出OAB 面积，结合基本不等式即可求解.【详解】如图所示，分别过,A B 向准线作垂线，垂足分别为A '、B '，过B 作AA '的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为60︒时，结合题意易得2BF BB ='=，所以()cos601cos60BF p BF BF p ︒=-⇔+︒=，即3232p =⨯=，设()11,A x y ，()22,B x y ，满足2116y x =，2226y x =，设直线3:2AB x my =+，代入抛物线方程26y x =，可得2690y my --=，121269y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以()1219222OAB p S y y =⨯+≥=，当0m =时，三角形OAB 面积取最小值，此时最小值为92．故答案为：92．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()1,2．（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足3b a =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当OAB 的面积最小时，求直线l 的方程．【答案】（1）350x y +-=或20x y -=（2）240x y +-=【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】根据题意：直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点()0,0时，设直线l 为13x y a a+=，将()1,2代入可得53n =，所以直线l 的方程为350x y +-=；当直线l 过原点()0,0时，直线l 的斜率为20210-=-，所以直线l 的方程为()221y x -=-即20x y -=．综上，直线l 的方程为350x y +-=或20x y -=；【小问2详解】设直线l 的方程为()21(0)y k x k -=-<，所以21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，所以()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k-=-时，2442OAB S k k =⇔=⇔=- ，2k =（舍），所以直线l 的方程为()()221y x -=--即240x y +-=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）()12326n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系易得21n a n =-，需要检验首项是否符合；（2）利用错位相减法求和即得.【小问1详解】根据题意：2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，两式相减即得：22(1)21n a n n n =--=-，因1n =时，11a =，满足上式，故21n a n =-；【小问2详解】()2212n n n n b a n ==-⋅，则12n n T b b b =+++ 21232(21)2,n n =⨯+⨯++-⨯ ，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ，两式相减可得：()21122222212nn n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ，()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-故()12326n n T n +=-⨯+．19.如图，三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PA PC ==（1）证明：AC BP ⊥；（2）若2PB =，点F 为PB 的中点，求平面ACF 与平面PBC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，证明AC ⊥平面POB 即得；（2）先证明PO ⊥平面ABC ，建系后，求出相关点和空间向量的坐标，计算出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图，取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，又因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，所以BO AC ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，可得AC ⊥平面POB ，又BP ⊂平面POB ，所以AC BP ⊥.【小问2详解】因为PA PC ==1AO =，所以1PO =，BO =，因为2PB =，由222PO BO PB +=可得：PO BO ⊥，又PO AC ⊥，,,BO AC O BO AC =⊂ 平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，如图，以,,OA OB OP分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1P，10,,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因()2,0,0AC =-，1(1,)22AF =- ，设平面ACF 的法向量()1,,n x y z = ，则112031022AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1y =，得z =0x =，则1(0,1,n =，又()1,0,1PC =--，()1PB =- ，设平面PBC 的法向量()2,,n x y z =，则220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1y =，得z =，x =2(n =.设平面ACF 与平面PBC 的夹角为θ，则12127cos 7n n n n θ⋅===⋅ ，故平面ACF 与平面PBC的夹角的余弦值为7．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，P 为椭圆C 上任意一点，点P 到1F距离的最大值为)21．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点1F 的两条不同的直线1l ，2l 关于x 轴对称，直线1l ，2l 与椭圆C 在x 轴上方分别交于M 、N 两点．直线MN 是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）是，()4,0-【解析】【分析】（1）根据题意列出,,a b c 的关系式运算得解；（2）设直线1l 的方程为()2y k x =+与椭圆方程联立得根与系数关系，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，利用MT NT k k =坐标化代入根与系数关系化简求得t 的值得解.【小问1详解】根据题意，2c e a ==，2a c +=+，解得a =2c =，又22224a b c b =+⇔=，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；【小问2详解】根据题意可得：设直线1l 的方程为()2y k x =+，联立()()2222222128880184y k x k x k x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设直线1l 与椭圆C 的交点为()11,M x y ，()22,M x y '，可得：212221228128812k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，所以()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=，可得：()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k --+-+-=⇔+-=++24160412t t k --⇔=⇔=-+，所以直线MN 过定点()4,0-．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ．（1）求1T ，2T 和n T ；（2）证明：1112222n n n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭．【答案】（1）1211113721n n T T T +===-，，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意计算出12,T T ，将条件12n n T a =-中的n a 变为1n n T T -，然后化简可得11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，计算可得n T ；（2）由（1）可得12121n n n a +-=-，采用放缩法可得1111222n n a +-<<，根据数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】当1n =时，11111123T a T a =-⇔==，当2n =时，221222*********T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔=，∵数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ，∴2n ≥时，121n n n T T T -=-，化为11121n n T T -=⨯+，变形为111121n n T T -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1n =时，114T+=，数列11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，∴11111142221n n n n n T T -+++=⨯=⇔=-，1n =时，113T =亦满足上式，即1121n n T +=-；【小问2详解】先证明左边：即证明111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，1121n n T +=-，又由12n n T a =-，解得12121n n n a +-=-，又11121211121222n n n n n n a +++--=>=--，所以123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，再证明右边：()121211212221n n n n n a +--=<=--，∴2n n S <．22.已知点()12,0F -，圆222:(2)10F x y -+=，点(),P x y 满足122PF PF -=，点(),P x y 的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆2F 交于M ，N 两点，设直线1F M ，1F N 的倾斜角分别为,αβ．（1）求曲线C 的方程；（2）求αβ-的值．【答案】（1）2213y x -=（2）π2【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可求解.（2）分切线l 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，结合韦达定理、数量积公式得()22112231m k F M F N k -+⋅=+ ，由l 与双曲线相切得,k m 关系，由此即可得解.【小问1详解】根据题意：()()122,0,2,0F F -，12122224PF PF a c F F -==<==满足双曲线定义，设曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据定义可得221a a =⇔=，242c c =⇔=，222b c a b =-⇔=，所以曲线C 的轨迹方程为2213y x -=；【小问2详解】根据题意：()12,0F -，()22,0F ，当l的斜率不存在时，:1l x =，此时()1,3M ，()1,3N -，110F M F N ⋅=，所以π2αβ-=；当l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y，设直线:l y kx m =+，联立直线l 与圆2F 可得：()()12222222212242112460(2)1061km x x y kx m k k x km x m x y m x x k -⎧+=⎪=+⎧⎪+⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=⎪+⎩，()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>，()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++，所以代入韦达定理可知()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ，因为直线l 与曲线C 相切，联立()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩，()230k -≠，所以22Δ030k m =⇔--=，故得110F M F N ⋅= ，所以π2αβ-=．。

江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为()A.4B.C.6D.3.两条平行直线与间的距离为()A. B.1C.D.4.假设，，且A 与B 相互独立，则()A.B.C.D.5.已知空间向量，则B 点到直线AC 的距离为()A. B.C.D.6.过内一点的2023条弦的弦长恰好可以构成一个公差为的等差数列，则公差d 的最大值为()A.B.C.D.7.已知椭圆，过右焦点F 作直线与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O 为上底面中心，E ，F ，G 分别为棱AD 、AB 、的中点.若平面OEF 与平面OBG 的交线为l ，则l 的方向向量可以是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是()A.数列为等差数列B.数列为单调递增数列C.数列为单调递增数列D.数列为等差数列10.已知点和，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，则以下命题正确的是()A.B.C.P、A、Q、B均在圆上D.A，B所在直线方程为11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则()A.当时，点P到平面的距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面PCD12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是()A.B.若，则的面积为C.若，则的内切圆半径为D.以为直径的圆与圆相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省天一大联考2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题 理考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.不等式282x x -+<－1的解集为 A.(－3，2) B.(－3，－2) C.(－3，4) D.(－2，4) 2.下列命题为真命题的是A.∃x 0∈R ，x 02＋4x 0＋6≤0 B.正切函数y ＝tanx 的定义域为R C.函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞) D.矩形的对角线相等且相互平分 3.已知直线x ＋2y ＝4过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是A.2211612x y -= B.221164x y -= C.221124x y -= D.221258x y -= 4.已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，a 2＋a 4＋a 6＝18，则a 5＋a 7＝ A.8 B.12 C.16 D.205.已知直线l 和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l //α”是“l ⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ＝4，a ＝，则sinAsinB＝A.23B.3 D.37.在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，CADC ＝90°，AD ＝AB ＝3，PD ＝4，DC ＝6，则DB 与CP 所成角的余弦值为A.5B.6C.26D.138.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q>0，a 1＝1，a 12＝9a 10，要使数列{λ＋S n }为等比数列，则实数λ的值为 A.13 B.12C.2D.不存在 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝23π，b ＝b 2＋c 2－a 2。