2014年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）已知复数3m+5+（1﹣m）i（i是虚数单位）对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数m=．2．（4分）已知集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|}，U=R，则图中阴影部分表示的集合是．3．（4分）函数y=3cosxcosx的最小正周期是．4．（4分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组无解，则a=．5．（4分）若函数y=f（x）的图象与y=ln﹣1的图象关于y=x对称，则f（x）=．6．（4分）函数y=f（x）的反函数f﹣1（x）=log（x﹣cos2），则方程f（x）=1的解是．7．（4分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为．8．（4分）已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，（a∈R），若，则a的取值范围是．9．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．10．（4分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）11．（4分）多瑙河三角洲的一地点A位于北纬45°东经30°，大兴安岭地区的一地点B位于北纬45°东经120°，设地球的半径为R，则A，B两地之间的球面距离是．12．（4分）从正方体的六个面中任意选取3个面，其中有2个面不相邻的概率为．13．（4分）函数y=sinx+cosx，x∈[﹣，]的值域是．14．（4分）关于函数f（x）=给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值．则其中真命题是．（只要写标题号）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设x为任意实数，则下列各式正确的是（）A．tan（arctanx）=x B．arcsin（sinx）=xC．sin（arcsinx）=x D．cos（arccosx）=x16．（5分）设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0C．a＞0＞b D．0＞a＞b 17．（5分）下列关于极限的计算，错误的是（）A．==B．（++…+）=++…+=0+0+…+0=0C．（﹣n）===D．已知a n=，则== 18．（5分）记X（x y 1），T=，X′=，则方程XTX′=0表示的曲线只可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2，M为PA的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线BM与PC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（14分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．21．（14分）给定曲线Γ：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8，（m∈R）．（1）若曲线Γ是焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）的双曲线，求实数m的值；（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的端点A作AQ∥QM（O 为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求的值．22．（16分）已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．23．（18分）若数列{a n}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N*，都有=q （q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b＞0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=﹣9×28﹣n．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{|b n|}是单调递减数列，求实数b的取值范围；（3）若b=2，求数列{b n}的前n项之积取最大值时n的值．2014年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）已知复数3m+5+（1﹣m）i（i是虚数单位）对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数m=﹣3．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，求出对应的坐标，则对应的坐标满足方程y=﹣x 即可得到结论．【解答】解：复数3m+5+（1﹣m）i（i是虚数单位）对应的点的坐标为A（3m+5，1﹣m），∵A在二、四象限的角平分线y=﹣x上，∴1﹣m=﹣（3m+5），即2m=﹣6，解得m=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数和点的对应关系求出对应坐标是解决本题的关键，比较基础．2．（4分）已知集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|}，U=R，则图中阴影部分表示的集合是（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【专题】11：计算题．【分析】根据阴影部分的元素属于集合N，而不属于集合M，从而得出阴影部分对应集合是（C U M）∩N，通过集合运算求得即可．【解答】解：由阴影部分的元素属于集合N，而不属于集合M，M=[0，2]，N=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∴C U M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），阴影部分对应集合（C U M）∩N=（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．【点评】本题考查了Venn图表示集合关系及集合运算，进行集合运算要细心．3．（4分）函数y=3cosxcosx的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：y=3cosxcosx=3cos2x=（1+cos2x）=+cos2x，∵ω=2，∴最小正周期T==π．故答案为：π【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4．（4分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组无解，则a=2．【考点】OQ：系数矩阵的逆矩阵解方程组．【专题】11：计算题．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为3×3方阵，x为3个变量构成列向量，b为3个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．由此求得a值．【解答】解：系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，即=0．解之得：a=2故答案为：2．【点评】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组及克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．5．（4分）若函数y=f（x）的图象与y=ln﹣1的图象关于y=x对称，则f（x）= e2x+2．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】利用反函数的定义通过解方程求出x的表达式，得到反函数y=f（x）的解析式．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=ln﹣1的图象关于直线y=x对称，由y=ln﹣1解得=e y+1，∴x=e2y+2，函数y=f（x）与函数y=lnx互为反函数，可得f（x）=e2x+2，故答案为：e2x+2．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数解析式的求解及常用方法，其中根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，得到函数y=f（x）的解析式，是解答本题的关键．6．（4分）函数y=f（x）的反函数f﹣1（x）=log（x﹣cos2），则方程f（x）=1的解是2．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用原函数与反函数的定义域与值域的对应关系，直接求解方程的解即可．【解答】解：∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域，∴f（x）=1的解就是求解反函数f﹣1（x）的值，∴f﹣1（x）=log（1﹣cos2）=log sin2=2，即f（x）=1的解为x=2．故答案为：2．【点评】本题考查原函数与反函数的对应关系，方程的解以及对数的运算性质，考查计算能力．7．（4分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为4．【考点】E7：循环结构．【专题】27：图表型．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣25时，|x|＞1，执行循环，x==4；|x|=4＞1，执行循环，x==1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=3×1+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．8．（4分）已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，（a∈R），若，则a的取值范围是（1，7）．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】首先整理复数，把两个复数整理成最简形式，写出复数的共轭复数，做差，写出要用的向量的模，解不等式，求出a的范围．【解答】解：∵复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，∴=2+3iz2=a﹣2﹣i，∴，∵，∴＜，∴a2﹣8a﹣7＜0，∴1＜a＜7故答案为：（1，7）【点评】本题考查复数的求模，在运算过程中注意复数的除法运算和复数的模长的表示，注意一元二次不等式的整理和求解集．9．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．【考点】K8：抛物线的性质；KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题．【分析】先由双曲线的渐近线方程为y=±x，易得知=3，再由抛物线的焦点为（，0）可得双曲线中c=，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可．【解答】解：由双曲线渐近线方程可知=3 ①因为抛物线的焦点为（，0），所以c=②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=1，b2=9，所以双曲线的方程为．故答案为为．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．10．（4分）（）6的展开式中，常数项为15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式T r=+1（﹣1）r•，令x的次数为0即可．【解答】解：∵T r=（﹣1）r•，+1∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理的基础知识与基本性质，二项式定理通常考查的内容有项、系数、和的运算等等，同时还会考查赋值法的数学思想，对这些知识要熟练地掌握，其在高考中的难度不大．11．（4分）多瑙河三角洲的一地点A位于北纬45°东经30°，大兴安岭地区的一地点B位于北纬45°东经120°，设地球的半径为R，则A，B两地之间的球面距离是．【考点】L*：球面距离及相关计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由已知中P和Q是地球上两点，A在北纬45°，东经30°，B在北纬45°，东经120°，A与B在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】解：地球表面上从A地（北纬45°，东经30°）到B地（北纬45°，西经120°）AB的纬圆半径是，经度差是90°，所以AB=R球心角是，A、B两地的球面距离是．故答案为：．【点评】本题考查球面距离及其它计算，考查空间想象能力，是基础题．其中计算出PQ弧对应的球心角是解答本题的关键．12．（4分）从正方体的六个面中任意选取3个面，其中有2个面不相邻的概率为．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有种，根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得其中2个面不相邻的概率．【解答】解：所有的选法共有=20种，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则满足条件的选法共有C63﹣8=12种，故其中2个面不相邻的概率是=，故答案为：．【点评】题考查组合的运用，等可能事件的概率，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力，属于中档题．13．（4分）函数y=sinx+cosx，x∈[﹣，]的值域是[﹣] ．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的辅助角公式将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：y=sinx+cosx=2sin（x+），若x∈[﹣，]，则x+∈[﹣，]，则﹣≤sin（x+）≤1，即≤2sin（x+）≤2，∴函数的值域为[﹣]，故答案为：[﹣]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．14．（4分）关于函数f（x）=给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值．则其中真命题是②．（只要写标题号）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】①x＞0时，由x≠1知y=f（x）不具有单调性，判定命题错误；②函数f（x）=是偶函数，在x＞0且k＞0时，判定函数y=f（x）与y=kx在第一象限内有交点；由对称性知，x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx 在第二象限内有交点；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；③函数f（x）=是偶函数，且f（x）=0，举例说明k=0时，方程f（x）=k有1个解；④函数f（x）=是偶函数，画出函数的图象，即可判断结论是否正确．【解答】解：①当x＞0时，y=f（x）==1+在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数，且无最值；∴命题①错误；②函数f（x）=是偶函数，当x＞0时，y=f（x）==1+在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数；当k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内一定有交点；∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；∴命题②正确；③∵函数f（x）=是偶函数，且f（x）=0当k=0时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点，∴方程f（x）=k的解的个数是奇数；∴命题③错误；④∵函数f（x）=是偶函数，x≠±1，x＞0时，y=f（x）==1+在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数；由对称性知，x＜0时，y=f（x）==1﹣在区间（﹣∞，﹣1）和（﹣1，0）上分别是单调递增的函数；如图所示，∴函数f（x）无最小值，命题④错误．故答案为：②．【点评】本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题，解题时应先去掉绝对值，化为分段函数，把分式函数分离常数，是易错题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设x为任意实数，则下列各式正确的是（）A．tan（arctanx）=x B．arcsin（sinx）=xC．sin（arcsinx）=x D．cos（arccosx）=x【考点】HV：反三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据反正切函数的定义，arctanx表示（﹣，）上正切值等于x的一个角，从而得出结论．【解答】解：根据反正切函数的定义，arctanx表示（﹣，）上正切值等于x的一个角，故有tan（arctanx）=x，故有A正确，故选：A．【点评】本题主要考查反三角函数的定义和性质，属于中档题．16．（5分）设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0C．a＞0＞b D．0＞a＞b【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据不等式a＞b和同时成立，可得把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号，故有a＞0＞b．【解答】解：设a和b都是非零实数，∵不等式a＞b和同时成立，∴把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号为，∴a、b异号，∴a＞0＞b，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．17．（5分）下列关于极限的计算，错误的是（）A．==B．（++…+）=++…+=0+0+…+0=0C．（﹣n）===D．已知a n=，则==【考点】6F：极限及其运算．【专题】21：阅读型；2A：探究型．【分析】题目中四个极限均为数列极限，A中分子分母最高次项次数相同，采用分子分母同时除以n2后求极限值；B和D需要先求和再取极限，C应先分子有理化，然后求极限．【解答】解：选项A求的是数列极限，采用分子分母同时除以n2后求极限值，正确；选项B应先求数列的前n项和，即，然后求得极限值为1，∴选项B错误；选项C是采用先分子有理化，然后分子分母同时除以n再取极限，正确；选项D是运用等比数列的求和公式先把奇数项和偶数项分别作和，然后求极限值，做法正确．故选：B．【点评】本题考查数列的极限及其求法，解答的关键是消去无穷大项，同时注意先化简再取极限，是基础题．18．（5分）记X（x y 1），T=，X′=，则方程XTX′=0表示的曲线只可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【考点】OY：三阶矩阵．【专题】17：选作题；5R：矩阵和变换．【分析】利用矩阵的乘法，可得方程XTX′=0，即可得出结论．【解答】解：∵X（x y 1），T=，X′=，∴方程XTX′=0为Ax2﹣Ay2+Dx+Ey+D+E+F=0，∴方程XTX′=0表示的曲线只可能是双曲线．故选：C．【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2，M为PA的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线BM与PC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．（1）先根据PA⊥平面ABCD以及PC与平面ABCD所成角的大小为arctan2，【分析】求出PA=4；再求出下底面面积即可求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）连接BD，交AC于点O，连接MO可得MO∥PC；所以∠BMO（或其补角）为异面直线BM与PC所成的角；然后在△BMO是直角三角形求得∠BMO即可．【解答】（本题满分（14分），第1小题（6分），第2小题8分）解：（1）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成的角…（2分）由已知，，而AC=2，所以PA=4．…（3分）底面积，…（4分）所以，四棱锥P﹣ABCD的体积．…（6分）（2）连接BD，交AC于点O，连接MO，因为M、O分别为PA、AC的中点，所以MO∥PC，所以∠BMO（或其补角）为异面直线BM与PC所成的角．…（8分）在△BMO中，，，，…（10分）（以下由余弦定理，或说明△BMO是直角三角形求得）或或．…（13分）所以，异面直线BM与PC所成角的大小为（或另外两个答案）．…（14分）【点评】本题主要考查棱锥的体积计算以及异面直线及其所成的角．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．20．（14分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】（1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值，进而求得C．（2）根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c．【解答】解：（1）由得则有=得cotC=1即、（2）由推出；而，即得，则有解得．【点评】本题主要考查了正弦定理得应用．解题的关键是利用正弦定理解决三角形问题中的边，角问题．21．（14分）给定曲线Γ：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8，（m∈R）．（1）若曲线Γ是焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）的双曲线，求实数m的值；（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的端点A作AQ∥QM（O 为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求的值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）曲线Γ化为标准方程得，由此利用双曲线的简单性质能求出m的值．（2）当m=4时，曲线Γ：x2+2y2=8，此时A（﹣2，0），由，得：，由此利用韦达定理结合题设条件能求出的值．【解答】解：（1）∵曲线Γ：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8，（m∈R），化简得，…（2分）由题意得，，且m＜2，…（3分）又∵c=2，∴，解得m=﹣1，或m=4（舍）…（5分）∴m=﹣1．…（6分）（2）当m=4时，曲线Γ：x2+2y2=8，此时A（﹣2，0），…（7分）设直线OM方程为y=kx，由，得：，即，…（8分）∴OM2==x M2+（kx M）2=，…（10分）∵AQ∥OM，∴AQ方程为：y=k（x+2），于是P（o，2），AP==2•，…（11分）由，得：（1+2k2）x2+8k2x+16k2﹣8=0，从而AQ=•=．…（13分）∴==2．…（14分）【点评】本题考查双曲线中参数的求法，考查椭圆中线段比值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意韦达定理的合理运用．22．（16分）已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；IT：点到直线的距离公式；R6：不等式的证明．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，说明函数f（x）与g（x）有共同的零点，即g（x）的零点也在函数f（x）的图象上，代入易求出a值．（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则将直线方程代入抛物线方程后，对应的二次方程有两不等的实数根，再将△OAB的面积函数表示出来，根据函数的性质，易得最值及对应的a值．（3）综合零点的性质和不等式的性质，不难证明当x∈（0，p）时，g（x）＜f （x）＜p﹣a【解答】解：（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a3+a2=0．而a≠0，∴a=﹣1（Ⅱ）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x﹣a，整理，得ax2+（a﹣1）x+a=0，①∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，∴△＞0，即△=（a﹣1）2﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1=（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．∴﹣1＜a＜且a≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2=1＞0，．设点o到直线g（x）=x﹣a的距离为d，则，．=∴S△OAB=．∵﹣1＜a＜且a≠0，∴当时，S△OAB 有最大值，S△OAB无最小值．（Ⅲ）由题意可知f（x）﹣g（x）=a（x﹣p）（x﹣q）．∵，∴a（x﹣p）（x﹣q）＞0，∴当x∈（0，p）时，f（x）﹣g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．又f（x）﹣（p﹣a）=a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）=（x﹣p）（ax﹣aq+1），x﹣p＜0，且ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，∴f（x）＜p﹣a，综上可知，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【点评】本题考查的主要知识点是函数零点的性质，即两个函数的图象的交点在x轴上，则说明两个函数有共同的零点，即一个函数的零点也在另一个函数的图象上，应该满足另一个函数的方程；若函数在（a，b）上有零点，则f（a）•f（b）＜0．23．（18分）若数列{a n}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b＞0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=﹣9×28﹣n．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{|b n|}是单调递减数列，求实数b的取值范围；（3）若b=2，求数列{b n}的前n项之积取最大值时n的值．【考点】8B：数列的应用；8E：数列的求和．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用b n•b n+1=﹣9×28﹣n，再写一式，可得，即可得出结论；（2）确定数列{|b n|}的通项，根据{|b n|}递减，所以|b2k﹣1|＞|b2k|＞|b2k+1|，即可求出实数b的取值范围；（3）若b=2，分类讨论，利用T n取最大值时，n=4k（k∈N*），当n为奇数时，令|b n•b n+1|＜1得，可得n≥13，即可求数列{b n}的前n项之积取最大值时n的值．【解答】（1）证明：因为b n•b n+1=﹣9×28﹣n，所以b n+1•b n+2=﹣9×27﹣n，所以，所以，数列{b n}是“类等比数列”．…（4分）（2）解：由b1=b，b1•b2=﹣9×27，得b2=﹣…（5分）所以b n=…（7分）因为{|b n|}递减，所以|b2k﹣1|＞|b2k|＞|b2k+1|，…（8分）解得：24＜b＜48．…（10分）（3）解：记数列{b n}的前n项之积为T n．当b=2时，b n=，由{b n}的通项公式可知．当n=4k﹣2或n=4k﹣1（k∈N*）时，T n＜0，…（12分）又因为0＜b4k＜1，所以T4k+1=b4k+1T4k＜T4k，+1因而T n取最大值时，n=4k（k∈N*）…（14分）当n为奇数时，令|b n•b n+1|＜1得，所以n≥13，…（16分）因而|b1•b2|＞1，…，|b11•b12|＞1，|b13•b14|＜1，|b15•b16|＜1，…所以|T2|＜|T4|＜…|T12|，|T12|＞|T14|＞，…．因而，当n=12时，T n取最大值．…（18分）【点评】本题考查新定义，考查数列的通项，考查数列{b n}的前n项之积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
深圳市初中毕业生学业检验数学模拟试卷说明：1．试题卷共4页，答题卡共4页。
检验时刻90分钟，总分值100分。
2．请在答题卡上填涂黉舍．班级．姓名．考生号，不得在不的所在作任何标记。
3．本卷选择题1—12，每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案〔含作辅助线〕必须用规那么的笔，写在答题卷 指定的答题区内，写在本卷或其他所在无效。
第一部分选择题一、选择题〔此题共有是精确的〕 12小题，每题3分，共36分，每题有四个选项，其中只需一个1．9的算术平方根是〔A ．3〕 B ．–3C ．±3D ．6 2．以下所给图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是〔〕A ． 3．状况监测中是指大年夜气中直径小于或等于 果1微米米，那么数据用科学记数法可以表示为〔A ．6B ．5C ．6D ．4．一组数据3，x ，4，5，8的平均数为5，那么这组数据的众数、中位数分不是〔A ．4，5B ．5，5C ．5，6D ．5，8 5．某商场在“庆五一〞促销中推出“1元换倍〞活动，小红妈妈买一件标价为 B ． C ．D ． 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如〕 7〕 600元的衣服，她理论需要付款〔 A ．240元 〕 B ．280元 〕 C ．480元 D ．540元6．以下运算精确的选项是〔 2 2a3a 35a 5a 6a 3a 2 (a 3)2a 6 (xy)2xy 2 2D ．A ．B ．C ． 7．以下命题中差错的选项是〔 〕 A ．等腰三角形的两个底角相当C ．矩形的对角线相当B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 D ．圆的切线垂直于过切点的直径x5 x2 8．曾经明白两圆的半径是4跟5，圆心距x 称心不等式组，那么两圆的25x42x23位置关系是〔 〕yA ．订交B ．外切C ．内切D ．外离P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于M 〔0，2〕、N 〔0，8〕两N9．如图1，在破体直角坐标系中，点P点，那么点P 的坐标是〔 〕 MOA ．〔5，3〕 C ．〔5，4〕B ．〔3，5〕 D ．〔4，5〕xQ图110．曾经明白甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时刻一样，且乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，按照题意列方程精确的选项是〔〕 35 35 45 35 45 35 45 45 A ．B ．C ．D ．xx15x15xx15xxx1511．曾经明白：如图2，∠MON=45o ，OA=1，作正方形ABCA11112，M面积记作S ；再作第二个正方形ABCA ，面积记作S ；1 2 2 2 3 2接着作第三个正方形ABCA ，面积记作S ；点A 、A 、3334312A 、 3A ⋯⋯在射线ON 上，点B 、B 、B 、B ⋯⋯在射线 4 1 2 3 4 OM 上，⋯⋯依此类推，那么第 6个正方形的面积S 6是〔 〕B 4C 4A ．256B ．900 B 3C ．1024D ．4096C 3B 2C 2B 1C 112．在课题深造后，同学们为讲堂窗户OA 1 NAA 32 A A 54 方案一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图3所示，其中，AB 表示窗 户，且米，△BCD 表示直角遮阳蓬，曾经明白本地一年中在半夜的太 图2ＣDＤ阳光与水平线CD 的最小夹角为18°，最大年夜夹角β为66°，按照以上 B数据，打算出遮阳蓬中 CD 的长是〔 〕〔结果精确到〕〔参考数据：sin18°≈，tan18°≈， sin66°≈，tan66°≈〕 图3A ．米 C ．米B ．米 D ．米A第二部分非选择题二、填空题。
