高等数学第一章 第8节 函数的连续与间断

x
x
2 sin
2
cos(x0
) 2
2 sin
x 2
cos(x0
x ) 2
2 sin x 2
x
由夹挤准则可知：当x 0时, lim y 0 x 0
再由 x0 点的任意性推知 y sin x 在(,)连续。
机动 前页 后页 返回
定义 2 设 y＝f ( x) 在 Ux0，δ内有定义，
若
lim
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数 在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
存在 , 但
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
机动 前页 后页 返回
间断点分类
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
第八节 函数的连续性 与间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数连续性的定义 二、函数的间断点 三、内容小结
机动 前页 后页 返回
一、函数连续性的定义
连续 y
y＝f(x)
间断 y
y=f(x)
0 x0
x1 x
0
x0
x1
x
机动 前页 后页 返回
1.增量（改变量）
当 x由 x0 x1 时，记 x＝x1－x0 ，称为自变量增量；
连续函数.
提示: f (0 ) 0 , f (0 ) f (0) a
2. 试确定函数 f (x)
1
x
间断点的类型.
1 e1x
答案: x 0 为无穷间断点;
x 1 为跳跃间断点.

下页
结束
铃
三体三部曲书评
七（2）林泽凯
目录
一、作品简介 二、作者简介 三、精彩片段及赏析 四、读后感悟
一、作品简介
《三体》三部曲，又名“地球往事”三部曲，作者刘慈欣。该系列小说 由《三体》、《三体Ⅱ黑暗森林》、《三体Ⅲ死神永生》三部小说组成， 于2006年至2010年由《科幻世界》杂志连载，出版。
《三体》三部曲讲述了地球文明和三体文明在宇宙中的兴衰历程。作品 对人类历史、物理学、天文学、社会学及哲学等均有涉及，从科幻的角 度对人性进行了深入探讨，全书格局宏大，立意高远，被誉为迄今为止 中国当代最杰出的科幻小说，是中国科幻文学的里程碑之作，将中国科 幻推上了世界的高度。
2014年底小说第一部的英文版在美国上市，反响热烈，并于2015年获 得美国科幻奇幻协会“星云奖”等五个奖项提名。2015年8月23日， 《三体》获第73届世界科幻大会颁发的雨果奖最佳长篇小说奖，这是亚 洲科幻小说首次获得雨果奖。 10月，作者刘慈欣因该作获得全球华语 科幻文学最高成就奖。
n
n
当x0时, f(x)0;
当x0时, ex 1, lim enx lim(ex)n , f(x)x1.
n
n
综上得
x 1, x 0
f
(x)
0,
x 0,
x 1, x 0
注 当 |a|1时 ,lim an0; 当 |a|1时 ,lim an.
n
n
13
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例
5
讨论
f
(x)
y sin x x
如 果 补 充 定 义 ： 令 x=0 时 y=1
则 所 给 函 数 在 x=0 成 为 连 续

(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2020年3月13日星期五
蚌埠学院 高等数学
5
“ ”定义
0, 0,当 x x0 时 ， 恒 有 f ( x) f ( x0 ) .
2020年3月13日星期五
蚌埠学院 高等数学
2
二、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f(x)在U(x0 ,δ)内有定义, x U(x0 ,δ), Δx x x0 , 称为自变量在点 x0的增量. Δy f(x) f(x0 ),称为函数 f(x)相应于Δx的增量.
y
y f (x)
⑵ 有理整函数在区间(-∞,+∞)内是连续的。 ⑶ 有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。
2020年3月13日星期五
蚌埠学院 高等数学
9
例3. 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
蚌埠学院 高等数学
16
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 在点 间断的类型
右连续
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
2020年3月13日星期五
蚌埠学院 高等数学
17
思考与练习
1. 讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点, x = 2 是第二类无穷间断点.

f ( x )的跳跃间断点 .
x , x 0, 例4 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. 1 x , x 0, y 解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
0
y
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 或
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim y 0 数的增量y 也趋向于零,即 x0
x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
定性的描述