2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<−1或x>1}，则∁U A＝（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1]∪[1, +∞)C.(−1, 1)D.[−1, 1]【答案】D【考点】补集及其运算【解析】进行补集的运算即可．【解答】∁U A＝[−1, 1]．2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=1xB.y=x3C.y=sinxD.y=lgx【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=1x为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，y=x3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，y=sinx为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，y=lgx为对数函数，其定义域为(0, +∞)，不是奇函数，不符合题意；3. 在平面直角坐标系中，不等式组{x−y≥0x+y−1≤0y≥0，表示的平面区域的面积是（）A.1B.12C.14D.18【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由{x =y x +y =1 得A(12, 12)，则三角形的面积S =12×1×12=14，4. 设a =(12)0.2，b ＝log 23，c ＝2−0.3，则（ ）A.b >c >aB.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b 【答案】C【考点】 对数值大小的比较【解析】把a ，c 化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．【解答】∵ a =(12)0.2=2−0.2>2−0.3=c ，且2−0.2<20＝1，而b ＝log 23>log 22＝1．∴ b >a >c ．5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足−2<x ≤4，则输出y 值的取值范围是（ ）A.[−3, 2]B.[1, 2]C.[−4, 0)D.[−4, 0)∪[1, 2]【答案】A【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图和分段函数求出结果．【解答】解：当−2<x <2时，−3≤y <1,当2≤x ≤4时，1≤y ≤2，得：−3≤y ≤2，即：y ∈[−3, 2].故选A ．6. 设x ，y ∈R ，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x 2+y 2≤2“的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．即可判断出结论．【解答】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．∴ “|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A.4B.√5C.2D.√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90∘，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，S△PAD=12×2×1=1，S△PAB=12×2×2=2，S△PBC=12×2√2×1=√2，S PDC=12×2×√5=√5．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是√5．8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款（）A.45元B.350元C.400元D.445元【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：1500×3100+3000×10100+500×20100=445（元）；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：1500×3100=45(元)；∴此人当月少缴纳此项税款为445−45=400（元）．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为________．【答案】(1, −1)【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴复数1+ii对应的点的坐标为(1, −1)．若抛物线x2＝12y，则焦点F的坐标是________．【答案】(0, 3)【考点】抛物线的性质【解析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．【解答】根据题意，抛物线x2＝12y，其焦点在y轴的正半轴上，且p＝6，则其焦点坐标为(0, 3)；在△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3，则C =________． 【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理与三角形内角和定理求出B 的值，再求C 的大小．【解答】△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3， ∴a sinA =b sinB ， 2sin π3=2√63sinB ，∴ sinB =√22， 又a >b ，∴ 0<B <π2，解得B =π4，∴ C =π−A −B =π−π3−π4=5π12．能够说明命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．【答案】−1，−2，−3【考点】命题的真假判断与应用【解析】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，可得命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题．【解答】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，此时a >b >c ，且2a +b <c ，即命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题，向量a →，b →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a →，b →所成角的余弦值是________；向量a →，b →所张成的平行四边形的面积是________．【答案】45,3【考点】向量的三角形法则【解析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，则cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√5⋅√5=45． 向量a →，b →所张成的平行四边形的面积S =|a →|⋅|b →|⋅sin <a →,b →>=√5×√5×√1−(45)2=5×35=(3)已知函数f(x)={−x 2+2ax,x <1alnxx ,x ≥1①当a =1时，函数f(x)极大值是________；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】1e ,a <1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ，f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数f(x)极大值；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，进而得到答案．【解答】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ， f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ， 当x <1时，f′(x)>0，函数为增函数，当1≤x <e 时，f′(x)>0，函数为增函数，当x >e 时，f′(x)<0，函数为减函数，故当x =e 时，函数f(x)极大值是1e ；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，即x =a <1，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x ．(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)求函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)【考点】正弦函数的周期性诱导公式三角函数的最值【解析】（I ）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f(x)的最小正周期；(II)结合已知条件求出π6≤2x +π6≤7π6，进而可求出函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【解答】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=12，数列{b n }是公差为2的等差数列，且b n a n+1+a n+1=na n ．(I)求数列{b n }的通项公式；(II)求数列{a n }前n 项的和S n ．【答案】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n 项和．【解答】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：( II)若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a 1，a 2，a 3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a 4，B 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b 1，b 2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b 3，b 4，b 5，设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ，则基本事件空间：Ω={a 1b 1, a 1b 2, a 1b 3, a 1b 4, a 1b 5, a 2b 1, a 2b 2, a 2b 3, a 2b 4, a 2b 5, a 3b 1, a 3b 2, a 3b 3, a 3b 4, a 3b 5, a 1b 1,a 4b 2,a 4b 3,a 4b ，基本事件个数为n =20，C ={a 4b 3, a 4b 4, a 4b 5}，包含基本事件个数为m =3，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320．——————–【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数．(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内为3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内为1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内为2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内为3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【解答】(Ⅰ)从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：Ω={a1b1, a1b2, a1b3, a1b4, a1b5, a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, a2b5, a3b1, a3b2, a3b3, a3b4, a3b5, a1b1,a4b2,a4b3,a4b ，基本事件个数为n=20，C={a4b3, a4b4, a4b5}，包含基本事件个数为m=3，．——————–所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF // BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC // 平面DEF；(III)求三棱锥D−FEB的体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；(Ⅱ)证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG // BE，且OG=12BE．由已知AF // BE，且AF=12BE，则AF // OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，即AC // FG．∵AC平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC // 平面DEF；(Ⅲ)∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴V D−BEF=13×S△BEF×AD=13×12×BE×AB×AD=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD．再由已知结合面面垂直的性质可得BE⊥平面ABCD，则BE⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE；(Ⅱ)取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，再由线面平行的判定可得AC // 平面DEF；(Ⅲ)由平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，则BE⊥AD，即有AD⊥平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴ AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)证明：取DE 的中点G ，连结OG ，FG ，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ O 为BD 的中点． 则OG // BE ，且OG =12BE ．由已知AF // BE ，且AF =12BE ，则AF // OG 且AF =OG ， ∴ 四边形AOGF 为平行四边形，则AO // FG ， 即AC // FG ．∵ AC 平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴ AC // 平面DEF ；(Ⅲ)∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， ∴ AD // BC ，AD ⊥AB ．由(Ⅰ)知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ BE ⊥AD∴ AD ⊥平面BEF ．∴ V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×BE ×AB ×AD =43．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的经过点(0, 1)，且离心率为√22．( I)求椭圆E 的标准方程；( II)过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点M(0, m)，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2，所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k 2, −k1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k 1+2k 2=−1k(x −2k 21+2k 2)，令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由题意可知：b =1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a 的值，即可求得椭圆方程；(II)分类讨论，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB 中点C 坐标，求得MC 的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m 的取值范围． 【解答】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2， 所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k2, −k 1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k1+2k 2=−1k (x −2k 21+2k 2)， 令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–设函数f(x)=x 3+c ，g(x)=8x 2−20x ，方程f(x)=g(x)有三个不同实根x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)．(I)求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (II)求c 的取值范围；(III)求证：x 1+x 2>4． 【答案】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线 的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；(Ⅱ)设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围； (III)由ℎ(x)的单调性，x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，求得导数和单调性，即可得证． 【解答】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4)。
