河北省唐山2017年高三二模理科数学试题及答案

唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð（ ） A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)- 2．复数1(iz i a i+=-是虚数单位，a R ∈）是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．iC ．2D ．2i3.设m R ∈，则“1m =”是“()22x f x m =⋅+ ”为偶函数的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.若[0,]x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为 （ ）A ．[0,]4πB ．[,]4ππC ．3[0,]4πD ．3[,]4ππ5. 已知双曲线22:2C x y -=的左右焦点12,,F F O 分别为为坐标原点，点P 在双曲线C 上，且2OP =，则12PF F S ∆=（ ）A ．4B ．．2 D 6. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（ ）A ．2πB ．5πC ．8πD ．10π7. 设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．23X Z Y += B ．44X Z Y += C ．237X Z Y += D ．86X Z Y +=8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF ∆为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = （ ）A B 1 C 1 D ．129. 甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29B ．49C ．23D ．7910. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（ ）A ．15,120i S ==B ．13,98i S ==C ．11,88i S ==D ．11,81i S ==11. 已知函数()f x 满足()()f x f x '>，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A ．()()12ef f > B ．()()12ef f < C ．()()12f ef > D ．()()12f ef <12. 在ABC ∆中，090,6C AB ∠==，点P 满足2CP =，则P AP B ⋅u r ur 的最大值为（ ）A ．9B ．16C ．18D ．25第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.261()x x+展开式的常数项为 ．（用数字作答）14.曲线3y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．15. 在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2SD AD ==，三棱柱111MNP M N P -的顶点都位于四棱锥S ABCD -的棱上，已知,,M N P 分别是棱,,AB AD AS 的中点，则三棱柱111MNP M N P -的体积为 ． 16.数列{}n a 满足132n n n a a +=-，若n N +∈时，1n n a a +>，则1a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在平面四边形ABCD 中，02,90AB AC ADC CAB ==∠=∠=,设DAC θ∠=.（1）若060θ=，求BD 的长度； （2）若030ADB ∠=，求tan θ.18. 为了研究黏虫孵化的平均温度x （单位：0C ）与孵化天数y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：他们分别用两种模型①y bx a =+，②dx y ce =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经计算得21117,13.5,1297,1774nni i i i i x y x y x ======∑∑，（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程.（精确到0.1）121()()ˆˆ,()niii nii x x y y b ay bx x x =---==--∑∑ ，. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，0190ACB AAC ∠=∠=，平面11AACC ⊥平面ABC .（1）求证：11CC A B ⊥；（2）若12BC AC AA ==，求11A BC A --.20. 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴，y 轴分别交于点,,D M N ，求NDCFDMS S ∆∆ 的最小值. 21.设()()2ln ,1x xf xg x a x x ==+- . （1）证明：()f x 在(0,1)上单调递减； （2）若01a x <<<，证明：()1g x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:cos 3C ρθ=，点(1,)P π，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）过点P 的直线l 交1C 于点,A B ，交2C 于点Q ，若PA PB PQ λ+=，求λ的最大值.23．选修4-5：不等式选讲已知220,0,0,0,1,1a b c d a b ab cd >>>>+=+>. （1）求证：2a b +≤；（2c d =+ 能否成立，并说明理由.唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：BACDB CDBDC ABB卷：BACDC CDBDB AB二．填空题：（13）15 （14）12（15）1 （16）[2，＋∞)三．解答题：17．解：（1）由题意可知，AD＝1．在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝23，AD＝1，由余弦定理可知，BD2＝(23)2＋12－2×23×1×(－32)＝19,BD＝19．（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，在△ABD中，由正弦定理可知，AD sin∠ABD ＝ABsin∠ADB，即2cosθsin(60°－θ)＝43，整理得ｔａｎθ＝23 3．18．解：（1）应该选择模型①．（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数x－＝15(18×6－18)＝18；y－＝15(12.25×6－13.5)＝12．5i ＝1∑x i y i ＝1283.01－18×13.5＝1040.01；5i ＝1∑x 2i ＝1964.34－182＝1640.34．b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2＝1040.01－5×18×121640.34－5×182≈－1.97，a ˆ＝y -－b ˆx -＝12＋1.97×18≈47.5，所以y 关于x 的线性回归方程为：y ˆ＝－2.0x ＋47.5．19．解：（1）因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，交线为AC ，又BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面AA 1C 1C ， 因为C 1C平面AA 1C 1C ，从而有BC ⊥C 1C ．因为∠A 1CC 1＝90°，所以A 1C ⊥C 1C ， 又因为BC ∩A 1C ＝C ， 所以C 1C ⊥平面A 1BC ，A 1B 平面A 1BC ， 所以CC 1⊥A 1B ．（2）如图，以C 为坐标原点，分别以CB →，CA →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系ｃ－ｘｙｚ．由∠A 1CC 1＝90°，AC ＝2AA 1得A 1C ＝AA 1．不妨设BC ＝AC ＝2AA 1＝2，则B (2，0，0)，C 1(0，－1，1)，A (0，2，0)，A 1(0，1，1)，所以A 1C 1→＝(0，－2，0)，BC 1→＝(－2，－1，1)，AB →＝(2，－2，0)， 设平面A 1BC 1的一个法向量为m ，由A 1C 1→·m ＝0，BC 1→·m ＝0，可取m ＝(1，0，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ，由BC 1→·n ＝0，AB →·n ＝0，可取n ＝(1，1，3)．cosm ，n ＝m ·n |m ||n |＝75555，又因为二面角A 1-BC 1-A 为锐二面角， 所以二面角A 1-BC 1-A 的余弦值为75555．20．解：（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以ｋｏａ＋ｋｏｂ＝4 y 1＋4 y 2＝4(y 1＋y 2)y 1y 2＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝1 2·|NC |·|ｘｄ|＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1 m |·(2m 2＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |，S △FDM ＝1 2·|FM |·|ｘｄ|＝1 2·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)，则S △NDC S △FDM＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 1 4m2＋1≥2，当且仅当m2＝14m2，即m2＝12时取等号．所以，S△NDCS△FDM的最小值为2．其它解法参考答案给分．21．解：（1）f(x)＝1－1x－ln x(x－1)2．令h(x)＝1－1x－ｌｎｘ，则h(x)＝1x2－1x＝1－xx2，x＞0，所以0＜x＜1时，h(x)＞0，h(x)单调递增，又h(1)＝0，所以h(x)＜0，即f(x)＜0，所以f(x)单调递减．（2）g(x)＝ａｘｌｎａ＋ａｘａ－１＝a(a x－1ln a＋ｘａ－１)，当0＜a≤1e时，ｌｎａ≤－1，所以a x－1ln a＋ｘａ－１≤ｘａ－１－a x－1．由（Ⅰ）得ln xx－1＜ln aa－1，所以(a－1)ｌｎｘ＜(x－1)ｌｎａ，即ｘａ－１＜a x－1，所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．当1e＜a＜1时，－1＜ｌｎａ＜0．令t(x)＝a x－ｘｌｎａ－1，0＜a＜x＜1，则t(x)＝a x ln a－ｌｎａ＝(a x －1)ｌｎａ＞0，所以t(x)在(0，1)上单调递增，即t(x)＞t(0)＝0，所以a x＞ｘｌｎａ＋1．所以g (x )＝a x ＋x a ＞x a ＋ｘｌｎａ＋1＝x (x a －1＋ｌｎａ＋1＞x (1＋ｌｎａ)＋1＞1．综上，g (x )＞1．22．解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0；曲线C 2的直角坐标方程为：x ＝3．（2）P 的直角坐标为(－1，0)，设直线l 的倾斜角为α，(0＜α＜ π2)， 则直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，0＜α＜π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2－2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)t ＋1＝0， t 1＋t 2＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)直线l 的参数方程与x ＝3联立解得，t 3＝4cos α，由t 的几何意义可知，|PA |＋|PB |＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)＝λ|PQ |＝4λcos α，整理得， 4λ＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)ｃｏｓａ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2sin (2α＋ π4)＋1， 由0＜α＜ π 2， π 4＜2α＋ π 4＜5π4，所以，当2α＋ π 4＝ π 2，即α＝ π 8时，λ有最大值 14(2＋1)．23．解：（1）由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3(a ＋b 2)2＋1，当且仅当a ＝b 时，取等号．解得(a ＋b )2≤4，又a ，b ＞0， 所以，a ＋b ≤2．（2）不能成立．唐山市2017—2018学年度高三年级二模数学理科试卷及解析ac＋bd≤a＋c2＋b＋d2，因为a＋b≤2，所以ac＋bd≤1＋c＋d 2，因为c＞0，d＞0，ＣＤ＞1，所以c＋d＝c＋d2＋c＋d2≥c＋d2＋cd＞c＋d2＋1，故ac ＋bd ＝c＋d不能成立．。

河北省唐山市2017届高三（上）期末理科数学试卷答 案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5．BCADB 6~10．ACDBA 11~12．AD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．51214．115．221812x y +=16 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：2sin cos sin cos cos sin sin2sin cos B B A A B B A C A =--sin cos()sin cos A A B C A =+-sin cos sin cos A C C A =--()sin A C =-+sin B =-，∵sin 0B ≠， ∴1cos 2B =-，2π3B =．（2）由2222cos b a c ac B =+-，b =，1cos 2B =-，得：2260c ac a +-=，解得2c a =，由21sin 22ABC S ac B ===△2a =． 18．解：（1）文科生 理科生 合计获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160合计 50 150 2002200(51153545)25 4.167 3.84150150401606k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞， 所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为15，将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，3，且X ～B 1(3,)5．X0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 13()355E X =⨯=． 19．证明：（1）连接AC ，则ABC △和ACD △都是正三角形．取BC 中点E ，连接AE ，PE ，因为E 为BC 的中点，所以在ABC △中，BC AE ⊥，因为PB PC =，所以BC PE ⊥，又因为PE AE E =I ，所以BC ⊥平面PAE ，又PA ⊂平面PAE ，所以BC PA ⊥．同理CD PA ⊥，又因为BC CD C =I ，所以PA ⊥平面ABCD ．解：（2）如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则B 1,0)-，D (0,2,0)，P (0,0,2)，(0,2,2)PD =-u u u r，(BD =u u u r ，设平面PBD 的法向量为π(,,)x y z r ，则22030PD m y z BD m y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r u r g u u u r u r g，取x =π=r ， 取平面P AD 的法向量(1,0,0)n =r ，则cos ||||m n m n m n u r r u r r g u r r g ＜,＞=， 所以二面角A ﹣PD ﹣B．20．解：（1）由题意得(1,0)F ，从而有C ：24x y =．解方程组22241x y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2A y =-，所以||1AF =． （2）设00(,)M x y ，则切线l ：000()x y x x y p=-+， 整理得000x x py py --= 由||1ON =得0||py ==， 所以02021y p y =-且2010y -＞， 所以222220000||||1121MN OM x y py y =-=+-=+-22200022004414(1)811y y y y y =+-=++-≥--，当且仅当0y = 所以||MN的最小值为p =．21．解：（1）21ln ()x f x x -'=（0x ＞）， 当(0,e)x ∈时，()0f x '＞，()f x 单调递增； 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '＜，()f x 单调递减，所以当e x =时，()f x 取得最大值1(e)e f =．（2）ln ()ln ()x g x x ax x a x '=-=-，由（1）及(0,e]x ∈得： ①当1ea =时，ln 0x a x -≤，()0g x '≤，()g x 单调递减， 当x e =时，()g x 取得最小值e (e)()2g h a ==-． ②当1[0,)ea ∈，(1)0a f =≤，1(e)e f a =＞， 所以存在[1,e)t ∈，()0g t '=且ln t at =，当(0,)x t ∈时，()0g x '＜，()g x 单调递减，当(,e]x t ∈时，()0g x '＞，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()()g t h a =． 令ln ()()2t t h a G x t ==-， 因为ln 1()02t G x -'=＜，所以()G t 在[0,e)单调递减，此时e ()(,1]2G t ∈--．综上，e ()[,1]2h a ∈--．22．解：（1）∵在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4x y +=，曲线1C 的极坐标方程为：(cos sin )4ρθθ+=， 2C 的普通方程为22(1)1x y -+=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2cos ρθ=．（2）设1(,)A ρα，2(,)B ρα，ππ42α-＜＜， 则14cos sin ραα=+，22cos ρα=， 21||12cos (cos sin )||4OB OA ραααρ==⨯+11π(cos2sin21))1]444ααα=++=-+， 当π8α=时，||||OB OA取得最大值11)4． 23．解：（1）34,1()2|1||2|,1234,2x x f x x x x x x x -+⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-⎩＜＞ 所以，()f x 在(,1]-∞上递减，在[1,)+∞上递增， 又8(0)()43f f ==，故()4f x ≤的解集为8{|0}3x x ≤≤．（2）①若1a ＞，()(1)|1||1|||1f x a x x x a a =--+++-≥-， 当且仅当1x =时，取等号，故只需11a -≥，得2a ≥．②若1a =，()2|1|f x x =-，(1)01f =＜，不合题意． ③若01a ＜＜，()|1|||(1)||(1)f x a x a x a a x a a a =-+-+--≥-， 当且仅当x a =时，取等号，故只需(1)1a a -≥，这与01a ＜＜矛盾． 综上所述，a 的取值范围是[2,)+∞．河北省唐山市2017届高三（上）期末理科数学试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．2．【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件求得，=的坐标，再根据cosθ=计算求得它的值．【解答】解：∵向量与的夹角为θ，且，∴==（2，1），则cosθ===﹣，故选：A．4．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出的值．【解答】解：由得，==，所以===，故选D．5．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．6．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{an}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an+an﹣an﹣1=2d为常数，则数列{bn}为等差数列，即充分性成立，若数列{bn}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an﹣1=d为常数，则无法推出an﹣an﹣1为常数，即无法判断数列{an}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”充分不必要条件，故选：A7．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=﹣4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．8．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．9．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．10．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A12．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（ex+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（ex+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．14．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{an}是等比数列，，∴，解得，a7==1．故答案为：1．15．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．17．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，结合sinB≠0，可求cosB=﹣，进而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，进而利用三角形面积公式可求a的值．18．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD ⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的余弦值．20.【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）求出F（1，0），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出A的纵坐标，然后求解|AF|．（2）设M（x0，y0），求出切线l：y=（x﹣x0）+y0，通过|ON|=1，求出p=且﹣1＞0，求出|MN|2的表达式，利用基本不等式求解最小值以及p的值即可．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f′（x）=（x＞0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可．（2）求出g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]：通过①当a=时，②当a∈[0，），分别求解函数的单调性与最值即可．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1：x+y=4可得曲线C1的极坐标方程；先将曲线C2化为普通方程，进而可得曲线C2的极坐标方程；（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，则=，进而得到答案．23．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，f（0）=f（）=4利用解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，分类讨论，即可求a的取值范围．。

河北省保定市、唐山市2017届高三数学9月摸底考试试题理（扫描版）2016—2017学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：BCABA DCBDA CA 二、填空题：（13）3； （14）14； （15）2； （16）70． 三、解答题： （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设公差为d ，依题意有⎩⎨⎧10a 1＋10⨯92d ＝110，15a 1＋15⨯142d ＝240．解得，a 1＝d ＝2．所以，a n ＝2n ．…6分（Ⅱ）b n ＝2n ＋22n ＋2n 2n ＋2＝n ＋1n ＋n n ＋1＝ 1 n －1n ＋1＋2，T n ＝1－ 1 2＋ 1 2－ 1 3＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 n －1n ＋1＋2n ＝nn ＋1＋2n ．…12分（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ． 又因为PB ⊥BC ，PA ∩PB ＝P ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥BC ．因为△BCD 为等边三角形，所以∠ABD ＝30°．又已知AB ＝AD ，BD ＝3，可得AB ＝1． …5分 （Ⅱ）分别以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴，过B 且平行PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．P (0，1，3)，C (3，0，0)，E (32， 1 2，32)，D (32， 32，0)． 由题意可知平面PAB 的法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧BE →·n ＝0，BD →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋ 1 2y ＋32z ＝0，32x ＋ 3 2y ＝0，则n ＝(3，－3，－2)．cos 〈m ，n 〉＝3⨯1－3⨯0－2⨯032＋(－3)2＋(－2) 2＝ 34． 所以平面BDE 与平面ABP 所成二面角的正弦值74．…12分（19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧m 2n 2＝9100，(1－m )2(1－n )2＝125，m ＞n ，解得：⎩⎨⎧m ＝ 3 5，n ＝ 1 2．（Ⅱ）X 可取0，1，2，3，4． …5分P (X ＝0)＝125，P (X ＝1)＝C 12×3 5×(1－ 3 5)×(1－ 1 2)2＋(1－ 3 5)2×C 12× 1 2×(1－ 1 2)＝ 15， P (X ＝2)＝C 12×3 5×(1－ 3 5)×C 12× 1 2×(1－ 1 2)＋( 3 5)2×(1－ 1 2)2＋(1－ 3 5)2×(1－ 1 2)2＝37100， P (X ＝3)＝C 12×3 5×(1－ 3 5)×( 1 2)2＋( 3 5)2×C 12× 1 2×(1－ 1 2)＝310， P (X ＝4)＝9100．X 的分布列为E (X )＝0×125＋1×5＋2×100＋3×10＋4×100＝2.2…12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设焦距为2c ，则P (－c , b 2a)．由AB ∥OP 得b 2ac ＝ ba，则b ＝c ，a ＝2c ，则|AF |＝a ＋c ＝(2＋1)c ，又|AF |＝2＋1，则c ＝1，b ＝1，a ＝2，椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.…4分（Ⅱ）CD ：y ＝kx ，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2),到AB 的距离分别为d 1，d 2，将y ＝kx 代入x 22＋y 2＝1得x 2＝21＋2k 2，则x 1＝21＋2k 2，x 2＝－21＋2k 2． 由A (2,0)，B (0,1)得|AB |＝3,且AB ：x ＋2y －2＝0，d 1＝x 1＋2y 1－23,d 2＝－x 2＋2y 2－23，S ＝ 1 2|AB |(d 1＋d 2)＝ 12[(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)]＝ 1 2(1＋2k )(x 1－x 2)＝2＋2k 1＋2k2， S 2＝2(1＋22k 1＋2k2)，因为1＋2k 2≥22k ，当且仅当2k 2＝1时取等号， 所以当k ＝22时，四边形ACBD 的面积S 取得最大值2．…12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1 x －a x 2＝x －ax2，（x ＞0）所以当a ≤0时，f '(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． …5分 （Ⅱ）若函数y ＝f (x )的两个零点为x 1，x 2（x 1＜x 2），由（Ⅰ）可得0＜x 1＜a ＜x 2． 令g (x )＝f (x )－f (2a －x )，（0＜x ＜a ） 则g '(x )＝f '(x )＋f '(2a －x )＝(x －a )[1x 2－1(2a －x )2]＜0，所以g (x )在(0，a )上单调递减，g (x )＞g (a )＝0， 即f (x )＞f (2a －x )．令x ＝x 1＜a ，则f (x 1)＞f (2a －x 1)，所以f (x 2)＝f (x 1)＞f (2a －x 1)， 由（Ⅰ）可得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以x 2＞2a －x 1，故x 1＋x 2＞2a ． …12分 （22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）因为△ABC 与△ABD 都是以AB 为斜边的直角三角形， 所以A ，B ，C ，D 四点都在以AB 为直径的圆上． 因为BD 平分∠ABC ，且OD ∥BC ，所以∠OBD ＝∠CBD ＝∠ODB ，OB ＝OD ．又∠OAD ＋∠OBD ＝90°，∠ODA ＋∠ODB ＝90°， 所以∠OAD ＝∠ODA ，OA ＝OD ．所以OA ＝OB ，O 是AB 的中点，O 为圆心． …5分（Ⅱ）由BC ＝2CF ＝6，得BF ＝35,由Rt △ADF ∽Rt △BCF 得AD DF ＝BCCF＝2．设AD ＝2DF ＝2x ，则AF ＝5x ，由BD 平分∠ABC 得BD DA ＝BC CF＝2， 所以35＋x 2x ＝2，解得x ＝5，即AD ＝25．连CD ，由（Ⅰ），CD ＝AD ＝25．…10分（23）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由A (3,1)、B (－3,1)得C (－3,－1)、D (3,－1)；曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数）．…4分（Ⅱ）设M (2cos θ,sin θ),则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＋|MD |2＝(2cos θ－3)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋3)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2＋(2cos θ－3)2＋(sin θ＋1)2＝16cos 2θ＋4sin 2θ＋16＝12cos 2θ＋20，则所求的取值范围是[20，32]． …10分（24）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2， 当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号．故f (x )的最小值为2，此时x 的取值范围是[－1,1]． …5分（Ⅱ）x ≤0时，f (x )≥2x 显然成立，所以此时m ∈R ；x ＞0时，由f (x )＝x ＋1＋|mx －1|≥2x 得|mx －1|≥x －1．由y ＝|mx －1|及y ＝x －1的图象可得|m |≥1且1m≤1，解得m ≥1，或m ≤－1．综上所述，m 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞)． …10分。

河北省唐山市高考数学二诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·定州期末) 已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A . 2B . 3C . 2或3D . 2或42. （2分） (2018高二下·南宁月考) 已知是虚数单位，则复数（）A .B .C .D .3. （2分）已知一次函数f（x）=ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·榆林模拟) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）A . 156里B . 84里C . 66里D . 42里5. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（）A . 3B . 6C . 9D . 126. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2015·河北模拟) 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A . ﹣12B . ﹣1C . 0D .8. （2分） (2016高一下·惠州开学考) 若，则P，Q，R的大小关系是（）A . Q＜P＜RB . P＜Q＜RC . Q＜R＜PD . P＜R＜Q9. （2分）执行如图所示的程序框图，如果输入x，t的值均为2，最后输出S的值为n，在区间[0，10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）设，则“”是“函数为偶函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）(2017·大庆模拟) 已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·郏县期中) 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（）A .B .C . －1D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南京模拟) 若函数是偶函数，则实数a的值为________．14. （1分） (2018高二下·长春开学考) 已知，则 ________．15. （1分）(2020·普陀模拟) 各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则 ________.16. （1分）(2017·唐山模拟) 在六棱锥P﹣ABCDEF中，底面是边长为的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，内角所对的边分别是，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求 .18. （10分）(2017·潍坊模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19. （5分） (2017高二下·故城期中) 有10张卡片，其中8张标有数字3，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，求X的数学期望．20. （10分）(2020·攀枝花模拟) 已知椭圆的短轴顶点分别为 ,且短轴长为为椭圆上异于的任意-一点,直线的斜率之积为（1）求椭圆的方程;（2）设为坐标原点,圆的切线与椭圆C相交于两点,求面积的最大值.21. （10分）(2017·常宁模拟) 设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q 两点间的最短距离；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高二下·肇庆期末) 在直角坐标系xOy 中，已知圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线l的极坐方程是，射线OM：θ= 与圆的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23. （15分） (2017高一上·中山月考) 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

2017届高三二模考试试题参考答案及评分标准理科数学一、选择题（题本大题共12道小题,每小题5分,共60分，在每题给出的四答案中，其中只有一项符合题目要求.）1-5： D C C B D 6-10： B C D B D 11-12：D D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案直接填在题中横线上.） 13． -3 14. 3 15． 0.7 16.己酉年三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

）17.解：（1）∵nn n a a S +=22∴2n 1n 1n 12S a a +++=+……………………………………………………..2分∴ 22n 1n n 1n 1n n 2S 2S (a a )(a a )+++-=+-+…………………………….3分 即n 1n n 1n (a a )(a a 1)0+++--=∵ n a 0>∴n 1n a a 0++>∴n 1n a a 1+-=…………………………………………………………..4分令n 1=，则21112S a a =+ ∴1a 1=或1a 0=∵ n a 0>∴1a 1=…………………………………………………………………………………………5分∴ 数列{}n a 是以1为首项，以为公差1的等差数列∴ n 1a a (n 1)d n =+-=，*n N ∈…………………………………………………………………6分 （2）由（1）知：nnn n 2nn2a 111b (1)(1)()n n 1a a +=-=-+++…………………8分∴数列{}n b 的前2016项的和为n 122016T b b b =+++L111111111(1)()()()()223342015201620162017=-+++-++-+++L 1111111111223342015201620162017=--++--+--++L …………………………………………………………………………10分112017=-+20162017=-……………………………………………………………………12分18.解：（1）证明：法一：取PD 的中点N ，连接MN ，CN.在△PAD 中，N 、M 分别为棱PD 、PA 的中点∴1MN AD 2P1BC AD 2Q P ∴ 四边形BCNM 是平行四边形∴BM CN P∵BM ⊂平面PCD ，CN ⊄平面PCD ∴BM//平面PCD ………………5分（法二：连接EM ，BE.在△PAD 中，E 、M 分别为棱AD 、PA 的中点∴MN PD P ∵AD//BC ，1BC CD AD 12=== ∴ 四边形BCDE 是平行四边形∴BE CD P ∵BE ME E ⋂=，，MN PD P ，BE CD P ∴平面BEM//平面PCD ∵BM ⊂平面BEM ∴BM//平面PCD ）（2）以A 为原点，以，的方向分别为x 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -…………………………6分则)0,0,0(A ，)0,1,2(C ，)0,0,1(E . ∵点P 在底面ABCD 上的射影为A ∴PA ⊥平面ABCD∵︒=∠45ADP ∴ PA AD 2== ∴)2,0,0(P∴)2,0,1(-=，)0,1,1(=，)2,0,0(=……..7分设平面PAC 的一个法向量m (a,b,c)=r， 则c 02a b 2c 0⎧=⎨+-=⎩设a 1=，则m (1,2,0)=-r……………………………………..9分设平面PCE 的一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎩⎨⎧=+=-02y x z x ，设2=x ，则)1,2,2(-=n ………………………………10分∴m n cos m,n 5m n•<>==v vv v v v ……………………..11分由图知：二面角A PC E --是锐二面角，设其平面角为θ，则cos cos m,n θ=<>=u u v v …………………………12分19.解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+． …………………………………………….2分 12W =时，由（1）表示的可行域和目标函数几何意义知当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 15W =时当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 18W =时，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．………………………………….5分 故最大获利Z 的分布列为…………………………………………………………………….7分因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=…………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+= ……………………………………………….10分 所以3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=……………………………………………………12分20.解：（1）设动圆的圆心为E (x,y)则PE =222(x 2)y 4x ++=+∴2y4x =-即：动圆圆心的轨迹E 的方程为2y4x =-…………………………….4分（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x轴，此时，A ((2,---∴AB CD ==12S S ==∴12S S +=………………………….5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则k 0≠， 直线AB 的方程是y k(x 2)=+，k 0≠. 设1122A (x ,y ),B (x ,y )，联立方程2y k (x 2)y 4x⎧=+⎨=-⎩，消去y ，得：22k (x 2)4x 0(k 0)++=≠，即：2222k x 4(k 1)x 4k 0(k 0)+++=≠ ∴216(2k 1)0∆=+>，21224(k 1)x x k++=-，12x x 4= ………………………………………………………………………………………………………………….7分由1122A (x ,y ),B (x ,y )知，直线AC 的方程为11y y x x =，直线AC 的方程为22y y x x =， ∴ 12122y 2y C (2,),D (2,)x x ∴ 21121212k (x x )y y CD 22x x x x -=-=∴111S (2x )CD 2=-⋅，221S (2x )CD2=-⋅……………………………………..9分∴12121S S [4(x x )]CD 0)2+=-+⋅=≠ 令21t k=，则t 0>，3212S S 4(2t),t 0+=+>由于 函数32y 4(2t)=+在(0,)+∞上是增函数……………………………………………11分∴ y >12S S +>综上所述，12S S +≥∴112S S +的最小值为12分21.解：（1）函数)(x f 的定义域为）（+∞,0 由已知：），（0)12)(1()2(21)(>++-=-+-='x x x ax a ax x x f…………………………………………………………………………………………………….2分当a x 10<<时，0)(>'x f 所以，函数)(x f 在)10a ，（上是增函数； 当a x 1>时，0)(<'x f 所以，函数)(x f 在)1∞+，（a上是减函数，综上所述：函数)(x f 的增区间是)10a ，（，函数)(x f 的减区间是)1∞+，（a.………………………………………………………………………………………………………………3分（2）设)1()1()(x af x a f xg --+=，则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+= …………………………………………………………………………………………………………………..……….5分∴2223122-1111)(x a x a a ax ax x g -=-++='…………………………………………..6分当ax 10<<时，012)(2223>-='x a x a x g ，又0)0(=g ∴0)(>x g故当a x 10<<时，).1()1(x a f x a f ->+……………………………………………………………8分(3) 由(1)知：函数)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>a f ……………………………………9分不妨设21210),0,(B ),0,(A x x x x <<，则2110x ax <<<由(2)知：0)()-11()-2(111=>+=x f x a a f x a f …………………………………….10分从而，12-2x a x >所以，.12210ax x x >+=由(1)知：.0)(0<'x f ………………………………………………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

河北省唐山市2017届高三数学第二次模拟考试试题文（扫描版）唐山市2016—2017学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：CCBBD CADBA DAB 卷：BCBCD CADCA DA 二．填空题： （13）(－1,1] （14）1（15）532（16） 1 2三．解答题：（17）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q （q ＞0），则⎩⎨⎧(1＋2d )q ＝14，(1＋2d )－q ＝5，…2分解得：⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－ 32，q ＝－7（舍）． …4分 所以a n ＝3n －2，b n ＝2n －1．…6分（Ⅱ）S n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n (1＋3n －2)2＋1－2n1－2…10分 ＝3n 2－n 2＋2n －1．…12分（18）解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一 学生有x 人，则x2400＝1008000， 解得，x ＝30，所以抽取的100名学生中大一学生有30人. …4分（Ⅱ）频率分布直方图如右上图所示．…8分（Ⅲ）t －＝1×0.050×2＋3×0.200×2＋5×0.125×2＋7×0.100×2＋9×0.025×2 ＝4.4．所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时． …12分（19）解：（Ⅰ）当BM ＝3时，有EM ∥平面PCD ． 取PD 中点F ，连接EF ,CF ， ∵E ，F 分别为PA ，PD 的中点，∴EF ∥AD ，且EF ＝ 12AD ＝1.又∵梯形ABCD 中，CM ∥AD ，且CM ＝1， ∴EF ∥CM ，且EF ＝CM ，∴四边形EMCF 为平行四边形．∴EM ∥FC ．又∵EM ⊄平面PCD ，FC ⊂平面PCD ，∴EM ∥平面PCD ． 即当BM =3时， EM ∥平面PCD ． …6分 （Ⅱ）∵E 为PA 的中点，∴点P 到平面DEM 的距离等于点A 到平面DEM 的距离，设点P 到平面DEM 的距离为d ， …8分 由已知可得，AM ＝MD ＝ED ＝5，EM ＝6， ∴S △AMD ＝2，S △DEM ＝212，…10分由V A －DEM ＝V E －AMD 得， 1 3S △DEM ·d ＝ 13S △AMD ·EA ，∴d ＝S △AMD ·EA S △DEM ＝42121， 所以点P 到平面DEM 的距离为42121．…12分（20）解：（Ⅰ）设C (x ，y )（y ≠0），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以B (－x ，0)，由|AB |＝|AC |得，(x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，化简得，y 2＝4x ．所以C 点的轨迹Γ的方程为y 2＝4x （y ≠0）． …4分 （Ⅱ）直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx －2，得ky 2－4y －8＝0， …6分 y 1＋y 2＝ 4 k ，y 1y 2＝－ 8k． …8分k MQ ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2，同理k NQ ＝4y 2＋2．k MQ ·k NQ ＝4y 1＋2·4y 2＋2＝16y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝4．所以Q (1，2)与M ，N 两点连线的斜率之积为定值4．…1 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1 x － ax2，…1分设f (x )的图象与x 轴相切于点(x 0，0)， 则⎩⎨⎧f (x 0)＝0，f '(x 0)＝0，即⎩⎨⎧ln x 0＋ ax 0－1＝0，1 x 0－ a x 20＝0，解得，a ＝x 0＝1． 所以，f (x )＝l n x ＋1x－1． …3分f (x )≤(x －1)2x等价于ln x ≤x －1．设h (x )＝ln x －x ＋1，则h '(x )＝1x－1，当0＜x ＜1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ＞1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 所以h (x )≤h (1)＝0． 即ln x ≤x －1，（*） 所以，f (x )≤(x －1)2x．…6分（Ⅱ）设g (x )＝(b －1)log b x －x 2－12，g '(x )＝b －1x ln b －x ＝(－ln b )x 2＋b －1x ln b．由g '(x )＝0得，x 0＝b －1ln b． …8分由（*）式可得，当x ＞1时，ln x ＜x －1，即x －1ln x ＞1；以 1 x 代换x 可得：ln 1 x ＜ 1x －1，有ln x ＞x －1x ，即x －1ln x＜x ． 所以当b ＞1时，有1＜x 0＜b ． …10分 当1＜x ＜x 0时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x 0＜x ＜b 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． 又因为g (1)＝g (b )＝0，所以g (x )＞0．即(b －1)log b x ＞x 2－12． …12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的普通方程为：3x －y －3＝0；…2分 曲线C 2的直角坐标方程为：x23＋y 2＝1．…5分 （Ⅱ）将直线C 1的参数方程代入C 2的直角坐标方程整理得：5t 2＋2t －4＝0，…7分t 1＋t 2＝－ 25．由t 的几何意义可知，||MA |－|MB ||＝|t 1＋t 2|＝ 25．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥1，2，－1＜x ＜1，－2x ，x ≤－1．…2分由f (x )的单调性及f (x )＝4得，x ＞2或x ＜－2．所以不等式f (x )＞4的解集为P ＝{x |x ＞2或x ＜－2}．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，|m |＞2，|n |＞2．所以m 2＞4，n 2＞4．(mn ＋4)2－4(m ＋n )2＝(m 2－4)(n 2－4)＞0，所以(mn ＋4)2＞4(m ＋n )2，从而有|mn ＋4|＞2|m ＋n |． …10分。

2020届河北省唐山市2017级高三下学期第二次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合203x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,{}2B x x =>,则A B =（ ）A. (,)-∞+∞B. [)2,2-C. ()2,3D. (]2,3【答案】C【解析】化简集合A ,直接求出A B . 【详解】由题203x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭{|23}x x =-≤<,则A B ={|23}x x <<.故选：C.2.已知复数13aiz i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位）,则实数a =（ ）A. 3-B. 3C. 13- D. 13【答案】A【解析】化简复数z 代数形式,根据复数为纯虚数,列出方程组,即可求解.【详解】由题意,复数()()()()1313313331010ai i ai aa z i i i i +-++-===+++-,因为复数z 为纯虚数,可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩,解得3a =-.故选：A.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,24a =,40a =,则5S =（ ）A. 2-B. 0C. 10D. 20【答案】C【解析】由等差数列的性质,可得12454a a a a =+=+,再结合等差数列的性质,即可求解.【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 424,0a a ==, 根据等差数列的性质,可得12454a a a a =+=+, 又由1555()541022a a S +⨯===. 故选：C.4.已知1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则cos2=α（ ） A. 79- B. 79C. 89- D. 89 【答案】A【解析】 由诱导公式化简1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得1cos 3α=-,再用二倍角余弦公式求出cos2α. 【详解】由1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得1cos 3α=-,则cos2=α2272cos 1199α-=-=-. 故选：A.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长度为（ ）。

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页绝密★启用前2017-2018学年度河北省唐山市高三数学（理）期末考卷考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，但其中第5题相对比较新颖，第11、12、15、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力，同时也注重知识交汇性的考查，如第6、16题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第23题考查了分类讨论的思想、转化的思想，第20题考查了基本不等式法、推理和计算能力，第23题在分类讨论时易出现错误．本卷适合第一轮复习使用． 一、选择题1．已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B 中元素的个数 是（ ）A.2B.3C.4D.5 2．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足213z z i +=-，则z =（ ）2或553．设向量a 与b 的夹角为θ，且()()2,1,22,3a a b =-+=，则cos θ=（ ）A. 35-B.35C.55-4．已知1tan 2θ=，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.7 B.7- C.17D.17-5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该 “堑堵”的表面积为（ ）A. 4B. 6+C. 4+26．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A.1B.1-C.4-D.52-8．在()102x -展开式中， 二项式系数的最大值为a ， 含7x 项的系数为b ，则ba=（ ） A.8021 B.2180 C.2180- D.8021- 9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为（ ）10 C.8 D.5 10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积 与原料体积之比的最大值为（ ） A.3π6π C.8π D.4π11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为（ ）A.3B.2C.32 D.4312．已知函数 ()()2ln x xf x e ex -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值 范围是（ ）A.()1,3-B.()(),33,-∞-+∞C.()3,3-D.()(),13,-∞-+∞ 二、填空题 13．曲线3y x =与y =所围成的封闭图形的面积为 .14．已知{}n a 是等比数列，5371,422a a a =+=，则7a = .第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页15．设12,F F 为椭圆()2222:10x yCa b a b +=>>的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C于,A B 两点，若2F AB ∆是面积为C 的方程为 .16．已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则 ()12sin x x += .三、解答题17．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2cos cos sin cos 2cos a A B b A c A b B --=.（1）求B ；（2）若,ABC b S ∆==a . 18．在某校举行的航天知识竞赛中，参与 竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在 80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见如图）.（1）填写下面的22⨯列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科 有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获 奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附表及公式：()()()()()2n ad bc K a b a d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒，PB PC PD ==.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若2PA =，求二面角A PD B --的余弦值. 20．已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为C 和圆 O 的一个交点，求 （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点,M N ，的最小值及相应p 的值. 21．已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭.（1）求()y f x =的最大值；（2）当10,a e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()(](),0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1:4Cx y +=，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）， 以 坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线():0l p θα=>分别交12,C C 于,A B 两点， 求OBOA的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()10f x a x x a a =-+->. （1）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．。

河北省唐山市高考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2017高二上·定州期末) 已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有________个．2. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 复数（为虚数单位）的模为________.3. （2分） (2018高三上·杭州期中) 已知随机变量的的分布列为1230.40.20.4则的数学期望为________，的方差为________.4. （1分）(2017·南通模拟) 根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为________．5. （1分） (2017高二上·靖江期中) 已知抛物线的方程为y=﹣2x2 ，则它的焦点坐标为________．6. （1分）口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率________．7. （1分）若实数x，y满足，则z=﹣x+y的最小值为________8. （1分） (2018高一上·鹤岗月考) 函数，下列四个命题① 是以为周期的函数② 的图象关于直线对称③当且仅当，取得最小值-1④当且仅当时，正确的是________．（填正确序号）9. （1分）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= ________ .10. （1分）(2017·静安模拟) 直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为________11. （1分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 已知是定义在上的奇函数且，当，且时，有，若对所有、恒成立，则实数的取值范围是________.12. （2分）(2016·绍兴模拟) 已知实数a，b，c满足a+b=2c，则直线l：ax﹣by+c=0恒过定点________，该直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围为________．13. （1分）在等比数列{an}中，公比q=﹣2，且a3a7=4a4 ，则a8与a11的等差中项为________．14. （1分）(2018·鞍山模拟) 已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为________．二、解答题 (共8题；共60分)15. （10分） (2019高一下·宿迁期末) 已知，（1）求的值；（2）若，求的值.16. （5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥PA；（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．17. （5分）(2017·沈阳模拟) 已知F1 ， F2分别是长轴长为2 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点，A1 ， A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1 ， A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．18. （5分） (2018高一下·龙岩期中) 为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形的两个顶点及的中点处，，，现要在该矩形的区域内（含边界），且与等距离的一点处设一个宣讲站，记点到三个乡镇的距离之和为．（Ⅰ）设，将表示为的函数；（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站的位置，使宣讲站到三个乡镇的距离之和最小．19. （5分） (2018高二下·海安月考) 如图，公路AM ， AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ， AN的距离分别为3km， km，现要过点P修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20. （15分）(2016·上海理) 若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1 ，则称{an}具有性质P．（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．21. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知实数x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5（1）求证不等式x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1（2）随机变量X取值的概率均为，随机变量Y取值的概率也均为，比较DX与DY大小关系．22. （5分）(2013·江苏理) 已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共8题；共60分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。