教 学 设 计
授课教师 九年级数学组 课时分配 1 备课时间 10月10日
课 题 垂径定理 授课时间 10月17日
教
学
目
标 知识与技能 学生能够利用圆的轴对称性，通过探索归纳验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能初步应用他解决一些简单的计算证明 。
数学思考 通过学生的折纸验证等活动，得出垂径定理
问题解决
应用垂径定理解决一些简单的计算证明
情感态度
经历综合应用垂径定理及推论的过程，体验数学的应用价值。
教学重点 应用垂径定理及推论解决实际问题
教学难点 应用垂径定理及推论解决实际问题
教学准备 课件
教
学
流
程 一、 实践探究
（1）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（2）观察得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
二、理论猜想与证明
1、AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
(1) ⊙O关于直线CD对称吗？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？ 为什么？
·
E O
A B C
D
·
O A B E
归纳：垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
符号表示：∵CD⊥AB ，CD是直径
∴AE=BE
∴AD弧=BD弧
练习:
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
2、已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最短弦长是多少？
3、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证: 四边形ADOE是正方形．
· O
A B C
E
D
三、探索分析，解决问题
1、多媒体课件展示引例----赵州桥（数据略）
学生根据所给的数据求出赵州桥主桥拱的半径（学生根据所学的知识交流寻求解决问题的方法）
知识提要
1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴．
2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
注：用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，构造直角三角形求解．
3．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
4．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(见了弧的中点常连结圆心，如第13题)
5．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
例1：[2017·眉山]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC＝__5__cm.
【解析】 如答图，连结OA，∵OC⊥AB，∴AD＝12AB＝4 cm，设⊙O的半径为R，
由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，∴R2＝42＋(R－2)2，解得R＝5，∴OC＝5 cm.
例2：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，AD，△ACD是边长为23的等边三角形，则⊙O的半径为__2__．
【解析】 如答图，连结OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝12CD，
∵AC＝CD＝23，∴CE＝3，∴AE＝AC2－CE2＝（23）2－（3）2＝3. 例题分析 垂径定理 设⊙O的半径为r，则OC＝r，∴OE＝AE－AO＝3－r，
在Rt△OCE中，由勾股定理得OE2＋CE2＝OC2，∴(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，
∴⊙O的半径为2.
例3：如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
解：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，连结OB.∵AB＝8 cm，∴AE＝BE＝12AB＝12×8＝4(cm)．
∵⊙O的直径为10 cm，∴OB＝12×10＝5(cm)，∴OE＝OB2－BE2＝52－42＝3(cm)．
28.4 垂径定理*
教学目标
1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论.
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.
教学重难点
【重点】 垂径定理及其应用.
【难点】 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
教学过程
复习提问:
1.什么是轴对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.你是用什么方法解决上述问题的?
4.直径是圆的对称轴正确吗?
【师生活动】 学生思考后回答,教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线).
一、垂径定理
教师引导操作、思考、回答:
在自己课前准备的纸片上作图:
1.任意作一条弦AB.
2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.
3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?
4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.
5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?
6.你能用语言叙述这个命题吗? 7.你得到的结论怎样用几何语言表示?
【师生活动】 学生在教师的引导下操作、观察、思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中,帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评,规范学生的证明过程,师生共同回忆操作过程,归纳结论.
【课件展示】 如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,,.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言:
∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB,
∴AE=BE,,.
二、垂径定理的推论
【课件展示】 如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.
【思考】
1 垂径定理 学生 学校 年级 九年级 次数
科目 数 学 教师 日期 时段
课题 垂径定理
教学重点 掌握圆的相关概念 垂径定理
教学难点 垂径定理及其推论的应用。
教学目标 熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。
教
学
步
骤
及
教
学
内
容 一、错题回顾
二、内容讲解 1、与圆有关的基本概念 圆中相关概念的结构示意图 圆周角的定义
顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角.
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的圆
心角的 .
1.直径（或半圆）所对的圆周角是 .
2.900的圆周角所对的弦是 .
3.圆的内接多边形，多边形的内接圆。
圆内接四边形的对角 。
例题：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE． 2、垂径定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦 三、课堂总结与反思：
管理人员签字： 日期： 年 月 日
2 一、错题回顾
1、已知抛物线过A（-4，m）和B（8，m），求对称轴的直线方程 。
2、已知抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），对称轴为直线x=1，求抛物线与x轴的另一个
交点坐标 。 3、某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。 （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是多少元。
4、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请 队参加。
