第一章 习题解答
1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g c o mb
= 系统的传递函数?
?
?
??b f Λ。若b 取（1）
50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，
（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23
2+1=?
???
??
1+3
1+1-31+=F 图形从略。 1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<
，W
b 1<，试证明
()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*??
?
????? ??1 证明：
(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W
f L f rect y x f y x,f y x y x y
x *??
? ????? ??1==∴=????
??=,,F F ,,F ,,F F 1-
（2）如果L a 1>
， W
b 1
>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y
x bf af rect y x f W
f L f rect y x f ,,F ,,F ≠???
?
??。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,
试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,
答：
()(){}(){}{}{}()(){}{}
{}{}{}x
cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=???
?
????? ??74=74==1-1
-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,
（2）()()??
? ??75???
??754=2y rect x rect x cos y x f π,
答：
()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()??? ??75??? ??754?????
????? ??77575?75*4=?
?????7????????? ??75??? ??754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]??
?
??758+1=3x rect x cos y x f π,
答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}?
?? ??75=75????
?
????? ??775???
??????? ??7??? ??75*??? ?
?4+81+4-81+=??
??
????? ??775*8+1=?
?
?
???7????????? ??758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,
（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：
()()()()(){}()(){}{}
()()()()()()()()()()()()(){}
()()
x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x y
x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=????
????? ??7??? ??-3-2120-1+6370+1-6370+41=??
??????????? ??7???? ?????? ??2??? ??41=722*=1-1-1
-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ
1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*??
???????
??50??? ??331=
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）()??
?
??2=f f H rect （2）()??
? ??2-???
??4=f f f H rect rect
答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形
{}{}[]21()()()()()3
350(3)50sin (50)sin i x x G f g x comb rect x comb f c f c f
????
??==*Λ?????
???????=*F
F F
方括号内函数频谱图形为：
f
1
2
1
2
35
3
4321353
4323
3150
图1.4（1）
f c 2sin 图形为：
f
1
32133123
1
0.6850.17
0.04
1
图 1.4（2）
因为f c 2
sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时f c 2
sin 的最大值小于0.04%。故图解)(f G 频谱结果为：
f
3
2
1323
3150
G(f)
50*0.685
50*0.171
图 1.4（3）
传递函数（1）形为：
f 1
1
1
图 1.4（4）
因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：
????
????????
-+++*??????-+++)32()32(171.0)50(sin 50)31()31(685.0)(f f f c f f f δδδδδ
其反变换，即输出函数为：
)50(322cos 342.032cos 37.11x rect x x ?????
?
++ππ 该函数为限制在[]25,25-区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为：
f
1
图 1.4（5）
此时，输出函数仅剩下在[]1,2--及[]2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在[]1,1-的零值也是不能忽略的，由于
027.0)3
5
(sin 043
.0)34
(sin 22==c c
可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：
)50(352cos 027.0342cos 043.0x rect x x ??
????
+ππ 该函数依然限制在[]25,25-区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。 1.5 若对二维函数
()()ax a y x h 2
=sinc ,
抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答：(){}(){}
()y x f δa f ax sinc a y x h ??
?
??==2
ΛF ,F
≤∞21=21≤
∴Y a
B X x ;
也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。
1.6 若只能用b a ?表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()??
? ????? ??????????? ?????
??=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。 答：因为b a ?表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。
1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”()()x y x f δ=,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应()x L 。如果系统的传递函数为()y x f f H ,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿x f 轴的截面分布()0,x f H 。
证明：(){}()(){}()()
()0,,,y δx y x y f H f f H f y x h x L ==*=δF F
1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间x x B f ≤，y y B f ≤之外恒为零，系统输入为非限带函数()y x g ,0，输出为()y x g ,'
。证明，存在一个由脉冲的方形阵列
构成的抽样函数()y x g ,'
0，它作为等效输入，可产生相同的输出()y x g ,'，并请确定()y x g ,'
0。
答：为了便于从频率域分析，分别设：
物的空间频谱 00(,){(,)}x y A f f g x y =F ； 像的空间频谱 (,){(,)}i x y i A f f g x y =F ； 等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}x y A f f g x y =F ； 等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.x y A f f g x y =F
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,x x y y f B f B ≤≤之外恒为零，故可将其记为：
(,)22y x
x y x
y f f
H f f rect rect B B ??
?? ? ? ?????
、 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为
0(,)(,)22(,)
y x x y x y x y i x y f f A f f H f f rect rect B B A f f ????
? ? ?????
= 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办
法是把0(,)22y x x y x y f f A f f rect rect B B ??
??
? ? ?????
安置在x y f f 平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)x y B n B m 点周围，选择矩形格点在x f 、y f 方向上的间隔分别为2x B 和2y B ,以免频谱
混叠，于是
()00'(,)(,)2,222y x
x y x y x x y y n m x
y f f
A f f A f f rect rect f
B n f B n B B δ∞∞
=-∞=-∞
????
=*-- ? ? ?????∑∑ 01
(,)22422y y x x x y x
y x y x y
f f f f A f f rect rect comb comb B B B B
B B ????
????
=* ? ?
? ? ? ???????
??
（1） 对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)x y A f f 的中央一个周期成份（0n m ==）通过，所以成像的谱并不发生变化，即
0'(,)(,)22y x
x y x y x y f f
A f f H f f rect rect
B B ??
?? ? ? ?????
'(,)i x y A f f = (,)i x y A f f =
图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对0A 和0'A 的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2x x f rect B ??
???
。 00'()()2X
X X X
f
A f A f rect
B ??= ???
*
(2)X
X f
B n δ-∑
2B X
B X -B X
B X
-B X B X -B X B X
-B X -B X A'i (f X )=A 0(f X )H(f X )
A i (f X )=A 0(f X )H (f X )
f X
f X
B X
f X
f X
1
1
H(f X )H(f X )f X
f X
A 0(f X )
图 题1.8
既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即 '(,)(,)i i U x y U x y =
因此，只要求出0'(,)X Y A f f 的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 {}1
00'(,)'(,)X Y U x y A f f -=F
带入（1）式，并利用卷积定理得到
1
1
001
'(,)(,)22422X Y
X Y
X Y X Y
X Y
X Y
f f f f U x y A f f rect rect comb comb B B B B B B --?????????????
???
=????? ? ? ? ???????????????
??
F
F 1
0(,)(2)(2)22X Y
X Y X Y X Y f f A f f rect rect comb B x comb B y B B -???????
?
=??? ? ?????????
F
（2）
上式也可以从抽样定理来解释。
0(,)22X
Y X Y X Y f f A f f rect rect B B ????
? ?????
是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来
表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x 方向是
12X B ，在y 方向是12Y
B ，就得到等效物场0'(,)U x y
1
0(,)22X Y
X Y X Y f f A f f rect rect B B -???????
?
?? ? ?????????
F
0(,)4sin (2)sin (2)X Y X Y U x y B B c B x c B y =*
04(,)sin [2()]sin [2()]X Y
X
y B B U c B
x c B y d d ξηξηξη∞
-∞
=-?-??； （3）
(2)(2)X Y comb B x comb B y
1
,422n m X Y
X Y
n m x y B B B B δ∞
∞
=-∞=-∞
?
?
=
-
- ??
?
∑
∑ （4） 把（3）、（4）式代入（2）式，得到
00'(,)(,)sin [2()]sin [2()],22X Y n m X Y n m U x y U c B x c B y d d x y B B ξηξηξηδ∞∞∞=-∞=-∞-∞????=-?-?--?? ?
?
???∑∑??利用δ函数性质（1.8）式，上式可写为
0'(,)U x y =
0(,)sin [2)]sin [2)],22X Y
n m X Y n m
U c n B c m B d d x y B B ξηξηξηδ∞∞
∞
=-∞=-∞-∞????
-?---?? ??
?
??∑∑?? 这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体0U 产生完全一样的像i U .
本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。
习 题 4 尺寸为a b ?的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射 光场的角谱。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径 轴上的强度分布： (1) 00(,)t x y = (2) 001,(,)0,a t x y ??≤=???其它 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+ 式中，d 为光栅的周期，0a b >>。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 2 2r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 2 42r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面 上，坐标为(0,)b 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面位 于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。求衍射图样的强度分布。 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。其透射率可以表示为： 001,()0,a r a t r ε≤≤?=??其他 用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强 度分布。 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。采用单 位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1、1 简要说明以下系统就是否有线性与平移不变性、 (１) (2) (3） (4） (5） 解：（１）线性、平移不变; (2）线性、平移不变; （3）非线性、平移不变; （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1、２ 证明 证明:左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边=0,当n 为偶数时,右边＝ 所以当n 为偶数时,左右两边相等。 1、3 证明 证明:根据复合函数形式得δ函数公式 式中就是h （x)=０得根，表示在处得导数.于就是 1、4 计算图题1、1所示得两函数得一维卷积。 解:设卷积为g （x)。当—１≤ｘ≤０时，如图题1、1（a ）所示, 图题１、1 当０ < x ≤１时,如图题1、1(b)所示， 即
1、5 计算下列一维卷积。 （1） （２) (3） 解：(1)?? ? ??-=??? ??-*??? ??-=??? ??-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ (2)设卷积为ｇ（x)，当x ≤０时，如图题1、2(a ）所示， 当0 〈 x 时,如图题1、2(b ）所示 图题1、2 即 （３） １、６ 已知得傅立叶变换为,试求 （1） （2) 解:设 即 由坐标缩放性质 得 （1)(){}{} )ex p()ex p(/ex p(ex p 2222 2 ξπππππ-=-=-?=-?z y x （2） 1、7 计算积分、(1） （2) 解：应用广义巴塞伐定理可得 （１)3 2)1()1()()()(sin )(sin 1 2 1 2 2 2 = -++=ΛΛ= ???? -∞ ∞ -∞ ∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c (2）????????? ?? -Λ+??? ??+Λ=???∞∞ -∞∞-∞ ∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2 １、8 应用卷积定理求得傅里叶变换、 解:{}{}{}?? ? ??*= ?*?=?2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c
第一章 习题解答 1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g com b = 系统的传递函数? ? ? ??b f Λ。若b 取（1） 50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。并画出输出函数及其频谱的图形。 答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23 2+1=? ??? ?? 1+3 1+1-31+=F 图形从略。 1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1） 如果L a 1< ，W b 1<，试证明 ()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*?? ? ????? ??1 证明： (){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W f L f rect y x f y x,f y x y x y x *?? ? ????? ??1==∴=???? ??=,,F F ,,F ,,F F 1- （2） 如果L a 1> ， W b 1 >，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y x bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠??? ? ??。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc , 试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos , 答： ()(){}(){}{}{}()(){}{} {}{}{}x cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=??? ? ????? ??74=74==1-1 -1-11-1F F F F F F F ,F ,F F , （2）()()?? ? ??75??? ??754=2y rect x rect x cos y x f π,
中山大学信息光学习题课后答案--习题456作业 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
习 题 4 尺寸为a b ?的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透 射光场的角谱。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔 径轴上的强度分布： (1) 220000 (,)circ()t x y x y =+ (2) 2200001,1(,)0,a x y t x y ??≤+≤=???其它 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+ 式中，d 为光栅的周期，0a b >>。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 2 2r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 2 42r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面 上，坐标为(0,)b 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面位 于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。求衍射图样的强度分布。 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。其透射率可以表示为： 001,()0,a r a t r ε≤≤?=??其他
信息光学试题 1. 解释概念 光谱：复色光经过色散系统（如棱镜、光栅）分光后，按波长（或频率）的大小依次排列的图案。 干涉图：在一定光程差下，探测器接收到的信号强度的变化，叫干涉图。 2. 傅里叶光谱学的基本原理是干涉图与光谱图之间的关系，是分别用复数形式 和实数表示之。 复数形式方程： 实数形式方程： 3. 何谓Jacquinot 优点?干涉光谱仪的通量理论上约为光栅光谱仪通量的多少 倍？ Jacquinot 优点是：高通量。 对相同面积、相同准直镜焦距、相同分辨率，干涉仪与光栅光谱仪通量之比 为 对好的光栅光谱仪来说，由于 则 即干涉仪的通量为最好光栅干涉仪的190倍。 4. 何谓Fellgett 优点？证明干涉光谱仪与色散型光谱仪的信噪比之比为 2/1)/()/(M N S N S G I =，M 为光谱元数。 Fellgett 优点：多重性。 设在一扩展的光谱带1σ —2σ间，其光谱分辨率为δσ，则光谱元数为 δσσδσσσ?=-=21M 2()() (0)1[]2i R R B I I e d πσδσδδ∞ --∞=-?()0()(0)1(tan ){[]cos(2)}2R R B cons t I I d σδπσδδ∞=-? '2() M G E f l E π≈'30f l ≥
对光栅或棱镜色散型光谱仪，设T 为从1σ —2σ的扫描总时间，则每一小节观测时间为T/M ，如果噪音是随机的、不依赖于信号水平，则信噪比正比于 21)(M T 即21 )()(M T N S G ∝。 对干涉仪，它在所有时间内探测在 1σ —2σ间所有分辨率为δσ的小带，所 以探测每一个小带的时间正比于T ，即21 )()(T N S I ∝ 因此21)()(M N S N S G I = 5. 单色光的干涉图和光谱表达式是什么？在实际仪器使用中，若最大光程差为 L ，试写出其光谱表达式——仪器线性函数（ILS ）。 单色光干涉图表达式： )2cos(2)]0(2 1)([1δπσδ=-R R I I 其中1σ为单色光的波数，δ为 光程差。 光谱的表达式： })(2])(2sin[)(2])(2sin[{2)(1111L L L L L B σσπσσπσσπσσπσ--+++= 仪器线性函数：])(2[sin 2)(1L c L B σσπσ-= 6. 何谓切趾？试对上题ILS 进行三角切趾，并说明其结果的重要意义。 切趾： 函数])(2[sin 1L c σσπ-是我们对单色光源所得到得一个近似，其次级极大或者说“脚“是伸到零值以下的22％处，它稍稍有点大。我们可以把一个有限宽度的中央峰值认为一个无限窄带宽的一个近似，但是这个”脚“会使在这些波长附近出现一个错误的来源。为了减小这个误差，我们通过截趾的方法来减小这个”脚“的大小，这就叫切趾。 三角切趾后的仪器函数： 21])([sin )(L c L B σσπσ-= 重要意义：
习题2 2.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。 (1) ()rect(2)n f x x n ∞ =-∞ = -∑ (2) ()tri(2)n g x x n ∞ =-∞ = -∑ 2.2 证明下列傅里叶变换关系式： (1) {rect()rect()}sinc()sinc()F x y ξη=; (2) 22{()()}sinc ()sinc ()F x y ξηΛΛ=; (3) {1}(,)F δξη=; (4) 11{sgn()sgn()}i πi πF x y ξη???? = ? ????? ; (5) {(sin )}F n nx δ; (6) { }222 π()/e x y a F -+。 2.3 求x 和(2)xf x 的傅里叶变换。 2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。 ()t r i (1) t r i (H ξξξ=+ -- ()r e c t (/3)r e c G ξξξ=- 2.5 证明下列傅里叶变换定理： (1) 在所在(,)f x y 连续的点上11{(,)}{(,)}(,)FF f x y F F f x y f x y --==--； (2) {(,)(,){(,)}*((,)}F f x y h x y F f x y F g x y =。 2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1) 若0()()r f r r r δ=-，则000{()}2πJ (2π)r B f r r r ρ=; (2) 若1a r ≤≤时()1r f r =，而在其他地方为零，则11J (2π)J (2π) {()}r a a B f r ρρρ -= ; (3) 若{()}()r B f r F ρ=，则21{()}r B f r a a ρ??= ??? ; (4) 2 2 ππ{e }e r B ρ --= 2.7 设(,)g r θ在极坐标中可分离变量。证明若i (,)()e m r f r f r θ θ=，则： i {(,)}(i )e H {()}m m m r F f r f r φ θ=- 其中H {}m 为m 阶汉克尔变换：0 {()}2π()J (2π)d m r r m H f r rf r r r ρ∞ =?。而(,)ρφ空间频率中的极坐 标。(提示：i sin i e J ()e a x kx k k a ∞ =-∞= ∑ )
信息光学试题经典浓缩版~~ 一、选择题（每题2分） 1、《信息光学》即《付里叶光学》课程采用的主要数学分析手段是________________。 A 、光线的光路计算 B 、光的电磁场理论 C 、空间函数的付里叶变换 2、高斯函数)](exp[22y x +-π的付里叶变换为________________。 A 、1 B 、),(y x f f δ C 、)](exp[22y x f f +-π 3、1的付里叶变换为_________________。 A 、),(y x f f δ B 、)sgn()sgn(y x C 、)()(y x f Comb f Comb 4、余弦函数x f 02cos π的付里叶变换为_________________。 A 、)]()([21 00f f f f x x ++-δδ B 、)sin()sin(y x f f C 、1 5、圆函数Circ(r)的付里叶变换为_________________ A 、ρπρ) 2(1J B 、1 C 、),(y x f f δ 6、在付里叶光学中，通常是以_________________理论为基础去分析各种光学问题的。 A 、非线性系统 B 、线性系统 7、_________________是从空间域内描述相干光学系统传递特性的重要光学参量。 A 、脉冲响应 B 、相干传递函数 8、_________________是从空间频域内描述相干光学系统传递特性的重要光学参量。 A 、脉冲响应 B 、相干传递函数 9、_________________是从空间域内描述非相干光学系统传递特性的重要光学参量。 A 、点扩散函数 B 、非相干传递函数（光学传递函数） 10、_______________是从空间频域内描述非相干光学系统传递特性的重要光
信息光学习题答案 信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?; g?x??????f????h?x????d?; 2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝
2所以当n为偶数时，左右两边相等。n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2
信息光学试题经典浓缩版~~ 一、选择题（每题2分） 1、《信息光学》即《付里叶光学》课程采用的主要数学分析手段是________________。 A 、光线的光路计算 B 、光的电磁场理论 C 、空间函数的付里叶 变换 2、高斯函数)](exp[22y x +-π的付里叶变换为________________。 A 、1 B 、),(y x f f δ C 、)](exp[22y x f f +-π 3、1的付里叶变换为_________________。 A 、),(y x f f δ B 、)sgn()sgn(y x C 、)()(y x f Comb f Comb 4、余弦函数x f 02cos π的付里叶变换为_________________。 A 、)]()([2 1 00f f f f x x ++-δδ B 、)sin()sin(y x f f C 、1 5、圆函数Circ(r)的付里叶变换为_________________ A 、 ρ πρ) 2(1J B 、1 C 、),(y x f f δ 6、在付里叶光学中，通常是以_________________理论为基础去分析各种光学问题的。 A 、非线性系统 B 、线性系统 7、_________________是从空间域内描述相干光学系统传递特性的重要光学参量。 A 、脉冲响应 B 、相干传递函数 8、_________________是从空间频域内描述相干光学系统传递特性的重要光学参量。 A 、脉冲响应 B 、相干传递函数 9、_________________是从空间域内描述非相干光学系统传递特性的重要光学参量。 A 、点扩散函数 B 、非相干传递函数（光学传递函数） 10、_______________是从空间频域内描述非相干光学系统传递特性的重要光学参量。
习题2 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。 (1) ()rect(2)n f x x n ∞=-∞ = -∑ (2) ()tri(2)n g x x n ∞ =-∞ =-∑ 证明下列傅里叶变换关系式： (1) {rect()rect()}sinc()sinc()F x y ξη=; (2) 2 2 {()()}sinc ()sinc ()F x y ξηΛΛ=; (3) {1}(,)F δξη=; (4) 11{sgn()sgn()}i πi πF x y ξη???? = ??????? ; (5) {(sin )}F n nx δ; (6) { }222 π()/e x y a F -+。 求x 和(2)xf x 的傅里叶变换。 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。 ()tri(1)tri(1)H ξξξ=+-- ()rect(/3)rect()G ξξξ=- 证明下列傅里叶变换定理： (1) 在所在(,)f x y 连续的点上1 1 {(,)}{(,)}(,)FF f x y F F f x y f x y --==--； (2) {(,)(,){(,)}*((,)}F f x y h x y F f x y F g x y =。 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1) 若0()()r f r r r δ=-，则000{()}2πJ (2π)r B f r r r ρ=; (2) 若1a r ≤≤时()1r f r =，而在其他地方为零，则11J (2π)J (2π) {()}r a a B f r ρρρ -= ; (3) 若{()}()r B f r F ρ=，则21{()}r B f r a a ρ??= ??? ; (4) 2 2 ππ{e }e r B ρ--= 设(,)g r θ在极坐标中可分离变量。证明若i (,)()e m r f r f r θ θ=，则： i {(,)}(i)e H {()}m m m r F f r f r φ θ=- 其中H {}m 为m 阶汉克尔变换：0 {()}2π ()J (2π)d m r r m H f r rf r r r ρ∞ =? 。而(,)ρφ空间频率中的极坐 标。(提示：i sin i e J ()e a x kx k k a ∞ =-∞=∑)
信息光学 一、 填空题（共30分，每空2分） 1. 与微波一样，光波是一种＿＿＿＿＿波，其在真空中的速度＿＿＿＿＿米/秒。 2. 从傅立叶光学的角度看，透镜的作用是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3. 全息术包括物光波前的纪录和再现两个过程，全息照片同时记录了波前的＿＿＿信息和 ＿＿＿信息。 4. 光学成像系统分相干光学成像系统和非相干光学成像系统，相干光学成像系统的传递函 数称＿＿＿，非相干光学成像系统的传递函数称＿＿＿。 5. 全息记录的原理不仅可用于光波波段，也可用于电子波， 、 和声波等，只 要波动过程在形成干涉花样时具有足够的相干性即可。 6. 若ν?和ν分别表示光波的波长范围和平均波长，则准单色光需要满足的条件 是 。 7. 正弦型振幅全息图透射率为01cos 2t t t x πξ=+，其中t 0是平均透射率，t 1是调制幅度。在最佳的理想情况下t 0＝1/2，t 1＝1/2。该情况下可得最佳衍射效率为 。 8. 菲涅耳近似其实质是用 来代替球面的子波；夫琅和费近似实质是用 来代替球面子波。 9. 关于成像质量的评价，主要有两种方法： 和 。 二、简答题（共20分） 1、 简述标量衍射理论适用的条件。（6分） 2、 简述阿贝成像的原理（6分） 3、 根据二元滤波所作用的频率区间可将二元振幅滤波器分为哪几类？并简要说明其特点。 （8分） 三、证明题（16分，每题8分） 1、 证明傅立叶变换变换关系式：F{rect()rect()}=sinc()sinc()x y x y f f 2、 一个函数的“等效面积”X Y ?可定义为 (,)(0,0) XY g x y dxdy g ∞ ∞ -∞-∞ ?= ?? ， 而g 的“等效带宽”则通过它的变换式G 由下式定义： (,)(0,0) X Y X Y X Y f f G f f df df G ∞ ∞ -∞-∞ ? = ??。 证明：1X Y XY f f ???=。 四、计算题（共34分） 1、 已知一平面波的复振幅表达式为(,,)exp[(234)]U x y z A j x y z =-+，试计算其波长λ 以及沿x ，y ，z 方向的空间频率。（8分）
卷号：A 一 单项选择题（10x3=30分） 1.下列可用来描述点光源的函数是（ ）； （A ） 矩形函数； （B ） 三角型函数； （C ） δ函数； （D ） 圆柱函数； 2. 设)},,({),()},,({),(y x g F G y x f F F ==ηξηξ其中大括号前面的F 表示正傅立叶变换算符，关于傅立叶变换的基本定理，下列关系错误的是（ ）； （A ）),(),()},(),({ηξηξG F y x g y x f F =* （B ）),(),()},(),({ηξηξF F y x f y x f F *=? * （C ）),(),()},(),({ηξηξG F y x g y x f F * = （D ）2 ),()},(),({ηξF y x f y x f F = 3. 波长λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为λ π3cos 21 )(00x x t =，则透射场的角谱为（ ）； (A) )cos ,31cos (41)cos ,31cos (41λ β λλαδλβλλαδ++-； (B) )cos ,61cos (41)cos ,61cos (41λβλλαδλβλλαδ++-； (C) )cos ,61cos (21)cos ,61cos (21λβλλαδλβλλαδ++-； (D) )cos ,31cos (21)cos ,31cos (21λ βλλαδλβλλαδ++-； 4. 三角孔的衍射图样的形状为（ ）； (A) 三角形； (B) 十字形； (C) 星形； (D) 矩形 5. 某光学系统的出瞳是一个边长为D 的正方形，其出瞳到像面的距离为i d ，若用波长为λ的相干光照明，则其相干传递函数为（ ）； (A))2/( ),(22i d D cir H ληξηξ+=； (B))2/()2/(),(i i d D rect d D rect H λη λξηξ=; (C))/( ),(22i d D cir H ληξηξ+=； (D))/()/(),(i i d D rect d D rect H λη λξηξ=； 6. 关于光学全息的下列说法，错误的是（ ）； (A) 全息照相记录的是干涉条纹； (B) 全息照片上每一点都记录物体的全息信息； (C) 全息照相记录的是物体的像； (D) 全息的波前记录和再现的过程，实质上是光波的于涉和衍射的结果； 7. 要想再现出菲涅耳全息图的原始像，其再现条件为（ ）； (A) 用原参考光进行再现； (B) 用白光进行再现； (C) 用共轭参考光进行再现； (D) 用原物光进行再现；； 8. 设物光波函数分布为),(y x g ，其频谱函数为),(ηξG ，平面参考光是位于物平面上（0，－b ）点处的点光源产生的，将其放在透镜的前焦面记录傅里叶变换全息图，则傅里叶变换全息图的复振幅透过率函数为( ）； (A) ]2exp[]2exp[)(*002 ηπβηπββb j G r b j G r G t x t b '+-'+'+= (B) ]2exp[]2exp[)(*002ηπβηπββb j g r b j g r g t x t b '+-'+'+= (C) ]2exp[]2exp[)(*002 ηπβηπββb j G r b j G r G t x t b -'+'+'+= (D) ]2exp[]2exp[)(*002 ηπβηπββb j g r b j g r g t x t b -'+'+'+= ☆ ☆
信息光学习题 问答题 1.傅里叶变换透镜和普通成像透镜的区别。 2.相干光光学处理和非相干光光学处理的优缺点。 3.菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的区别与联系。 4.光学传递函数在0 = η = ξ处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成像，这时光学传递函数怎样？ 证明 1.如果() {()} g x Gξ = F,则()() 2 d g x j G dx πξξ ?? = ?? ?? F； 2.()()()()()() d d d f x g x f x g x f x g x dx dx dx ???? *=*=* ?? ?????? ???? 计算题 1.沿空间k方向传播的平面波可以表示为 试求出k方向的单位矢量。 2.有一矢量波其表达式如下： ]} ) 10 16 ( ) 4 3 2[ exp{ ) / 100 (1 8 1t s m z y x i m V E- -? - + + = ] 10 3 ) ( 10 [ 29t z y x j j i?- + + π
求 1)偏振方向，2)行进方向，3)波长，4)振幅 3. 如图所示的“余弦波的一段”这种波列可表示为 求E(z)的傅里叶变换，并画出它的频谱图。 4. “巴比涅原理是“开在挡板上的光瞳形成的衍射和与光瞳形状相同的不 透明物形成的衍射象之和，等于无任何挡板时的光分布”的原理。试利用基尔霍夫衍射公式证明此原理。 5. 在4F 系统中,输入物面的透过率为 x f t t t 0102cos π+= , 以单色平行光垂直照明, λ=0.63μm, f’=200mm, f 0 =400lp/mm, t 0=, t 1 =, 问频谱面上衍射图案的主要特征: 几个衍射斑? 衍射斑沿什么方向分布? 各级衍射斑对应的衍射角sin θ =? 各级衍射中心强度与零级衍射斑之比. （1）在不加滤波器的情况下,求输出图象光强分布. （2）如用黑纸作空间滤波器挡住零级斑,求输出图象光强分布. （3）如用黑纸挡掉+1级斑,求输出图象光强分布. 6. 在图示4F 系统中, λ=0.63μm <1>被处理物面最大尺寸和最高空间频率为多大?(设频谱面与物面同尺寸) <2>付里叶变换镜头的焦距和通光直径为多大? <3>欲将光栅常数0.1mm 的二维光栅处理成一维光栅。给出空间滤波器的形 状和尺寸。 ???><≤-=L z when L Z L when z k a z E 0cos )(0
习题4 4.1尺寸为ab的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上 透射光场的角谱。 4.2采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在 孔径轴上的强度分布： (1) 22 t(x,y)circ(xy)(2) 0000 t(x,y) 00 22 1,axy1 00 0, 其它 4.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： t(x)abcos(2x/d) 00 式中，d为光栅的周期，ab0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 2 2d zz(2) r 2 zd r z(3) 2 z zd r 42 2 式中：z r为泰伯距离。 4.4参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径。P点位于孔径后面距离为z的观察平 面上，坐标为(0,b)。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 4.5方向余弦为cos,cos，振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为a的圆孔。观察平面 位于夫琅禾费区，与孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。 4.6环形孔径的外径为2a，内径为2a(01)。其透射率可以表示为： 1, ara
其他 1
度分布。 4.7下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为d(da)。采用 单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y方向截面图。 4.8参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在 (x,y)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出xy0时，孔径频谱在x方向上的截面图。 4.9下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。采用单 位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 假定b4a及d1.5a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。 4.10下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： t(x)step(x) 00
卷号:A 一 单项选择题(10x3=30分) 1、下列可用来描述点光源的函数就是( ); (A) 矩形函数; (B) 三角型函数; (C) δ函数; (D) 圆柱函数; 2、 设)},,({),()},,({),(y x g F G y x f F F ==ηξηξ其中大括号前面的F 表示正傅立叶变换算符,关于傅立叶变换的基本定理,下列关系错误的就是( ); (A)),(),()},(),({ηξηξG F y x g y x f F =* (B)),(),()},(),({ηξηξF F y x f y x f F *=? * (C)),(),()},(),({ηξηξG F y x g y x f F * = (D)2 ),()},() ,({ηξF y x f y x f F = 3、 波长λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上,在孔径平面上有一个足够大的模板,其振幅透过率为λ π3cos 21 )(00x x t =,则透射场的角谱为( ); (A) )cos ,31cos (41)cos ,31cos (41λ β λλαδλβλλαδ++-; (B) )cos ,61cos (41)cos ,61cos (41λβλλαδλβλλαδ++-; (C) )cos ,61cos (21)cos ,61cos (21λβλλαδλβλλαδ++-; (D) )cos ,31cos (21)cos ,31cos (21λ βλλαδλβλλαδ++-; 4、 三角孔的衍射图样的形状为( ); (A) 三角形; (B) 十字形; (C) 星形; (D) 矩形 5、 某光学系统的出瞳就是一个边长为D 的正方形,其出瞳到像面的距离为i d ,若用波长为λ的相干光照明,则其相干传递函数为( ); (A))2/(),(22i d D cir H ληξηξ+=; (B))2/()2/( ),(i i d D rect d D rect H λη λξηξ=; (C))/(),(22i d D cir H ληξηξ+=; (D))/()/( ),(i i d D rect d D rect H λη λξηξ=; 6、 关于光学全息的下列说法,错误的就是( ); (A) 全息照相记录的就是干涉条纹; (B) 全息照片上每一点都记录物体的全息信息; (C) 全息照相记录的就是物体的像; (D) 全息的波前记录与再现的过程,实质上就是光波的于涉与衍射的结果; 7、 要想再现出菲涅耳全息图的原始像,其再现条件为( ); (A) 用原参考光进行再现; (B) 用白光进行再现; (C) 用共轭参考光进行再现; (D) 用原物光进行再现;; 8、 设物光波函数分布为),(y x g ,其频谱函数为),(ηξG ,平面参考光就是位于物平面上(0,－b)点处的点光源产生的,将其放在透镜的前焦面记录傅里叶变换全息图,则傅里叶变换全息图的复振幅透过率函数为( ); (A) ]2exp[]2exp[)(*002 ηπβηπββb j G r b j G r G t x t b '+-'+'+= (B) ]2exp[]2exp[)(*002ηπβηπββb j g r b j g r g t x t b '+-'+'+= (C) ]2exp[]2exp[)(*002 ηπβηπββb j G r b j G r G t x t b -'+'+'+= (D) ]2exp[]2exp[)(*002 ηπβηπββb j g r b j g r g t x t b -'+'+'+= ☆ ☆
数字全息实验研究 数字全息记录和再现原理，即利用数字全息记录程序和光电器件记录全息图，并将全息图输入计算机，由计算机进行数字再现的方法早在1967年就由Goodman等人提出，现已广泛地应用于数字显微、干涉测量、三维图像识别、医疗诊断等领域。数字全息用光电器件替代了全息干版，免去了全息干版的冲洗工作以及降低了对全息工作台的隔振要求。给使用者带来了更大的方便。 实验目的 1．熟悉数字全息实验原理和方法；通过观察全息图的微观结构，深入理解全息记录和数字再现的原理。 2．熟悉数字全息记录光路。 3．用CMOS数字摄像头记录物体的全息图。 4．熟悉用全息图数字再现程序对所记录的全息图进行数字再现的过程。 实验原理 （a） (b)
图1 数字全息实验光路 图2. 数字全息记录光路 L0k放大倍数20或40；L rk放大倍数60； 衰减器P可插入物光束；物体S为透过率物体； BS2与SX之间的物参光方向应相同（夹角为0°） 图3 透射数字全息记录系统 数字全息波前测量的实验光路随被测物体的不同而异，从图1到图3的光路都可以用来
记录全息图。若用图1（a ）所示的实验光路进行数字全息波前的测量，则激光器发出的光经反射镜M 1反射，被分束器BSI 分成两束；一束经过反射镜M 2反射、进入扩束镜L K1扩束，并被准直镜L 1准直，变成平行光，再由反射镜M 3反射转向，照射到被记录物体上形成物波，经由物体物漫后透过分束镜BS 2照射到数字摄像头的光敏元件表面；另一束经衰减器P 、反射镜M 4、扩束镜L K2准直镜L 2变成平行光，再经分束镜BS 2转向，形成参考光，并与物波在CMOS （或CCD ）光电器件平面上叠加干涉，形成全息图；由CMOS （或CCD ）数字摄像头记录，并借助于计算机程序，实现全息图的数字再现。 图4 数字全息记录与再现光路坐标变换 设00oy x 平面内的被记录物体的透过率函数为t (x , y )，用振幅为A 的垂直平面波照明。则在相距为0z 处的记录介质CMOS 或CCD 光敏器件平面上(见图3)，衍射物波的复振幅u (x , y )分布可用菲涅尔衍射积分公式求得为 ()()[] o o o o o o dy dx y y x x z j y x t z j A y x u ??????-+-=??22ex p ),(),(λπλ （1） 若参考光R 为平面波，且传播方向与z 轴夹角为θ，则参考光在记录平面即全息平面上的复振幅分布r (x ,y )可简写为： ?? ????=θλπsin 2Re ),(x j xp y x r （2） 物光和参考光在全息平面上相干叠加后的光强分布为： ),(),(),(),() ,(),(),(222y x r y x u y x r y x u r u y x r y x u y x I *+*++=+= （3） 式中，*u (x ,y )为u (x ,y )的复数共轭。*r (x ,y )为r(x ,y ) 的复数共轭。由数字摄像头记录下该光强分布，并输入计算机，就得到数字全息图，理想情况下，数字全息图的透过率h (x,y)正比于光强，即 )],(),(),(),([),(2 2y x r y x u y x r y x u r u C y x h *+*++= （4） 图5 全息图的再现光路示意图
习 题 4 4.1 尺寸为a b ?的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上 透射光场的角谱。 4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在 孔径轴上的强度分布： (1) 00(,)t x y = (2) 001,(,)0,a t x y ??≤=???其它 4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+ 式中，d 为光栅的周期，0a b >>。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 2 2r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 2 42r z d z λ == 式中：r z 为泰伯距离。 4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。P 点位于孔径后面距离为z 的观察平 面上，坐标为(0,)b 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。 4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面 位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。求衍射图样的强度分布。 4.6 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。其透射率可以表示为： 001,()0,a r a t r ε≤≤?=??其他
度分布。 4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。采用 单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。 4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在 (,)x y ''点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅 禾费射图样的光场分布。画出0x y ''==时，孔径频谱在x 方向上的截面图。 4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距d 。采用单 位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定4b a =及 1.5d a =，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。 4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： 00()step()t x x =
《信息光学》习题课提纲 2010年5月 第一章 傅里叶分析 1. )]([d )()(00x f x x f x x =-? ∞ ∞ -δ （ δ 函数的筛选性） 2. δ函数的坐标缩放性用公式表示为 。 A ．()()y x ab by ax ,,δδ= B. ()()y x ab by ax ,1,δδ= C.()? ? ? ??=b y a x ab by ax , ,δδ D. ()??? ??=b y a x ab by ax ,1,δδ 3. 给出下式的傅立叶变换 (1) ??? ?≤≤-=others t t , 02 /12/1, 1)(rect [ )2/(sinc f ] (2) ?)2exp(0x f i π[ )(0f f -δ ] (3) =)})rect({rect(y x F ( ))s i n c (s i n c (Y X f f ) （4）{}= x f FT a π2cos ()()[]a x a x f f f f ++-δδ2 1 4. 傅立叶变换性质 如果)()}({f G x g =F ,则 (1) )}({ax g F =[ )/(1a f G a ] 相似性定理 (2) )}({a x g -F =[)(2f G e fa j π-] 傅里叶变换的位移定理 5. 已知)()()(x g x h x f =*，证明若其中一个函数发生x 0的位移，有 )()()(00x x g x h x x f -=*- （卷积的平移不变性） 证:
因为 ? ∞ ∞ --= *t t x h t f x h x f d )()()()( --3 所以 ) (' d )'()'(' d )'()'(d )()()()(000'000 x x g t t x x h t f t x t x h t f t t x h x t f x h x x f x t t -=--= --=--= *-? ? ? ∞ ∞ -∞∞ --=∞∞ - 应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =的傅立叶变换。 解： ()(){}(){}(){}()?? ? ??*= *=221 2sin sin 2sin sin ξξrect rect x c F x c F x c x c F 当2 123- <≤- ξ时， ()ξξξ+= = ?+ -2 11 2 32 1 du G 当2 12 1< ≤-ξ时， ()?+ - == 2 1 2 1121 ξξ ξdu G 当 2 32 1< ≤ξ时， ()ξξξ -= = ?-12 12 321 du G ()ξG 2的图形如图所示，由图可知， ??? ??∧-2/141ξ 1 -1 3/2 -3/2