11-对坐标的曲线积分共30页PPT资料

曲线积分

一． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） dsyxfL),(

引入：

开始接触这个概念对大家可能都很突兀，我们从直观上看它的形式，形式和定积分dxxf)(很像，Right？那它的物理意义和几何意义按照自然界对称的法则应该和定积分也是相似的咯-----我们如果把),(yxf看成是线密度函数的话，dsyxfL),(可以理解成为曲线形构件的质量咯(*^__^*) ，这当然是它的物理意义；几何意义呢？想想定积分，几何意义是曲边梯形的面积，那么对第一型曲线积分就是曲面的面积咯，沿着一段弧函数对它的曲线积分就是曲面的面积（PS：这个可以作为一种求曲面面积的求法，后面会有题目介绍）

想必通过上面形象的介绍，我们对第一型曲线积分有了一个初步的认识。现在来看看它的求法：dsyxfL),(这个式子我们唯一没见过的就是ds咯，在这里ds实际上就是弧长，所以第一型也就是对弧长的曲线积分。那么第一型的求法就等价于求ds，然后解个定积分就ok。根据高数上学过的微分三角形，如果曲线能够表示成参数方程x(t) y (t) (t)

那么显然dtttttfdsyxf)()()]( ),([),(22，于是就有dtttttfdsyxfL)()()]( ),([),(22，当然如果不用表示成参数方程，把x看为参数也可以。注意注意注意注意注意：

1.这里的定积分的下限一定要小于上限 原因在于弧长始终是正的，所以t>0,这样定积分的下限一定小于上限。当然曲线不仅仅是平面上的，三维空间里也可以，计算方法还是一样

的，即dtttttttfdszyxf)()()()](),(),([),,(222。

2. 若曲线封闭，积分号dsyxf),(

3. 若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但dsyxfL),(与L的方向无关

对坐标的曲线积分的计算方法格林公式计算法

格林公式计算法是一种用于计算曲线积分的一种快速有效的方法。它通过对多项式拟合曲线，并计算拟合出来曲线的数值积分来实现这一目的。

格林公式计算法是基于牛顿-拉夫逊求积公式的基础上改进而来。

它是在1812年由英国数学家哈里·格林发明的，此后经过不断完善和更新，现在已经成为科学界里被广泛使用的一种求积方法。

格林公式的主要思想是： 对于给定的一组点，先通过坐标点拟合出一组多项式函数，然后将该函数积分，得到拟合出来的曲线的数值积分。

格林公式的计算步骤如下：

1、确定曲线上的点；

2、拟合参数化函数；

3、求出拟合函数的数值积分；

4、利用牛顿-拉夫逊求积公式计算最终积分值；

5、根据积分值计算最终积分。

格林公式计算法在实际应用中有众多优势，如：

1、可以有效地计算曲线上点组成的函数的积分；

2、可以减少计算时间，所得结果也更加准确；

3、能够有效解决复杂曲线积分问题。

因此，格林公式计算法在科学界得到了广泛的应用，一般用于计算非线性曲线的积分，有效解决了计算复杂曲线积分的难题。

- - 第十一章 曲线积分与曲面积分

一 、内容提要

（一）曲线积分

1．第一类曲线积分（对弧长）

(1)定义：设),(yxf是光滑曲线L上的有界函数，把L分成n段，设i段的弧长为is（最长者记ismax），在其上任取一点),(ii，则),(yxf在L上的第一类（对弧长）曲线积分为

niiiiLsfdsyxf10),(lim),(.

(2) 几何意义与物理意义

几何意义是柱面面积，该柱面以L为准线、其母线平行于z轴、介于平面0z和曲面),(yxfz之间的部分（图10.1）.

物理意义是线密度为),(yxf的物质曲线L的质量.

(3)计算方法 ： 即“定限、代入”两步法

第一步（定限）：写出L的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 t，并且一定有.

第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds.将L的方程和ds一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式：

参数式 L：

,),(),(ttytx dsttds22))(())((

Ldtttttfdsyxf22))(())(())(),((),(；

直角坐标 把L：)()(bxaxy看做曲线参数表达式)(xyxx可以得到如下公式：

Lbadxxxxfdsyxf2))((1))(,(),(；

极坐标 L：,),(rrdrrds22))(()(，

Ldrrrrfdsyxf22))(()()sin)(,cos)((),(.

2．第二类曲线积分（对坐标）

（1）定义 ： 设),(yxP和),(yxQ是有向光滑曲线L上的有界函数，把L分成n段，设第i段的图10.1 - - 分点为),(iiiyxM，在弧 iiMM1上任取一点),(ii，设1iiixxx, 1iiiyyy，则

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曲线积分第10章

是定义在L上的向量场，那么根据曲线积分的定义和物理意义易知：

(,)d(,)d

LPxyxQxyy+∫()()

dcoscosd

LLPQsαβ

==++∫∫iFsijij

()

coscosd

LPQsαβ

=+∫

.

即

(,)d(,)d

LPxyxQxyy+∫()

coscosd

LPQsαβ

=+∫.

类似的，有

(,,)d(,,)d(,,)dPxyzxQxyzyRxyzz

Γ++∫()

coscoscosdPQRsαβγ

Γ=++∫

.

其中(,,)coscoscosxyzαβγ

=++ijkτ

是有向曲线Γ上点(,,)xyz处与Γ方向一致的单位切向量．

4．对坐标的曲线积分的性质

根据对坐标的曲线积分定义，容易推导出对坐标的曲线积分的如下性质．

性质1 设L由

1L和

2L两段光滑有向曲线组成（记为L=

12LL+），则

1212dddddd

LLLLPxQyPxQyPxQy

++=+++∫∫∫

.

性质2 设L是有向曲线弧段, L−是与L方向相反的有向曲线弧段，则

dddd

LLPxQyPxQy

−+=−+∫∫.

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算方法

定理10.2.1 设曲线L的参数方程为()

()xxt

yyt=

⎧

⎨

=

⎩，当参数t单调地从α

变到β

时，对应地点

(,)Mxy从L的起点A沿L移动到终点B，其中函数()xt,()yt在以α

和β

为端点的闭区间上具有一

阶连续导数，且22

()()0xtyt′′

+≠，若函数(,)Pxy,(,)Qxy在曲线L上连续，则曲线积分

(,)d(,)d

LPxyxQxyy+∫

存在，且

[][]{}

(,)d(,)d(),()()(),()()d

LPxyxQxyyPxtytxtQxtytyttβ

α′′

+=+∫∫

.

证 因为

(,)d(,)dd(,)d

LLLPxyxQxyyxys+==∫∫∫iiτ

FsF,

其中

(,)(,)PxyQxy=+Fij

，22

d()()dsxtytt′′

=+.

而曲线L上点(,)xy处与L方向一致的单位切向量