第1课时 一次函数的概念

一次函数 -一次函数的概念、图像、与基本性质（教案）

一、教学内容

本节课我们将探讨人教版八年级数学下册第十一章“一次函数”的第一节“一次函数的概念、图像与基本性质”。教学内容主要包括以下几部分：

1. 一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数。

2. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通过分析k、b的符号，判断直线的位置关系。

3. 一次函数的基本性质：

- 当k>0时，函数图像呈现上升趋势；

- 当k<0时，函数图像呈现下降趋势；

- 当b>0时，函数图像与y轴正向相交；

- 当b<0时，函数图像与y轴负向相交。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：

1. 理解能力：使学生理解一次函数的定义、图像及基本性质，能从数学角度描述一次函数的特点。

2. 推理能力：通过分析一次函数的k、b值，培养学生逻辑推理和数学论证的能力，提高解决问题的策略。

3. 实践应用能力：让学生学会在实际问题中运用一次函数模型，解决简单的线性问题，提高数学在实际生活中的应用。

4. 空间想象能力：通过绘制和分析一次函数图像，培养学生的空间想象力和几何直观。

5. 团队合作能力：在小组讨论和探究过程中，培养学生相互协作、共同解决问题的团队精神。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

（1）一次函数的定义：理解y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的形式，明确k、b的取值范围及其对函数图像的影响。

举例：解释为何k不能为0，当k为0时，函数退化为y=b，不再是线性关系。

（2）一次函数的图像：掌握一次函数图像的绘制方法，分析图像与系数k、b之间的关系。

举例：k>0时，图像呈现上升趋势；k<0时，图像呈现下降趋势。

（3）一次函数的基本性质：理解一次函数图像的斜率、截距等概念，并能够应用于实际问题。

举例：根据斜率和截距判断一次函数图像的位置关系。

2. 教学难点

一次函数知识点总结小学

一次函数是初中数学中的基础知识，也是后续学习二次函数、指数函数等更高级函数的重要基础。在小学阶段，我们也会开始接触一次函数的概念，虽然不会深入学习它的相关定理和公式，但是了解一些基本知识还是很有必要的。本文将对一次函数的相关概念、性质、图像以及实际应用进行总结，希望能够帮助小学生更好地理解一次函数。

一、一次函数的基本概念

1. 一次函数的定义

一次函数是指函数 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是常数且 a ≠ 0。其中 x 是自变量，f(x) 是因变量，a 是斜率，b 是截距。一次函数描述了一条直线的特性，因此也称为线性函数。

2. 一次函数的定义域和值域

一次函数的定义域是所有使得 f(x) 有意义的 x 的取值范围，通常是实数集 R。而一次函数的值域是所有可能的函数值所组成的集合，通常也是实数集 R。

3. 一次函数的斜率和截距

在一次函数 f(x) = ax + b 中，a 表示斜率，代表了函数曲线上的一点对应的斜率，反映了函数曲线的倾斜程度；b 表示截距，代表了函数曲线与 y 轴的交点的纵坐标，反映了函数曲线的位置。

二、一次函数的性质

1. 斜率的性质

斜率代表了函数曲线的倾斜程度，其性质如下：

（1）当 a > 0 时，函数曲线向右上倾斜，当 a < 0 时，函数曲线向右下倾斜；

（2）斜率的绝对值表示了函数曲线的倾斜程度，绝对值越大，倾斜程度越大；

（3）当 a = 0 时，函数曲线平行于 x 轴，斜率为零。

2. 截距的性质

截距代表了函数曲线与 y 轴的交点的纵坐标，其性质如下：

（1）当 b > 0 时，函数曲线与 y 轴的交点在原点的上方，当 b < 0 时，函数曲线与 y 轴的交点在原点的下方；

（2）截距的绝对值表示了函数曲线与 y 轴的距离，绝对值越大，距离越远；

（3）当 b = 0 时，函数曲线经过原点。 3. 函数图像的性质

19.2.2一次函数

第1课时一次函数的概念教学设计

课题一次函数的概念授课人

素养目标1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式．2．能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系．3．会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题.教学重点一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式．教学难点从实际生活问题中建立一次函数模型.教学活动教学步骤师生活动

活动一：设置情境，导入新课设计意图结合实例，吸引学生注意力，为学习新知识做好铺垫.【情境导入】(教材P89问题2)某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系．这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？

答：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.这个函数不是正比例函数．它与正比例函数形式不同．这节课我们将学习探究这种函数.【教学建议】教师带领学生共同探讨得到的实际问题的函数解析式，比较该函数与正比例函数的异同.

活动二：问题引入，自主探究设计意图从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念.探究点一次函数的概念阅读教材P90思考，回答其问题．答：4个问题中，变量之间的对应关系都是函数关系．这些问题的函数解析式分别为：(1)c＝7t－35(20≤t≤25)；(2)m＝h－105；(3)y＝0.1x＋22;(4)y＝－5x＋50(0≤x＜10)．正如活动一中的函数y＝－6x＋5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式．概念引入：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．提问：当b＝0时，y＝kx＋b是我们之前学习过的哪种函数？答：当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．【教学建议】学生分组讨论写出函数解析式，找出此类函数解析式的共同特征，由教师总结出一次函数的概念．要特别强调：①自变量系数不为0(k≠0)；②变量y与x的次数均为1.教学步骤师生活动归纳总结：正比例函数与一次函数的区别与联系可用图表表示如下：

19.2.2 一次函数

青海一中 李清

第1课时 一次函数的概念

【知识与技能】

1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系.

2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的问题.

【过程与方法】

在探究过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系.

【情感态度】

经历利用一次函数解决实际问题的过程，逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.

【教学重点】

1.一次函数的概念.

2.根据已知信息写出一次函数的表达式.

【教学难点】

理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.

一、情境导入，初步认识

引导学生一起回忆函数、正比例函数的概念和两者间的关系.

问题某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系.

【分析】 y随x的变化规律是，从大本营向上海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃，因此y与x的函数关系为y=5-6x，变形可写成y=-6x+5.

【教学说明】找出y与x的关系式后，引导学生观察这个函数式是不是正比例函数，它的形式与正比例函数解析式有什么异同？由学生共同讨论.

二、思考探究，获取新知

学生思考下列问题，写出对应的函数解析式： （1）有人发现，在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（单位：℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差.

（2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，h再减常数105，所得的差是G的值.

（3）把一个长10cm，宽5cm的长方形的长减小xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化.

【答案】（1）C=7t-35；（2）G=h-105；（3）y=-5x+50.

【教学说明】让学生观察所写解析式的特点，并让学生认识到：各小题表示变量的字母虽然不同，但结构相同.变量间对应关系反映出了一种函数形式，与所取符号无关，找出这些式子的共同点，才能概括出一般规律.