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必修一《1.1.1集合的含义与表示》教学案教学目的：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.教学重难点：1、元素与集合间的关系2、集合的表示法教学过程：一、集合的概念实例引入：⑴1~20以内的所有质数；⑵我国从2001~2013的13年内所发射的所有人造卫星；⑶金星汽车厂2013年生产的所有汽车；⑷2014年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；⑸所有的正方形；⑹2014年9月入学的高一学生全体.结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.二、集合元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习：判断下列各组对象能否构成一个集合⑴2，3，4⑵ (2，3)，(3，4) ⑶三角形⑷2，4，6，8，…⑸1，2，(1，2)，{1，2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解三、集合相等构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等四、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：∈（1）如果a是集合A和元素，就说a属于A，记作a A∉（2）如果a不是集合A和元素，就说a不属于A，记作a A五、常用数集及其记法非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.练习：(1)已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是( )A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形(2)说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？六、集合的表示方式(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.(具体方法)例1、用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内的所有质数组成.例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)由大于10小于20的的所有整数组成的集合；(2)方程x2-2=2的所有实数根组成的集合.注意：(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略七、小结集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.。
§1.1 集合的含义和表示———教学设计教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）∈6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。
○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。
（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。
（2）我国的小河流。
2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。
（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。
1．1 集合的含义及其表示 第2课时【学习目标】1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用； 3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课前导学】 一、复习回顾： 1、 集合的概念描述：1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。
2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性． 3）如果a 是集合A 的元素，记作___a A ∈_____． 4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 . 2、 常用数集的符号：自然数集__N____；正整数集__N *____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___． 二、思考题：集合A 中的元素由(a ∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？ （1）0 （2（3分析：先把x 写成的形式，再观察a ，b 是否为整数. 【解】（1）因为2000⋅+=，所以A ∈0； （2）因为211121⋅+=-，所以A ∈-121；（3）因为,213231+=-Z ∉3， 所以Z ∉-231 .点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.三、问题情境观察下列对象能否构成集合 （1）满足x －3＞2的全体实数； （2）本班的全体男生； （3）我国的四大发明；（4）2008年北京奥运会中的球类项目； （5）不等式2x +3 < 9的自然数解； （6）所有的直角三角形；如果能够，那么这些集合又如何来表示？【课堂活动】 一、建构数学：1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.思考：用列举法表示下列对象构成集合： （6）所有的直角三角形. 【提醒】(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A 中的元素都是B 中的元素，B 中的元素也都是A 中的元素），则称这两个集合相等.（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素. （3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .2、描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式. 如：{x|x 为中国直辖市}，{x|x 为young 中的字母} .所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x 是直角三角形}等.（1）满足x －3＞2的全体实数； （2）本班的全体男生； （3）我国的四大发明；（4）2008年北京奥运会中的球类项目； （5）不等式2x +3 < 9的自然数解；3、Venn 图法：用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x 为young 中的字母}.【思考】何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.如 ：集合{ 3，7，8 }.(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法. 如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x 为1000以内的质数}. 4、 集合相等：如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ . 二、应用数学：例1 用列举法表示下列集合： ①{x ∈N|x 是15的约数}； ②{x|x=(1)n- ,n ∈N} ； ③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；解：①{}1,3,5,15； ②{}1,1-；③{}(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) .例2 用描述法表示下列集合： ①{1，4，7，10，13}； ②奇数的集合.解：①}{321,2,3,4,5n n -=； ②}{21,x x n n N +=-∈. 例3 用适当的方法表示下列集合： 1） 方程x 2-2x -3=0的解集； 2） 不等式2x -3>5的解集；3） 方程组x 13y x y +=⎧⎨-=⎩的解集.解：（1）{}2x |x -2x-3=0； （2）{}|2x-3>5x ；（3）{}(2,1)- .【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！ 例4 已知61M x NZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭,求集合M . 解：{}0,1,2,5M = . 【变式】已知61M Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭,求集合M. 解：M ={}6,3,2,1 .【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别. 例5 若{}220102010,,1,,0,a b a a a b b a ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭求的值. 【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a . 解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a ， 因此a 2=1 1a ∴=±有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去. 故a= -1 .【解后反思】特殊元素优先原则. 例6 已知A={x|a 2x +2x +1=0},（1） 若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合； （2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围. 解：（1）由题意知，A 中有且只有一个元素，当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，符合题意；当a ≠0时，对应方程a 2x +2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意. 综上所述，a 的取值集合为{}0,1；（2） 由（1）知，a = 0或1时， A 中有且只有一个元素，符合题意； 当对应方程a 2x +2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=∅，符合题意； 综上所述，a = 0或a ≥1 . 【解后反思】1、注意分类讨论；2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.三、理解数学：1、用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合.解：（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}.2、用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合.-12-11oyx【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；（2）{x|x≤2且x≠0 }；（3）∅；（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；（5）{(x,y)|0201xy≤≤⎧⎨≤≤⎩或0201xy≤≤⎧⎨≤≤⎩.3、已知A=6|,3x N xx⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭,试用列举法表示集合A.【答案】A=｛－3,0,1,2｝.【课后提升】1.下列集合表示法错误的是（1）（2）（4）（6） .（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；(6) 方程组31420x yx y+=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}.2.用列举法表示下列集合：①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;②(){}{}{}1212x y x y∈∈,|,,,=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为｛0,1,2,3｝ ;④｛数字和为5的两位数｝=_｛14,23,32,41,50｝__;⑤{}3216(,)|,,x y x y x N y N+=∈∈=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．解：分两种情况讨论：①221001a a a ab bb b⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a2+b2=2；②220101a b a ab bb a⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或这与集合的性质矛盾，∴1+a2+b2=2 .。
第一章 集合与函数概念1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；（2）初步了解“属于”关系的意义；（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；教学重点：集合的含义与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
教学过程：一、问题引入：我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学；省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。
分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。
二、建构数学：1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。
2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念：5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
第1课时集合的含义与表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集. （2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}. 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |∈N}；（2）B = {∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = –x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.∴A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴C = {2，5，6}.（4）点 {x，y}满足条件y = –x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：∴D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则x要满足条件x =，∴E = {0，，，，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a –1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.。
§集合的含义与表示一、教学目标：l. 知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素确实定性、互异性、无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观(1)培养学生抽象概括的能力.(2)使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰中选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完本钱节课的教学目标.2. 教学用具：多媒体.四. 教学情境设计(一)创设情境，揭示课题1．教师首先提出问题：在，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.〔二〕研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：(1)1—20以内的所有素数；注释：质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数〔1和自己〕的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
(2)我国古代的四大创造；〔指南针、造纸术、火药、印刷术〕(3)所有的安理会常任理事国；注释：联合国是一个由主权国家组成的国际组织。
在1945年10月24日在美国加州旧金山签定生效的《联合国宪章》标志着联合国正式成立。
在第二次世界大战前，存在着一个类似于联合国的组织国际联盟，通常可以认为是联合国的前身。
联合国对所有接受《联合国宪章》的义务以及履行这些义务的“热爱和平的国家〞开放。
到20xx年为止，联合国共有192个成员国。
“1_示范教案（1_1集合的含义与表示）”一、教学目标：1. 理解集合的含义，掌握集合的表示方法。
2. 能够运用集合的概念解决实际问题。
二、教学内容：1. 集合的含义2. 集合的表示方法：列举法、描述法三、教学重点与难点：1. 教学重点：集合的含义，集合的表示方法。
2. 教学难点：集合的表示方法的应用。
四、教学方法：1. 采用问题导入法，引导学生思考集合的概念。
2. 通过实例讲解，让学生掌握集合的表示方法。
3. 运用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过提问，引导学生回顾已学的数学概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解集合的含义：讲解集合的定义，让学生理解集合是一种数学概念，用于表示一些确定的对象的全体。
3. 讲解集合的表示方法：3.1 列举法：通过列举集合中的所有元素，表示该集合。
3.2 描述法：通过描述集合中元素的属性，表示该集合。
4. 实例分析：运用集合的表示方法解决实际问题，巩固所学知识。
5. 课堂练习：布置一些有关集合表示的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
7. 课后作业：布置一些有关集合表示的作业题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步的教学做好准备。
六、教学评价：1. 评价学生对集合概念的理解程度。
2. 评价学生对集合表示方法的掌握情况。
3. 评价学生在解决实际问题中运用集合概念的能力。
七、教学资源：1. 教学PPT：包含集合的概念、表示方法及实例分析。
2. 练习题：包括选择题、填空题和应用题。
3. 小组讨论工具：如白板、便签纸等。
八、教学进度安排：1. 第1-2周：讲解集合的概念和表示方法。
2. 第3-4周：通过实例分析，让学生运用集合表示方法解决实际问题。
3. 第5-6周：进行课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
九、教学反思：1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，了解学生的学习情况。
2. 对教学方法和教学内容进行调整，以提高教学效果。
第一课时集合－集合的概念教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集习数学就离不开对造福人类年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）元素对于集合的隶属关系（4）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写a 不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A 互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）2、集合的表示方法：（1）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。
如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为{1，2，3，……，10000}；③三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为{0，1，2，3，4，……}，称端省略列举。
⑵描述法它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有”、“全部”的意义，故类似的量词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成{自然数}而不写成{全体自然数}：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种表示方法，其格式一般为{元素的一般形式|元素的特征}，如：{(x,y)|y=x 2,x ∈R}={抛物线y=x 2上的点}，而{y|y=x 2,x ∈R}表示函y=x 2的y 的取值范围；方程x 2-1=0的解集为{x|x 2-1=0}={-1,1},不是{x 2-1=0}（它仅仅是用列举法表示的一个集合，这个集合中只有一个元素，就是方程x 2-1=0,不是它解的集合。
（3）图示法一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如{（x,y ）|y=x 2 };三是Venn 图，即画个圆圈表示集合（有的书上称文氏兔、文斯图）；（4）符号表示法分为简记符号法及区间表示法：常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R不含任何元素的集合称空集，符号为∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3，集合的分类：按元素的个数分作⎩⎨⎧无限个）无限集（元素的个数有限个，含有空集）有限集（元素的个数有三、练习题：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x 1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a bb a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a bb a a --+-不一定属于集合G四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：确定性，互异性，无序性2．集合的表示⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧符号表示法图示法描述法列举法五、课后作业：教材P7____1~5第二课时集合表示法的转换教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）2、集合的表示方法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧及空集）符号表示法（常用数集图表示）坐标、图示法（含数轴、直角特征描述）描述法（含文字描述及列举）中间省略列举、端省略列举法（含全部列举、Venn二，新课2，同一集合不同的表示方法是相同的，具体解题时，这些表示方法中，将难于看出元素是什么的转化为能够看出的，这样有：图示法直观化符号表示法属性描述法文字描述法具体化列举法简单化熟悉化↓−−→−−−−←↑数学解题的关键也是这“四化”3，典型例题例1、已知集合A={a-2,2a 2+5a,10},且-3∈A,求a解：a-2=-3或2a 2+5a=-3 故a=-1或a=-3/2当a=-1时，2a 2+5a=a-2=-3与集合的互异性矛盾，舍去当a=-3/2时，满足条件 总之，a=-3/2[说明]由于解题过程中用到了不等价变形，所以要进行检验例2、已知集合{1,a,b}={a,a 2,ab},求实数a,b解[方法一]⎩⎨⎧=-⇔==++-⇔+=+0)1(.10)1)(1(1322b a ab a b b a a ab a b 因a ≠1故a=-1,b=0 [方法二]由已知⎩⎨⎧==b ab a 12或⎩⎨⎧==12ab b a ∵a ≠1 ∴a=-1,b=0 练习：{m,m+d,m+2d}={m,mq,mq 2},求q （答案：q=-1/2）例3，已知集合A={x|(a 2-1)x 2+(a+1)x+1=0,x ∈R }中仅有一个元素，求实数a 的值解：本题分两类进行⑴当a 2-1=0时,a=1或a=-1;当a=1时，A={x|2x+1=0}={-1/2},满足条件；当a=-1时,A=∅，舍去。
⑵当a 2-1≠0时,a ≠1且a ≠-1，△=0，a=5/3总之，a=5/3或1例4，已知S 是满足下列两个条件的实数构成的集合：①1∈S;②若a ∈S ，则a -11∈S. 请回答下列问题⑴若2∈S,求证S 必有另外两个数；⑵求证，若a ∈S ，则1-a1∈S ； ⑶S 中元素能否只有一个？说明理由；⑷求证：S 中至少有三个不同的元素解⑴2∈S ⇒211-=-1∈S ⇒)1(11--=1/2∈S ⇒2111-=2∈S,S 中必有另外两个数-1，1/2⑵证明：a ∈S ⇒ a -11∈S ⇒a --1111=a a 1-=1-a1∈S ⑶假设S 中元素只有一个，则a-11=a,a 2-a+1=0有实数解，与a 2-a+1=0没有实数解矛盾，故S 中的元不能只有一个⑷由⑵S 中，至少有a,a -11,1-a 1三个不同的元，只要证明三者两两不等。
