1 第1课时 集合的概念

第一章集合与函数概念1.1 集合第一课时集合的含义与表示一、元素与集合1.定义：(1)元素：一般地，把所研究的____统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示.(2)集合：一些元素组成的总体，简称为__，常用大写拉丁字母A,B,C，…表示.2.集合相等：指构成两个集合的元素是____的.*对集合相关概念的理解(1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体.(2)元素：集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素(3)整体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而并非个别对象.3.集合中元素的特性：______、______和_______.确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．说明：(1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立.(2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系.4.元素与集合之间的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A【跟踪】(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( )(2)漂亮的花组成集合.( )(3)本班所有的姓氏组成集合.( )(4)由3个不同的元素进行排序可以构成6个不同的集合.( )二、常用的数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集：N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R例1：1.下列说法中正确的序号是 .①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；②中国海洋大学2013级大一新生组成一个集合；③参加2012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合；④未来世界的高科技产品组成一个集合.2.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)1,0.5，31,52组成的集合含有四个元素.(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素.(3)组成单词china的字母组成一个集合.【变式训练】1.下列对象能组成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好音乐的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程2.指出下列集合中的元素：(1)young中的字母组成的集合.(2)book中的字母组成的集合. 例2.元素与集合的关系1.下列所给关系中正确的个数是( )①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A.1B.2C.3D.42.设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)_________P(填“∈”或“∉”).【变式训练】A中的元素集合A是由形如m∈Z，n∈Z)例3.集合中元素互异性的简单应用1.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可2.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，则a＝_____________.【变式训练】1.由a2,2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A.1B.-2C.6D.22.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对3.集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实数x的值为( )A.0B.1C.-1D.1或-1课堂练习：1.下列各组对象中不能组成集合的是( )A.某科教文化股份有限公司的全体员工B.文化书店的所有书刊C.2013年考入清华大学的全体学生D.美国NBA的篮球明星2.设集合A只含一个元素a，则下列表示正确的是( )A.{a}≠AB.a∉AC.a∈AD.a＝A3.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.44.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳_____A，广州_____A (填“∈”或“∉”).5.由实数x，－x所组成的集合中元素最多有 ________个．6.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.第2课时集合的表示集合的常用表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

第一课时集合－集合的概念教学目的：〔1〕使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法〔2〕使学生初步了解“属于〞关系的意义〔3〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数已证明的一个结果可以说明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家X维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于X维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集〞这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔〔德国数学家〕〔见附录〕；4．“物以类聚〞，“人以群分〞；5．教材中例子〔P4〕二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：〔1〕有那些概念？是如何定义的？〔2〕有那些符号？是如何表示的？〔3〕集合中元素的特性是什么？〔一〕集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念〔1〕集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合〔简称集〕〔2〕元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素〔3〕元素对于集合的隶属关系〔4〕集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……“∈〞的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写不在时称，不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕2、集合的表示方法：〔1〕列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。

1.1集合与集合的表示方法第一课时集合的概念使用说明与学法指导1、用20分钟左右的时间，阅读探究课本P2~P3的内容，熟记基础知识。

自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。

2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。

3、将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处Ⅰ相关知识我们已经学过的数有哪些？学习建议：同学们回忆初中的上述问题并作出回答。

Ⅱ教材助读1、如何理解集合的概念？2、如何判断所给对象是否构成集合？3、元素与集合有什么关系？4、集合中元素的特征性质有哪些？5、常用数集及符号有哪些？Ⅲ预习自测学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”。

1、 下面给出的四类对象中，能组成集合的是（ ） A 、高一某班个子较高的同学 B 、比较著名的数学家 C 、不大于10的自然数D 、无限接近于4的实数2、下列各组对象不能组成集合的是（ ） A 、所有正三角形 B 、所有15的正约数 C 、所有数学难题 D 、无限无理数3、用符号∈∉“”或“”填空（1）π Q ； （2）210x -=的根 R ； （3）0 N +；（4）0 ∅； （5）12Z （64、方程2(1)(2)(21)0x x x -+-=的解组成的集合中元素的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4Ⅳ我的疑问请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。

分享日志1.1集合与集合的表示方法第一课时集合的概念Ⅰ：学始于疑——我思考、我收获1、元素a与集合{a}的区别是什么？2、{0}与Φ的区别是什么？学习建议：请同学们用3分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑问开始下面的探究学习。

Ⅱ：质疑探究：质疑解疑合作探究一：基础知识探究探究点一：集合的有关概念请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案。

1、集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的________叫做集合。

第1课时集合的概念［A 基础达标］1．现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：选D。

在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误;在②中,正方体的全体能构成一个集合，故②正确;在③中,未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系:①错误!∈R；②错误!∈Q；③－3∉Z；④－错误!∉N，其中正确的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.错误!是实数,①正确；错误!是无理数，②错误;－3是整数,③错误;－错误!是无理数,④正确．故选B。

3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为( ）A．－5 B．－4C．4 D．5解析：选A。

因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5。

4．设集合M是由不小于2错误!的数组成的集合，a＝错误!,则下列关系中正确的是（)A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M解析:选B。

因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝错误!，所以a不是集合M中的元素,故a∉M.5．由实数x,－x,|x｜，错误!,－错误!所组成的集合，最多含有（) A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析：选A。

错误!＝|x|，－错误!＝－x.当x＝0时,它们均为0；当x>0时,它们分别为x,－x，x,x，－x；当x〈0时，它们分别为x，－x,－x，－x,－x。

通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法：①集合N与集合N＊是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集,R表示实数集，所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A,ab________A．(填“∈"或“∉”)解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈8．若a，b∈R,且a≠0，b≠0,则错误!＋错误!的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a〉0且b>0时，错误!＋错误!＝2；当a·b<0时,错误!＋错误!＝0；当a<0且b<0时，错误!＋错误!＝－2。

第一课时集合的概念及其表示方法教学目标：I．知识与技能：（1）通过实例，了解集合的含义。

（2）理解集合的确定性，互异性和无序性。

（3）体会元素与集合的“属于”关系。

II．过程与方法：通过讲练结合让学生在实践中突破重点和难点，让学生从现实意义上理解集合的作用。

III．情感态度与价值观：让学生重新审视数学的意义，进入高中阶段的数学思维中，并初步理解集合论的概念。

重点与难点：I．重点：（1）理解集合的性质与分类。

（2）辨别集合与元素之间的关系。

（3）了解特殊集合（4）列举法表示集合。

（5）描述法表示集合。

（6）图示法思维方式。

II．难点：（1）集合与不等式知识点的混合题型。

（2）∅与{}∅不同，∅∈{}∅（3）无限集的描述。

（4）Venn图读图。

教学过程：I．复习引入：（1）回顾数学学习的历程：从数域拓展到算法拓展。

（2）自行定义范围——引入集合概念。

II．集合元素的性质：（1）集合的定义。

一般地，研究对象统称为元素（element），我们通常用小写的拉丁字母a，b，c，d，……表示，这些元素组成的总体叫集合（set），也简称集，通常用大些的拉丁字母A，B，C，D，……表示。

（2）确定性。

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（3）互异性。

任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

（4）无序性。

集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

例1、判断下列一组对象是否属于一个集合（1）小于10的质数是（2）中国的小河流否（3）“maths”中的字母是（4）所有的偶数是 （5）满足3x-2>x+3的全体实数是 （6）方程210x x ++=的实数解 是III ． 集合的分类：（1）按元素类型分——数集，点集，直线集……（2）按元素个数分——有限集，无限集，空集。

1．1 集合的概念最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．知识点一 集合的概念1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合． 3．集合中元素的特征 特征 含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现 无序性集合中的元素无先后顺序之分4.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示表示⎩⎪⎨⎪⎧元素：通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.集合：通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示.2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 示例a 属于集合A a 是集合 A 中的元素 a ∈A若A 表示由“世界四大洋”组成的集合，则太解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案：D3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.答案：B4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．答案：{1,3}题型一集合的概念[经典例题]例1下列对象能构成集合的是()A.高一年级全体较胖的学生B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.【答案】 D述法表示为B ＝{x ∈Z |10<x <20}．大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B ＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．教材反思本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．解析：(1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}．(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，方法归纳选用列举法或描述法的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.课时作业 1一、选择题1．已知集合A 中元素x 满足－5≤x ≤5，且x ∈N *，则必有( )A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．1∈A解析：x ∈N *，且－5≤x ≤5，所以x ＝1,2.所以1∈A . 答案：D2．将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝52x －y ＝1用列举法表示，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)解析：解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}． 答案：B3．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，a数a的值．解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．[尖子生题库]10．下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解析：(1)它们是不相同的集合．(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图象知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．。