湖北省武汉市2015届高中毕业班二月调研考试数学(文)试题

武汉市2015届高中毕业生二月调研测试语文试卷参考答案与评分说明1.C（C组均读zhuàn；A组“樵”“翘”读qiáo，其余读qiǎo；B组“厘”“蠡”读lí，“俚”读lǐ，“旎”读nǐ；D组“驯”读xùn，其余读xún）2.A（B组“绊脚石”，C组“沉湎”，D组“一诺千金”）3.B（一脉相承：由一个血统或一个派别传下来；如出一辙：形容事情非常相像。

联系下文“这一构想又充分体现了时代的特点”，应选“一脉相承”。

契合：符合；聚合：聚集到一起。

此处选“契合”。

“倏忽”、“忽而”均含有“忽然”之意，但前者强调“很快地”，后者多同．时．用在意义相对或相近的动词、形容词之前，故选“倏忽”。

恣意：任意，任性；惬意：满意，舒心。

因前一句强调的是生命力“顽强”，宜选“恣意”）4.C（A项“看到有……铃声”搭配不当；B项不合逻辑，“微米级的产品”比“茶杯、拉链、汽车模型等”更小；D项语序不当，“父亲一方面”应改为“一方面，父亲……”）5.B（黛玉性格极度敏感自尊，不可能对这些“冷遇”不介意。

“送花”“敲门”分别见原著第7回、第26回，周瑞家的、晴雯均非故意，都是误会）6.B（B项与“伟大思想”“长期思考”扣合不紧）7.D（A项，原文第2段“哲学家们的沉思有时．．看起来滑稽可笑”。

B项，原文“如果……那么……”是一种假设，不宜理解为事实；作者认为哲学应该“对实证科学的惊奇．．再表示惊奇．．”。

C项，原文“解决或超越这一悖论都是不可能的，我们只能自觉地顺应这一悖论”）8.（1）认识论上的困惑（2）方法论上的困惑（3）语言表达上的困惑（每点1分，意思对即可）9.D（会：适逢，恰逢）10.D（①句是谭忠在魏镇了解到的情况；②句是假设的结果；⑥句是陈述已有的事实）11.B（“从全国各地征调军队”错，参见原文“中黄门出禁兵伐赵”“不输天下之甲而多出禁甲”）12.（1）赵镇的人如果成为俘虏，（我们）魏镇的人也会成为俘虏，打算（考虑）怎么应对这件事呢？（译出句子大意给1分，“诚”、“为之何”两处，每译对一处给1分）（2）您如果能送给魏镇一座城池，魏镇能够拿此城向皇上报捷，把这座城池作为报捷的凭据。

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷参考答案及评分标准填空题：12. 313. 10714. 1013解答题：15.（13分）解：（1）由题意，1223111111...12n n n a a a a a a a +++++=−，1223112211111...12n n n n n a a a a a a a a a ++++++++=−.两式相减得：12121111()2n n n n a a a a ++++=−， 化简得：212n n a a ++−=.即数列{}n a 是从第2项起公差为2的等差数列.若数列{}n a 是等差数列，则满足212a a −=.令1n =，有1221112a a a =−，即21112a a =+.所以111122a a +=+，解得12a =−或112a =. 由2120a a =+≠，所以112a =. …………7分（2）211132a a =+=−.由（1），数列{}n a 是从第2项起公差为2的等差数列.所以2n ≥时，22(2)27n a a n n =+−=−. 此时，21231(1)()(1)(327)2(...)272n n n n a a n n S a a a a a −+−−+−=++++=+=−+.整理得：23367n S n n =−+(2)n ≥.又1127S a ==−也满足上式，所以，23367n S n n =−+.…………13分16.（15分）解：（1）取PE 中点G ，连接,DG FG .由DA DB ==2AB =，有DAB ∆是等腰直角三角形. 此时1DE =，又1PD =，所以PE DG ⊥. 因为PA PB =，所以PE AB ⊥. 由FG ∥EB ，所以PE FG ⊥.此时，CD ∥AB ∥FG ，有,,,C D G F 四点共面，FG DG G =，直线PE ⊥平面CDGF . 由CF ⊂平面CDGF ，所以CF PE ⊥. …………7分 （2）由AB PE ⊥，AB DE ⊥，且PE DE E =，所以直线AB ⊥平面PDE由1PE DE PD ===，所以PDE ∆是等边三角形.以E 为原点，,EB ED 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.1(0,2P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C, 11(,24F1(0,2DP =−，(1,1,0)DB =−，设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，由00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1020y z x y ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量(3,3,1)n =.又33(,,24FC =.设直线CF 与平面PBD 所成角的大小为θ，则||2sin |cos ,|||||7n FC n FC n FC θ⋅=<>===⋅. 所以直线CF 与平面PBD . …………15分…………8分所以预测2024年2月份该公司的直播销售金额为219.4万元. …………15分18.（17分）解：（1）设双曲线的半焦距为c ，则右准线的方程为2:a l x c=. 由题意，2232a b c c c −==. 在方程22221y x a b−=中，令x c =，解得：2b y a =±，所以226b a =. 联立解得：221,3a b ==.所以双曲线E 的标准方程为：2213y x −=. …………5分（2）当直线AB 与x 轴不重合时，设其方程为2x my =+.与双曲线方程联立：22132y x x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，22(31)1290m y my −++=.设1122(,),(,)A x y B x y ，有1221221231931my y m y y m −⎧+=⎪−⎨⎪=−⎩.直线1AF 的方程为：11(2)2y y x x =++.令12x =，得到P 点坐标1151(,)22(2)y x +.所以直线PB 的方程为：12222151()()()()22(2)y x y y y x x x −−=−−+.令0y =，得到直线PB 与x 轴交点的横坐标：2212212211212211()52252542(2)y x x y x y y x x y x y y y y x −−+=−=−+−+122121212(2)5(2)22(2)54my y my y y my y y y +−++=+−+ 1212121221212121224104410()1425825()13my y y y my y y y y my y y y my y y y y −−+−−++==−+−++222222223612014(31)8414(31)1413186013(31)7813(31)m m m y m m y m m m y m m y −++−+−===++−+−. 所以直线PB 过点14(,0)13.当直线AB 与x 轴重合时，直线PB 也与x 轴重合，也过点14(,0)13. 综上所述，直线PB 过定点14(,0)13. …………17分19.（17分）解：（1）2(1)1'()x x e f x x −+=.'(1)1f =，(1)1f e =−. 故切线方程为：2y x e =+−. …………3分（2）()f x 定义域为(,0)(0,)−∞+∞.令()(1)1x g x x e =−+，则'()x g x xe =，令'()0g x =，得0x =.当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，所以'()0f x >，()f x 单调递增； 当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=，所以'()0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在(,0)−∞和(0,)+∞上都是增函数.令()1xx e x ϕ=−−，'()1x x e ϕ=−，令'()0x ϕ=，得0x =.当0x <时，'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减；当0x >时，'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增.0x <时，()(0)0x ϕϕ>=，10xe x −−>，所以1()1x ef x x −=<.0x >时，()(0)0x ϕϕ>=，10xe x −−>，所以1()1x ef x x−=>.综上所述，()f x 是定义域(,0)(0,)−∞+∞上的增函数.…………8分（3）由（2）可知，0x <时，()1f x <，所以1xa <，故1a >. 记ka e =，其中0k >.令(1)()k x kx F x e e x −−=−−.由题意，0x <时，()0F x <；0x >时，()0F x >.若1k ≥，则当1x >时，(1)()10k x kx kx F x e e x e x −−−=−−≤−−<，不满足条件. 所以01k <<.(1)'()(1)1k x kx F x k e ke −−=−+−.令()'()G x F x =，2(1)222'()(1)[(1)]k x kx kx x G x k e k e e k e k −−−=−−=−−. 令'()0G x =，得2ln 1k x k=−.'()F x 在(,2ln )1k k−∞−单调递减，在(2ln ,)1k k +∞−单调递增.若2ln 01k k<−，则当2ln 01k x k <<−时，'()'(0)0F x F <=，()F x 单调递减，此时()(0)0F x F >=，不满足题意；若2ln01k k >−，则当02ln 1k x k <<−时，'()'(0)0F x F <=，()F x 单调递减，此时()(0)0F x F <=，不满足题意；若2ln01k k=−，则0x <时，'()'(0)0F x F >=，()F x 单调增，()(0)0F x F <=，且0x >时，'()'(0)0F x F >=，()F x 单调增，()(0)0F x F >=，满足题意.所以2ln01k k =−，解得：12k =.综上所述：a = …………17分。

湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅3．（5分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A．a=1 B．a＞1 C．a≥1D．a≥04．（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π5．（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1 C．﹣1 D．2﹣7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）A．B．C．D．或10．（5分）已知点P为曲线xy﹣x﹣2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．12．（5分）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为．13．（5分）已知向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），若存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，则实数λ为．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则⊙O的半径R=．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．（12分）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1 18．且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是△A1B1C1的中心O．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．20．（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．21．（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求四边形ABF2F1的面积．22．（14分）已知e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）求证ln2＞；（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：复数﹣==﹣1+i的共轭复数为﹣1﹣i，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可．解答：解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}，∴A=（0，+∞）∵B={y|y=（）x，x＞1}，∴B=（0，）∴A∩B=（0，）故选A．点评：本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域．3．（5分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A．a=1 B．a＞1 C．a≥1D．a≥0考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，解参数即可．解答：解：∵函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，∴ax﹣2≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≥在[2，+∞）恒成立，∵0＜≤1，∴a≥1，故选：C．点评：本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的定义域是解决本题的关键．4．（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥被轴截面截去一半所剩的几何体，结合数据求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．5．（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有有2件次品，7件正品；则第二次抽到正品的概率为P=．故选：B．点评：本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制．6．（5分）dx=（）A．2（﹣1）B．+1 C．﹣1 D．2﹣考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：∵==cosx﹣sinx，∴dx=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=+﹣0﹣1=﹣1故选：C点评：本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断．解答：解：A不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n⊂α；D正确，由m∥n，m⊥a得n⊥α，因n⊥β，得α∥β故选D．点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感．8．（5分）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．解答：解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则有•=•+•=+=﹣（m2﹣4n2）=﹣×4=﹣．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）A．B．C．D．或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵在△ABC中，b2+a2=c2+ab，即b2+a2﹣c2=ab，∴cosC==，则C=，故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知点P为曲线xy﹣x﹣2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）A．B．C．D．考点：两点间的距离公式；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据两点间的距离公式，利用配方法进行转化即可得到结论．解答：解：设P（x，y），则|OP|===≥，当且仅当，即取等号，故|OP|的最小值是，故选：A．点评：本题主要考查两点间的距离的求解，利用配方法将式子进行配方是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．12．（5分）（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为﹣75．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：把（1﹣x）10按照二项式定理展开，可得（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数．解答：解：（1+x）（1﹣x）10=（1+x）（1﹣•x+•x2﹣•x3+…+•x10），故（1+x）（1﹣x）10展开式中x3的系数为﹣+=﹣75，故答案为：﹣75．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．（5分）已知向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），若存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，则实数λ为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直关系可得（﹣λ）•=0，由坐标运算可得λ的方程，解方程可得．解答：解：∵向量=（2，﹣7），=（﹣2，﹣4），∴﹣λ=（2+2λ，﹣7+4λ），∵存在实数λ，使得（﹣λ）⊥，∴（﹣λ）•=﹣2（2+2λ）﹣4（﹣7+4λ）=0，解得λ=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．若a=0，则目标函数为z=﹣x，即x=﹣z，此时满足目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，若a≠0，则由z=（a﹣1）x+ay得，y=x，若a＜0，此时目标函数的斜率k=＜0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（﹣1，0）时，直线截距最小，z最大，若a＞0，要使目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k=≥1，即a≤，此时满足0≤a≤，综上a≤，故实数a的取值范围是（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据目标函数z=（a﹣1）x+ay在点（﹣1，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15．（5分）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则⊙O的半径R=5．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，由垂径定理和勾股定理求出OC⊥AB，PC=PA ﹣AC=，OC=，由此能求出⊙O的半径R．解答：解：过点O作OC⊥AB，交AB于点C，连结OA，∵AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，∴OC⊥AB，PC=PA﹣AC=4﹣=，∴OC===，∴R=OA===5．故答案为：5．点评：本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的合理运用．（选修4-4：坐标系与参数方程）16．在极坐标系中，点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离是3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，﹣）化为P，即P．直线l：ρsin（θ﹣）=1化为：=1，x﹣y+2=0．∴点P（2，﹣）到直线l：ρsin（θ﹣）=1的距离==3．故答案为：3．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由已知可得2sin cos（﹣）+asin=，从而解得a=1，由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+，由周期公式即可求最小正周期T．（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥﹣，由正弦函数的图象解得2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z），即可得f（x）≥0的解集．解答：解：（1）函数f（x）=2sinx•cos（x﹣）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，），则有：2sin cos（﹣）+asin=，故解得：a=1，∴f（x）=2sinx•cos（x﹣）+sin（2x+），=2sinx（cosxcos+sinxsin）+sin2xcos+cos2xsin，=2sin2xcos+（2sin2x+cos2x）sin，=sin2x+sin，=sin2x+，∴最小正周期T=…6分（2）由f（x）≥0，知：s in2x≥﹣，∴2kπ﹣≤2x≤2kπ+（k∈Z），∴f（x）≥0的解集为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．（12分）已知{a n}是由正数组成的数列，其前n项和S n与a n之间满足：a n+=（n≥1 18．且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=（）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1．可得a n﹣a n﹣1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）b n=•a n=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）∵a n+=（n≥1且n∈N*），两边平方化为．∴，a1＞0，解得a1=1．当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}为等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（II）b n=•a n=，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+，∴=+…+，∴=++…+﹣，∴T n=1++…+﹣=﹣=．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是△A1B1C1的中心O．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得B1C1⊥A1O，AO⊥B1C1，由此能证明B1C1⊥面A1AO，从而得到B1C1⊥AA1．（Ⅱ）过B1作B1D⊥AA1，交AA1于D，连结DC1，由已知得∠B1DC1是二面角B1﹣AA1﹣C1的平面角，由此能求出二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵A在底面△A1B1C1上射影是下底面正△A1B1C1的中心O，∴B1C1⊥A1O，又AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，∴B1C1和两相交直线AO，A1O均垂直，∴B1C1⊥面A1AO，又AA1⊂面A1AO，∴B1C1⊥AA1．（Ⅱ）解：过B1作B1D⊥AA1，交AA1于D，连结DC1，∵AA1⊥B1C1，AA1⊥DB1，∴AA1⊥面DB1C1，∴AA1⊥DC1，∴∠B1DC1是二面角B1﹣AA1﹣C1的平面角，又A在底面A1B1C1上的投影是△A1B1C1的中心，∴AA1=AB1=2a，在△AA 1B1中，由AA1=AB1=2a，，由面积法知：=，同理DC1=，在△C1DB1中，由余弦定理得cos∠B1DC1==，∴二面角B1﹣AA1﹣C1所成角的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．20．（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=（Ⅰ）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）求这个车间一天内可能获取利润的均值（．精确到0.01）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，求某一天中有两台机器发生故障的概率；（Ⅱ）利用每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=，结合相互独立事件的概率公式，求这个车间一天内可能获取利润的均值．解答：解：（Ⅰ）∵一天中每台机器发生故障的概率为0.1，∴某一天中有两台机器发生故障的概率为=0.0729；（Ⅱ）∵每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（n∈N，n≤5）之间满足关系式：y=又P0==0.95，P1==0.5•0.94，∴这个车间一天内可能获取利润的均值P0•12+P1•9+P2•6+（P3+P4+P5）•（﹣6）=P0•12+P1•9+P2•6+（1﹣P0﹣P1﹣P2）•（﹣6）=18P0+15P1+12P2﹣6≈10.42万元．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查相互独立事件的概率公式，正确运用相互独立事件的概率公式，是关键．21．（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求四边形ABF2F1的面积．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对于（Ⅰ），由焦距得c的值，由长轴长得a2的值，结合b2=a2﹣c2，即可得椭圆C 的方程．对于（Ⅱ），延长AB，与x轴交于点M，由BF2为△MAF1的中位线，得M的坐标，由此设直线AB的方程，联立椭圆+=1，消去x，得到关于y的一元二次方程，由韦达定理，得y1+y2及y1y2，又由=2，得y1与y2的关系式，于是得y1，y2，m的值，继而求得x1的值，可得AF1的斜率，即可得直线AF1的方程．对于（Ⅲ），易知四边形ABF2F1为梯形．由（Ⅱ）得x2的值，从而得到|AF1|及|BF2|，再计算点M到直线AF1的距离，即可根据梯形的面积公式计算出梯形ABF2F1的面积．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意，得，即，从而b2=a2﹣c2=5，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），延长AB，与x轴交于点M，由=2知，BF2为△MAF1的中位线，∴|MF2|=|F1F2|，得M（6，0），如右图所示．设直线AB的方程为x=my+6，联立，消去x，整理，得（9+5m2）y2+60my+135=0，由韦达定理，得．…①又由=2，得（﹣2﹣x1，﹣y1）=2（2﹣x2，﹣y2），∴y1=2y2．…②联立①、②，得，从而，于是AF1的斜率，∴直线AF1的方程为．（Ⅲ）易知四边形ABF2F1为梯形．由（Ⅱ）知，，从而|AF1|==，|BF2|==．又点F2（2，0）到直线AF1：的距离，∴．点评：1．本题综合性较强，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的相交关系及四边形面积的求法等，充分挖掘图形的几何特征是求解本题的突破口．2．对于相交弦问题，常利用根与系数的关系（即韦达定理）探究坐标之间的关系；对于向量共线问题，常共线的充要条件转化为坐标之间的关系．3．对于四边形面积的求解，一般先判断四边形的形状，再确定求解方式，或将四边形转化为两个三角形处理．22．（14分）已知e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）求证ln2＞；（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=﹣1+x，当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，得函数f（x）在[0，+∞）上单调性，即可得到函数的最小值；（Ⅱ）可用分析法证明ln2＞；（Ⅲ）亦可用分析法证明ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）．解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=ln（x+1）﹣x+，则f′（x）=﹣1+x=，故当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，则函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，故函数f（x）=ln（x+1）﹣x+在[0，+∞）上的最小值为0；（Ⅱ）证明：要证ln2＞，只需证ln4＞，只需证ln＞，而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x﹣（x≥0）所以ln[1+（﹣1）]≥（﹣1）﹣只需证（﹣1）﹣＞，即需证明4（e﹣1）＞0.9e2而e=2.71828…是自然对数的底数，故4（e﹣1）＞0.9e2恒成立，从而ln2＞得证；（Ⅲ）要证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）成立，只需证ln（n+1）＞﹣（﹣）（n≥1，n∈N）恒成立，只需证2xln（x+1）+＞x（x≥1）恒成立，令g（x）=2xln（x+1）+﹣x（x≥1），则g′（x）=2ln（x+1）+2x•﹣﹣=2ln（x+1）﹣﹣+（x≥1），故g′（x）在[1，+∞）上是增函数所以g′（x）≥g′（1）=2ln2﹣1﹣+＞﹣1﹣+=＞0，故g′（x）在[1，+∞）上是增函数，故g（x）≥g（1）=2ln2+﹣＞+=0，从而2xln（x+1）+＞x（x≥1）恒成立，即ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞（n≥1，n∈N）成立．点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用以及不等式证明中的分析法的应用．。

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,12.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56D.654.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A .7B.8C.9D.105.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.326.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.647.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.28.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b - 的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为332B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE11.已知函数()()1e 1ln e 11xx x f x a x +⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．13.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年82023年92023年102023年112023年122024年1月月月月月月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ix x y y x y nxyr---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,1【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合{}21210|12A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，因为211x +≥，所以()2lg 10x +≥，所以集合(){}{}2lg 1|0B y y x y y ==+=≥，所以10,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选：B.2.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】首先待定结合复数相等求得,x y ，结合模长公式即可求解.【详解】由题意不妨设i,,R z x y x y =+∈，所以()()2323552i i i i z z x y x y y x ++=+=-=--，所以55,2x y =-=-，解得1,2x y ==，所以z ==.故选：C.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56 D.65【答案】D 【解析】【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.【详解】由换底公式得，11log log 2m a a m ==，11log log 3b m b m ==，所以116log log log log 5ab m m m m ab a b ===+.故选：D.4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】先将红球从数量分成()0,1,2，()1,1,1两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有()0,1,2，()1,1,1两种组合形式，当红球分组形式为()0,1,2时，将红球放入三个不同的袋中有333216A =⨯⨯=放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.当红球分组形式为()1,1,1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为617+=种.故选：A.5.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.32【答案】A 【解析】【分析】由题意得30QFM ∠= ，结合正切定义以及1FM =可得QF ，进一步即可求解.【详解】如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为30PQF ∠=︒，且PF PQ =，所以30,120PFQ QPF ∠=︒∠=︒，因为//FM PQ ，所以30QFM ∠= ，而3tan 3013QM QM QM MF====，所以233QF =，所以2cos302323QF PF PQ ==÷=÷= .故选：A.6.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.64【答案】C 【解析】【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得()2024102122nn n P P -+=≥，进一步得()14048n n +≤，结合数列单调性即可得解.【详解】由题意111120111,,,222n n n n n n P P P P P P ----=== ，所以()20241102111122222n n n n n P P --+=⨯⨯⨯=≥ ，所以()120242n n +≤，即()14048n n +≤，显然()()1f n n n =+关于n 单调递增，其中*N n ∈，又()()6340324048644160f f =<<=，所以n 的最大值为63.故选：C.7.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.2【答案】B 【解析】【分析】由题意首先得3π,02T ϕωω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进一步得由TA AB = 得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.【详解】由题意3π2x ωϕ+=，则3π2x ϕωω=-，所以3π,02T ϕωω⎛⎫-⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，因为TA AB =，所以21213π222x x y y ϕωω⎧+-⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，所以()122113π3π22sin 2222y y f x f x x ϕωϕωω⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111cos 2212sin 12x x y ωϕωϕ=+=-+=-，所以2112210y y +-=，又由图可知10y >，所以1312y -=.故选：B.8.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.5【答案】A 【解析】【分析】首先得,P A 的轨迹方程，进一步作二面角P AB C --的平面角为PHC ∠，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.【详解】因为42PA PB a +==，所以2a =，点P 的轨迹方程为22142x y +=（椭球），又因为2CA CB -=，所以点A 的轨迹方程为221x y -=，（双曲线的一支）过点P 作,PH AB AB PC ⊥⊥，而,,PH PC P PF PC ⋂=⊂面PHC ，所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P AB C --为PHC ∠，所以不妨设π2cos ,0,,,2OH PH CH θθθ⎛⎤=∈== ⎥⎝⎦，所以2222cos 2PHC ∠=⋅所以()()222221sin 1cos 2sin 34sin PHC θθθ-∠=⋅-，令21sin ,01t t θ-=<<，所以()()()()222222221sin 1112cos 2214129sin 34sin 1412t t PHC t t t t θθθ-∠=⋅=⋅≥⋅=----+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当221sin 5t θ==-，所以当且仅当1510sin ,cos 55θθ==时，()min2cos 3PHC ∠=.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b -的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=【答案】ACD 【解析】【分析】根据//a b ，有4cos 3sin θθ=-，可判断A 选项；根据a b ⊥ ，得3cos 4sin 0θθ-+=，可判断B 选项；根据向量减法三角形法则有6a b a b -≤+=，分别求出a ，b ，有a ，b 反向时a b -取得最大值，根据向量的几何意义判断C 选项；根据()0a a b ⋅-= ，得4sin 3cos 1θθ-=，又a b -=，可计算a b -，从而判断D 选项.【详解】若//a b ，则4cos 3sin θθ=-，解得4tan 3θ=-，A 正确；若a b ⊥，则3cos 4sin 0θθ-+=，解得3tan 4θ=，所以3sin 5θ=±，B 错误；因为1a == ，5b == ，而6a b a b -≤+= ，当且仅当a ，b 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ，b的起点为坐标原点，向量a的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量()3,4b =- 终点在第二象限，当a ，b反向，则向量()cos ,sin a θθ=的终点应在第四象限，此时3cos 5θ=，4sin 5θ=-，所以C 正确；若()0a a b ⋅-=，则()()cos cos 3sin sin 40θθθθ++-=，即22cos 3cos sin 4sin 0θθθθ++-=，所以4sin 3cos 1θθ-=，a b -=，所以a b -==，D 正确.故选：ACD10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为2B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，13311224ABD S =⨯⨯⨯= ，所以表面积为642⨯=，故A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以223313323AO AM ==⨯⨯=，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为63DO ==，所以题图所示几何体的体积为1632223346D ABCV V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为3333,3236AO OM ==-=，所以()13136136,,0,,,0,0,0,,1,0,0,,,26263263B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，所以01360263x x y z -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得22,0y x =-=，所以取()0,2,1n =-，又36360,,0,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =-+-⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.11.已知函数()()1e 1ln e 11xxx f x a x +⎛⎫=+-+⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='【答案】BCD 【解析】【分析】对于B ，()()00f x h x =⇔=，证明函数()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭是奇函数即可；对于C ，将方程等价变形为11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由此即可判断；对于D ，由13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，进一步求导运算即可；对于A ，通过构造函数可得()()100202p a m <'=='<，由此即可判断.【详解】对于B ，()11e0ln 01e 1xxx f x a x +-⎛⎫=⇔+= ⎪-+⎝⎭，设()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，则它的定义域为()1,1-，它关于原点对称，且()()11e 11e ln ln 1e 11e 1x xx xx x h x a a h x x x --⎛⎫--+-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 是奇函数，由题意()0h x =有三个根123,,x x x ，则1230x x x ++=，故B 正确；对于C ，由()()()()110e 1ln e 1e 1ln e 1011x xx x x x f x kf x a a x x --⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⇒+-+++-+= ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()1ln 11e 1e 1ln 01e 1e e 1e x x x xx x x x x a k a x ⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥+---⎛⎫⎝⎭⎢⎥++-= ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以11e11e ln ln 1e 1e1e 1xxx xx x k x a a x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎢ ⎪⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦已经有3个实根123,,x x x ，当0k >时，令10ex k-=，则ln x k =，只需保证123ln ,,k x x x ≠可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，又()()()()333322331122e lne 1e ,e ln e 111111x x x x xx x f x a a f x a a x x x x ''-+=++--=++---+-，所以()()3333323312e lne 1e 11xx x x f x a a x x +++--'=-()333333233331112lne 11e ln ln e 11111x x x x x x a a a a x x x x -+-=++-+--++--+()()()333333331e e 1lne 1e 1x x x x xf x a f x x +=-++-+='--'，故D 正确；对于A ，11e ln 1e 1x x x a x +-⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设()()11e ln ,1e 1x xx p x a m x x +-⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，则()()()2222e ,1e 1xx a p x m x x ''==-+，所以()()102,02p a m ==''，从而1102,024a a <<<<，故A 错误.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断B 选项的关键是发现()()00f x h x =⇔=，进一步只需验证()h x 是奇函数即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．【答案】3【解析】【分析】根据3π4B =，6b =，22a c +=，利用余弦定理求得ac =三角形面积公式求解.【详解】解：在ABC 中，3π4B =，6b =，22a c +=，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，43π2cosac =-=，解得ac =所以31sin 12222ABC B S ac ==⨯= ，故答案为：313.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．【答案】107【解析】【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出22AF =，在12Rt F F M 中，求出212121cos 4F M F F M F F ∠==，由诱导公式求出121cos 4F F B ∠=-，设2BF m =，则16BF m =-，在12F F B △中由余弦定理构造方程()22166184m m m+--=-，解出m 值即可.【详解】设线段2AF 的中垂线与2AF 相交于点M ，由椭圆22195x y +=方程可知，3a =，b =，2c =；由已知有：11224AF F F c ===，点A 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226AF AF a +==，所以22AF =，21AM MF ==，在12Rt F F M 中，212121cos 4F M F F M F F ∠==，1212πF F M F F B ∠+∠=，121cos 4F F B ∠=-，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226BF BF a +==，设2BF m =，则16BF m =-，124F F =，在12F F B △中由余弦定理有：()222221221121221661cos 284m m F F BF BF F F B F F BF m+--+-∠===-⋅,解得107m =，即2107BF =.故答案为：10714.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．【答案】1013【解析】【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为i P ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.【详解】设从i 出发最终从1号口出的概率为iP ，所以122131232213311110333612P P P P P P P P P ⎧=+⎪⎪⎪=++=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得11013P =.故答案为：1013.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）112a =（2）23367n S n n =-+【解析】【分析】（1）由递推关系首先得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，进一步结合已知{}n a 为等差数列，并在已知式子中令1n =，即可得解.（2）由（1）得*2,N n n ≥∈时，数列是等差数列，故首先求得2a 的值，进一步分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-，当*2,N n n ≥∈时，12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-，两式相减得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，因为{}n a 为等差数列，在式子：12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-中令1n =，得1221112a a a =-，所以21112a a =+，所以2111111222a a a a a -=+-=⇒=-或112a =，若12a =-，则20a =，但这与0n a ≠矛盾，舍去，所以112a =.【小问2详解】因为127a =-，所以271322a =-+=-，而当*2,N n n ≥∈时，12n n a a +-=，所以此时()32227n a n n =-+-=-，所以此时()()213272336727n n n S n n --+-=-+=-+，而1n =也满足上式，综上所述，{}n a 的前n 项和23367n S n n =-+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）277【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理即可得到结果.（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.【小问1详解】取PE 的中点G ，连接,DG FG ,由2DA DB AB ===，易知DAB 为等腰直角三角形，此时1DE =，又1PD =，所以PE DG ⊥.因为PA PB =,所以PE AB ⊥，由//FG EB ，即//FG AB ，所以PE FG ⊥，此时，////CD AB FG ,有,,,C D G F 四点共面，FG DG G = ,所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF PE ⊥.【小问2详解】由,,AB PE AB DE ⊥⊥且PE DE E = ,所以AB ⊥平面PDE .由1PE DE PD ===，得PDE △为等边三角形，以E 为原点，,EB ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()131130,,,0,1,0,1,0,0,2,1,0,,,22244P D B C F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()10,,,1,1,0,22DP DB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面PBD 的法向量(),,n x y z = 由00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即130220y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取1z =，)n = ，又33,,244FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,7n FC n FC n FCθ⋅====⋅,所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为277.17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y yx y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ixx y y x ynxyr ---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=【答案】17.0.9618.38.348.7y x =-，219.4万元【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得,x y 以及62216i i x x =-∑，进一步代入相关系数公式即可求解；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得 ˆ,ba ，由此即可得经验回归方程并预测.【小问1详解】123456715.425.435.485.4155.4195.4,85.4626x y ++++++++++====，6221496149162536617.54ii x x =-=+++++-⨯=∑，所以6762463.4685.467020.962035i ix y xyr --⨯⨯=≈⨯∑.【小问2详解】由题意122166762463.4685.42ˆ38.317.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯==≈-∑∑，所以 785.438.348.72a=-⨯=-，所以y 关于x 的经验回归方程为38.348.7y x =-，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为38.3748.7219.4y =⨯-=万元.18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．【答案】（1）2213y x -=（2）证明过程见解析【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合,,a b c 之间的平方关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，联立双曲线方程结合韦达定理得()121234my y y y =-+，用m 以及,A B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令0y =，证明相应的x 为定值即可求解.【小问1详解】由题意22222232126a b c c c a b a b a b c ⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎪⎩，所以双曲线E 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题意1:2l x =，设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，()2222231129033x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨-=⎩，所以()()222121222912Δ14436313610,,3131mm m m y y y y m m -=--=+>=+=--，直线1AF 的方程为：()()1111512,,2222y y y x P x x ⎛⎫=+∴ ⎪ ⎪++⎝⎭，所以PB 的方程为()()12222252212y y x y x x y x -+=-+-，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令()()2211222112212111222202524522y x y x x y x x my y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=+=++--+()()21221221324222245y my my my my y y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=++++-222221212122121221324628522285y m y y my my m y y my my y my y y y ⎛⎫-+++++- ⎪⎝⎭=++-12212218122285my y y my y y y --=++-，又()1221212122933112431y y m my y y y my y m ⎧=⎪⎪-⇒=-+⎨-⎪+=⎪-⎩，所以()()12212122121612661422313131385222y y y y y x y y y y y y +--=+=+=-++--，所以直线PB 过定点14,013⎛⎫⎪⎝⎭.19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．【答案】（1）e 2y x =+-（2）证明过程见解析（3）a =【解析】【分析】（1）首先代入1x =到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解.（2）对()f x 求导后，令()()1e 1xg x x =-+，对()g x 继续求导发现，对于任意的0x ≠有()0f x ¢>，故只需要证明0x <时，e 11xx-<，0x >时，e 11x x ->即可.（3）由（2）得1a >，进一步令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，结合题意知0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，对k 分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意()1e 1f =-，即切点为()()()2e e 11,e 1,11x x x f x k f x-+''-===，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1e 1y x =-+-，即e 2y x =+-；【小问2详解】由()()21e 1x x f x x -+'=，设()()1e 1xg x x =-+，则()e x g x x '=，所以当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以对于任意的0x ≠有()0g x >，即()0f x ¢>，因此()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，即()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，所以0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()00h x h >=，即1x e x ->，即e 11x x-<，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00h x h >=，即1xe x ->，即e 11x x->，所以()f x 是其定义域上的增函数.【小问3详解】由（2）可知，0x <时，()1f x <，所以1x a <，故1a >，令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，由题意0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，若1k ≥，则当1x >时，()()1e e 1e 0k xkx kx F x x x ---=--≤--<，不满足条件，所以01k <<，而()()()11ee 1k xkx F x k k --'=-+-，令()()G x F x '=，则()()()()221221e e e 1e k xkx kx x G x k k k k ---⎡⎤'=--=--⎣⎦，令()0G x '=，得2ln1kx k=-，()F x '在,2ln 1k k ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭单调递减，在2ln ,1k k ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭单调递增，若2ln01k k <-，则当2ln 01k x k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F >=，不满足题意；若2ln01k k >-，则当02ln 1kx k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F <=，不满足题意；若2ln01kk=-，则当0x <时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F <=，且当0x >时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F >=，满足题意，所以2ln01k k =-，解得12k =，综上所述，a =【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解.。