平面向量基本定理推论1.引言1.1 概述概述部分的内容：在平面向量的研究中，平面向量基本定理是一个基础且重要的定理。
它是数学中向量的基本理论之一，描述了向量的基本性质和运算规律。
通过平面向量基本定理，我们可以深入理解和应用向量的概念，解决各种与向量相关的问题。
本文将以平面向量基本定理为基础，介绍其重要的推论。
这些推论是从平面向量基本定理中推导出来的，通过进一步分析和推理，得到了更具体、更实用的结论。
这些推论将帮助我们更好地理解和应用向量的性质，在解决实际问题中发挥重要作用。
通过对平面向量基本定理及其推论的学习，我们可以更深入地了解向量的几何和代数性质，进一步提升我们的数学思维和解题能力。
同时，这些推论也为我们进一步研究和应用向量提供了良好的基础。
本文将首先对平面向量基本定理进行简要介绍，然后详细阐述与该定理密切相关的两个重要推论。
最后，我们将对全文进行总结，并展望通过平面向量基本定理及其推论可以进一步拓展的领域和问题。
通过对这一主题的深入探讨，我们可以更好地理解平面向量的性质和运算，提高数学素养和问题解决能力。
同时，也为我们学习和研究其他相关数学理论打下了坚实的基础。
让我们开始这篇关于平面向量基本定理推论的探索吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成这样：1.2 文章结构本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。
- 引言部分（Section 1）对平面向量基本定理的推论进行了概述，说明了本文的背景和目的。
- 正文部分（Section 2）详细阐述了平面向量基本定理及其两个推论。
2.1小节介绍了平面向量基本定理的定义和特性，帮助读者建立起相关概念。
2.2小节阐述了推论1，探讨了其推导过程和应用。
2.3小节则讨论了推论2，深入分析了其意义和实际应用。
- 结论部分（Section 3）对全文进行了总结，并对未来可能的研究方向进行了展望。
通过以上的文章结构，读者可以逐步了解平面向量基本定理及其推论，并对其理论和应用有一个清晰的认识。
平面向量的数量积与向量投影平面向量的数量积和向量投影是线性代数中重要的概念和计算方法。
它们在解决几何和物理问题时起着关键作用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量投影，探讨它们的定义、性质和计算方法。
1. 平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积或内积，用来计算两个向量之间的夹角和它们之间的关系。
给定两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2)，它们的数量积定义为a→⋅a→=a1a1+a2a2。
数量积有以下几个重要的性质：性质1：a→⋅a→=a→⋅a→，即数量积的顺序可以交换。
性质2：a→⋅(a→+a→)=a→⋅a→+a→⋅a→，即数量积对加法的分配律。
性质3：a→⋅a→=‖a→‖^2，即一个向量与自身的数量积等于它自身的模的平方。
性质4：如果两个向量的数量积为0，即a→⋅a→=0，则它们垂直。
基于数量积定义和性质，可以进行向量的投影计算。
2. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
通过向量投影可以计算两个向量之间的夹角。
给定两个平面向量a→和a→，它们夹角的余弦可以通过它们的数量积计算如下：cos a = a→⋅a→ / (‖a→‖ * ‖a→‖)其中cos a表示a→和a→夹角的余弦值，‖a→‖和‖a→‖分别表示向量a→和a→的模。
从上述公式中可以看出，如果两个向量的数量积等于它们的模的乘积，则它们的夹角为0度，即两个向量共线。
反之，如果数量积小于0，则夹角为180度，即两个向量反向。
在计算中，可以通过向量的投影来求解两个向量之间的夹角。
向量投影的计算公式如下：a→=(a→⋅a→ / ‖a→‖^2) * a→其中，a→表示向量a→在向量a→上的投影向量。
通过向量投影的计算，我们可以得到两个向量之间的夹角，并且可以判断它们的方向和关系。
3. 数量积与向量投影的应用数量积和向量投影在几何和物理问题中有广泛的应用。
在几何中，利用数量积可以求解两个向量之间的夹角，判断向量的垂直、平行关系，以及计算向量的投影长度。
第六章平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．7．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．8．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积9.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0<常用结论>1．五个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(3)若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心．(4)在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：①GA →＋GB →＋GC →＝0；(5)若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．基底需要的关注三点(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．4．共线向量定理应关注的两点示为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．5．两个结论<解题方法与技巧>一、辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．典例1：设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.典例2：设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是()A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：选C.因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b|b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故“a ＝2b ”是“a |a |＝b|b |”成立的充分条件．典例3：给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．答案：③二、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．典例4：（1）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝()A.34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC→C.34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC→(2)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则()A.AF →＝13AC →＋23BD→B ．AF →＝23AC →＋13BD→C.AF →＝14AC →＋23BD→D ．AF →＝23AC →＋14BD→【解析】(1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12→＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．由已知得DE →＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23×BD →－AC →2＝BD →－AC →3，所以AF →＝AC→＋CF →＝AC →＋BD →－AC →3＝23AC →＋13BD →，故选B.【答案】(1)A(2)B典例5：如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】法一：由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB→＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝1，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一．法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →得DC ∥AB ，且AB ＝4DC .又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43AD →.于是，AE →＝12(AB →＋AP →)＋43AD ＝12AB →＋23AD →.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0.由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，m ＝4mr ＋3ms ，h ＝3hs ，＝12，＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.【答案】C三、共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[注意]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．典例6：设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a k b 共线．【解】(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.四、平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[提醒]在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．典例7:如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝()A.23AB →－13AD →B ．13AB →－23AD→C ．－23AB →＋13AD→D ．－13AB →＋23AD→(2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．【解析】(1)法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →－12AB ＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＋23AD AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C.法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE→＝－AB →＋12AB →＋＝－AB →＋12AB →＋13CB ＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.(2)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.【答案】(1)C(2)45五、平面向量的坐标运算(1)向量坐标运算的策略①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．典例8：(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝()A ．(－23，－12)B ．(23，12)C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C (－1，c )(c >0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．【解析】(1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A .(2)因为|OC →|＝2，所以|OC →|2＝1＋c 2＝4，因为c>0，所以c ＝ 3.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(－1，3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.【答案】(1)A(2)3－1典例9：(1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．(2)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为________．【解析】(1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，λ＋6μ＝－1，＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.(2)以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB →＝(1，0)，AD →＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，1＋255cos θ＝λ，＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2.【答案】(1)4(2)3六、平面向量共线的坐标表示(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②已知b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb (λ∈R )．(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．典例10：(1)已知平面向量a ，b ，c ，a ＝(－1，1)，b ＝(2，3)，c ＝(－2，k )，若(a ＋b )∥c ，则实数k ＝________．(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【解析】(1)由题意，得a ＋b ＝(1，4)，由(a ＋b )∥c ，得1×k ＝4×(－2)，解得k ＝－8.(2)因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，－x ＝2，－y ＝－2，＝2，＝4，故点D 的坐标为(2，4)．【答案】(1)－8(2)(2，4)典例11：已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是()A ．－23B ．43 C.12D ．13【解析】AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】A 七、平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．[提醒]解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．典例12：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________．【解析】法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →|·|AD →|cos π4，化简得|AD →|＝22.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n ，0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n ，0)·(m ＋2，m )＝2(n ，0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.【答案】12八、求向量的模的方法(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．典例13：(1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于()A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA→＋3PB →|的最小值为__________．【解析】(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4－2×2×3×cos π6＋4，则|AD →|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.【答案】(1)A (2)5九、平面向量的夹角(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向求解．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．典例14：(1)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________．(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【解析】(1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23.(2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，所以(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，所以4k －6－6<0，所以k <3.【答案】(1)23(2)(－∞，3)十、两向量垂直问题(1)当向量a 与b 是坐标形式时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .典例15：(1)已知a ＝(1，1)，b ＝(2，m )，a ⊥(a －b )，则|b |＝()A ．0B ．1C.2D ．2(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】(1)由题意知a －b ＝(－1，1－m )．因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝－1＋1－m ＝0，所以m ＝0，所以b ＝(2，0)，所以|b |＝2.故选D.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】(1)D (2)712十一、平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．典例16：已知两个不共线的向量a ，b 满足a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R .(1)若2a －b 与a －7b 垂直，求|a ＋b |的值；(2)当θ∈0，π2时，若存在两个不同的θ，使得|a ＋3b |＝|m a |成立，求正数m 的取值范围．【解】(1)由条件知|a |＝2，|b |＝1，又2a －b 与a －7b 垂直，所以(2a －b )·(a －7b )＝8－15a ·b ＋7＝0，所以a ·b ＝1.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝4＋2＋1＝7，故|a ＋b |＝7.(2)由|a ＋3b |＝|m a |，得|a ＋3b |2＝|m a |2.即|a |2＋23a ·b ＋3|b |2＝m 2|a |2，即4＋23a ·b ＋3＝4m 2，7＋23(cos θ＋3sin θ)＝4m 2.所以43sin 4m 2－7.由θ∈0，π2，得θ＋π6∈π6，2π3，因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知43sin[6，43)，即6≤4m 2－7＜43，即134≤m 2＜7＋434，又m ＞0，所以132≤m ＜2＋32.即实数m 的取值范围为132，十二、向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．典例17：(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA→＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________．【解析】(1)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.(2)在平行四边形ABCD 中，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CD →＝AD →－12AB →，又因为AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×1×12|AB →|－12|AB →|2＝1.|AB →|＝0，又|AB →|≠0，所以|AB →|＝12.【答案】(1)C (2)12十三、平面向量与函数、不等式的综合应用通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．典例18：(1)设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是()A ．若|a |确定，则θ唯一确定B ．若|b |确定，则θ唯一确定C ．若θ确定，则|b |唯一确定D ．若θ确定，则|a |唯一确定(2)已知向量a ，b a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为________．【解析】(1)设g (t )＝(a ＋t b )2＝b 2t 2＋2t a ·b ＋a 2，当且仅当t ＝－2a ·b 2b 2＝－|a |cos θ|b |时，g (t )取得最小值1，所以b 2×|a |2cos 2θ|b |2－2a ·b ×|a |cos θ|b |＋a 2＝1，化简得a 2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a |唯一确定．(2)法一：因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，所以a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，所以|a ＋c |≥32，所以|a ＋c |的最小值为32.法二：因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b －12，则a ＋b 因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t ∈R )，所以a ＋c ＋t 2，所以|a ＋c |＝t 2＋t ＋1≥32，所以|a ＋c |的最小值为32.【答案】(1)D (2)32十四、平面向量与解三角形的综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．典例19：已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .【解】(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.十五、向量在解析几何中的2个作用典例20：(1)若点O 和点F 分别为椭圆x 4＋y 3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP →的最大值为________．(2)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB →＝3FA →，则此双曲线的离心率为________．【解析】(1)由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.(2)由F (－c ，0)，A (0，b )，得直线AF 的方程为y ＝b cx ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝b ax 相交，＝b c x ＋b ，＝b a x ，消去x 得，y B ＝bc c －a .由AB →＝3FA →，得y B ＝4b ，所以bc c －a＝4b ，化简得3c ＝4a ，所以离心率e ＝43.【答案】(1)6(2)43。
