2018九年级(上)数学期末复习题

安徽省数学九年级上学期期末复习专题7 圆锥的侧面积姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018九上·东台期末) 已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（）A . 60B . 48C . 60πD . 48π2. （2分）(2020·宜兴模拟) 圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（）A . 3B . 6πC . 3πD . 63. （2分）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）．A . 36πB . 48πC . 72πD . 144π4. （2分） (2021九上·秦淮期末) 圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为（）A .B .C .D .5. （2分） (2021九下·江阴期中) 如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65 cm2，扇形的弧长为10 cm，则圆锥母线长是（）A . 5cmB . 10cmC . 12cmD . 13cm6. （2分） (2021九下·施秉开学考) 圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（）A . cmB . 10cmC . 6cmD . 5cm7. （2分）(2012·无锡) 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A . 20cm2B . 20πcm2C . 15cm2D . 15πcm28. （2分）如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）A .B .C .D .9. （2分）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（）A . 60°B . 90°C . 120°D . 180°二、填空题 (共7题；共7分)10. （1分）(2017·宁城模拟) 底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为．11. （1分）(2020·鄞州模拟) 一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则这个圆锥的侧面积是。

2018-2019学年湖南省永州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.1，2〕，则k的值为（）A. 0.5B. 1C. 2D. 42.）C.3.方程x2-2x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4.已知点A（3，y1），B（5，y2）在函数y则y1，y2的大小关系是（）A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1=y2D. 不能确定5.下列各式中，不成立的是（）A. cos60°=2sin30°B. sin15°=cos75°C. tan30°•tan60°=1D. sin230°+cos230°=16.为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：A. 中位数是5B. 平均数是5C. 众数是6D. 方差是67.在同一平面直角坐标系中，函数y y=kx+1（k为常数，k≠0）的大致图象是（）8.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加以下条件，不能判断△AED∽△ABC的是（）A. ∠AED＝∠ABCB. ∠ADE＝∠ACB9.如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P）10.式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，这里“∑”是求和符号，，通过对以上材料的阅读，是（）二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC=2，则DE的长是______．12.如图，点P在反比例函数y P作PA⊥x轴于点A，则△POA的面积是______．13.如图，某商店营业大厅自动扶AB的坡度为i=1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为______米．14.已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，则它的另一个根为______，q=______．15.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么较大三角形的周长为______cm．16.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADEAC=5，则AB的长______．17.如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡AB=AC=6米，屋顶∠BAC=150°，计划把图中△ABC（阴影部分）涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为100元，则这部分墙漆的造价共需______元．18.我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如图，△ABC是以A为顶点的在△ABC外有一点D，若∠ADB=∠ABC，AD=4，BD=3，则∠ABC=______度，CD的长是______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：|-2|+（π+2019）0-2tan45°．20.2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学习禁毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的计图（1）本次抽查的人数是______；（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为______度；（3）补全条形统计图；（4）若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少人？21.为了预防“流感“，某学校对教室采用熏法进行消毒，已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例；药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为15毫克．（1）分别求出这两个函数的表达式：（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时对人体没有危害，那么此次消毒后经过多长时间学生才可以安全进入教室？22.某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生产成本下降的百分率；（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．23.如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D 的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高（结果保留根号）．24.已知关于x的方程x2-4x+3-a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解；（3）在（2）的条件下，若方程x2-4x+3-a=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，求等腰△ABC的周长．25.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．26.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是______，AB的长是______；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞02018-2019学年湖南省永州市九年级（上）期末数学试卷答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. A6. C7. D8. C9. A10. D11. 112. 213. 314. 0 015. 3016. 317. 90018. 4519. 解：原式=2+1-2=1．20. 120人1821. 解：（1）∵正比例函数的图象经过点（6，15），∴正比例函数的解析式为y=x，∵反比例函数的图象经过点（6，15），∴反比例函数的解析式为：y=；（2）把y=3代入y=中得x=30，∴此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室．22. 解：（1）设每年生产成本的下降率为x，根据题意得：100（1-x）2=81，解得：x1=0.1=10%，x2=1.1（不合题意，舍去）．答：每年生产成本的下降率为10%．（2）81×（1-10%）=72.9（万元）．答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．23. 解：∵∠DFG=∠DEF+∠EDF，∠DFG=60°，∠DEF=30°，∴∠DEF=∠FDE=30°，∴EF=FD=20米，在Rt△DFG中，DG=DF•sin60°=20×=10（米），∵四边形AEGC是矩形，∴CG=AE=1.5米，∴CD=DG+CG=（1.5+10）米．24. 解：（1）根据题意得△=（-4）2-4（3-a）＞0，解得a＞-1；（2）a的最小整数为0，此时方程为x2-4x+3=0，（x-3）（x-1）=0，x-3=0或x-1=0，所以x1=3，x2=1；（3）∵方程x2-4x+3-a=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，∴等腰△ABC的腰长为3，底边长为1，∴等腰△ABC的周长=3+3+1=7．25. （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠ADE=45°∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE，∴=∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，CD=-x，EC=1-y，∴=，y=x2-x+1=（x-）2+，当x=时，y有最小值，最小值为；（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，∴BD=CE，∴x=1-y，即x-x2=x，∵x≠0，∴等式左右两边同时除以x得：x=-1∴AE=1-x=2-，当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，所以，AE=；当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2-或．26. 8 4【解析】1. 解：将点（1，2）代入解析式得，，k=2．故选：C．将点（1，2）代入解析式即可求出k的值．本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，点的坐标符合函数的解析式，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2. 解：∵=，∴=-1=-1=-，故选：C．由=-1，再代入计算可得．本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．3. 解：∵△=（-2）2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．先计算出△=（-2）2-4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4. 解：把A（3，y1），B（5，y2）代入y=中得y1=，y2==1，所以y1＞y2．故选：B．把A、B两点坐标代入反比例函数解析式可分别计算出y1，y2，从而可比较它们的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．5. 解：A、cos60°=sin30°，错误；B、sin15°=cos75°，正确；C、tan30°•tan60°=1，正确；D、sin230°+cos230°=1，正确；故选：A．根据互余两角的三角函数关系判断即可．此题考查互余两角的三角函数关系，关键是根据互余两角的三角函数关系解答．6. 解：A、根据按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2=6，故本选项错误；B、平均数=（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20=6，故本选项错误；C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；D、方差是：S2=[4（4-6）2+5（5-6）2+7（6-6）2+3（8-6）2+（13-6）2]=4.1，故本选项错误；故选：C．根据平均数、中位数、众数和方差的概念，对选项一一分析，选择正确答案．此题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．7. 解：当k＞0时，函数y=的图象在第一、三象限，函数y=kx+1在第一、二、三象限，故选项C错误，选项D正确，当k＜0时，函数y=的图象在第二、四象限，函数y=kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B错误，故选：D．根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的．本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8. 解：A、∠ABC=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9. 解：∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，设AB=2a，BC=a，则AC=a，∵CD=BC=a，∴AD=AC-CD=（-1）a，∵AP=AD，∴AP=（-1）a，∴=．故选：A．设AB=2a，BC=a，则AC=a，利用勾股定理求得AP的长，即可得出的值．本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．10. 解：=-；则=+++…+=1-+-+-+…+-=1-=．故选：D．根据=-，结合题意运算即可．此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用=-，难度一般．11. 解：∵DE∥BC，AD=DB，∴AE=EC，∴DE=BC=1，故答案为1．利用三角形的中位线定理即可解决问题．本题考查三角形的中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12. 解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y=-的图象上，∴xy=-4，∴S△POA=|xy|=2，故答案为：2．设出点P的坐标，△OAP的面积等于点P的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可．题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13. 解：∵AB的坡度为i=1：2.5，过B点作BC⊥AC，垂足为点C，大厅水平距离AC的长为7.5m，∴BC：AC=1：2.5，则BC=7.5÷2.5=3（m）．故答案为：3．直接利用坡度的定义进而得出BC：AC=1：2.5，求出答案即可．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．14. 解：根据题意，得9-9+q=0，解得，q=0；由韦达定理，知x1+x2=-3；则-3+x2=-3，解得，x2=0．故答案是：0，0．根据一元二次方程的解定义，将x=-3代入关于x的方程x2+3x+q=0，然后解关于q的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=-解出方程的另一个根．本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=-、x1•x2=来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．15. 解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，∴两个三角形的相似比为5：3，设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x，由题意得，5x-3x=12，解得，x=6，则5x=30，故答案为：30．根据题意求出两个三角形的相似比，再根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的相似比即对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．16. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADE=∠ACD，∴tan∠ACD=tan∠ADE==，设AD=4k，CD=3k，则AC=5k，∴5k=5，∴k=1，∴CD=AB=3，故答案为3证明∠ADE=∠ACD，推出tan∠ACD=tan∠ADE==，设AD=4k，CD=3k，则AC=5k，构建方程求出k即可解决问题．本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．17. 解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，∵∠BAC=150°，∴∠BAD=30°．∴BD=AB•sin30°=AB=3米．∴S阴影=AC•BD==9（平方米）则造价为：9×100=900（元）故答案是：900．如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，构造直角△ABD，通过解直角三角形求得BD的长度，利用三角形的面积公式求得阴影部分的面积，然后根据造价求解．考查了解直角三角形的应用，培养学生通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．18. 解：设等腰三角形的底角为x，∵△ABC是以A为顶点的“特征值”为的等腰三角形，根据定义可知顶角为2x．∴x+x+2x=180°，∴x=45°，即∠ABC=45°，∠BAC=90°，过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，如图：∵∠ADB+∠DAB=∠ABC+∠CBE，∠ADB=∠ABC=45°，∴∠ADB=∠E=45°，∠DAB=∠EBC，∴△ADB∽△BEC，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∵AD=4，BD=3，∴BE=4，CE=3，∴DE=3+4，∵△DHE是等腰直角三角形，∴DH=EH==，∴CH=，在Rt△DCH中，CD==．故答案为：45，．由等腰三角形的“特征值”定义可知，“特征值”为的等腰三角形由三角形内角和可计算出顶角为90°，底角为45°，故可知∠ABC=45°，由∠ADB=∠ABC=45°联想一线三等角构造相似三角形，过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，得△ADE∽△BEC，再在Rt△AHE中，由勾股定理即可求出CD．本题综合考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、相似三角形判断和性质、勾股定理，运用一线三等角构造相似三角形是解题关键，和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出4∠BAC=180°是解此题的关键．19. 直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20. 解：（1）本次抽查的人数为24÷20%=120（人），故答案为：120人；（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°×=18°，故答案为：18；（3）良好的人数为120-（24+54+6）=36（人），补全图形如下：（4）估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有2000×=1000（人）．（1）由优秀的人数及其所占百分比可得总人数；（2）用360°乘以不及格人数所占比例即可得；（3）根据各等级人数之和等于总人数求得良好的人数，据此可补全条形图；（4）用总人数乘以样本中“优秀”和“良好”人数和占被调查人数的比例可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21. （1）由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为y=kx（k≠0），然后由（6，15）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=（a≠0），然后由（6，15）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；（2）将y=3分别代入反比例函数解析式，即可求得x的值，则可求得答案．本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．22. （1）设每年生产成本的下降率为x，根据2017年、2018年的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由2019年该公司的生产成本=2018该公司的生产成本×（1-下降率），即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．23. 首先证明FE=FD=20米，解直角三角形求出DG即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24. （1）根据判别式的意义得到△=（-4）2-4（3-a）＞0，然后解不等式即可；（2）在（1）中a的范围内确定a的最小整数为0，此时方程为x2-4x+3=0，利用因式分解法解方程；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰△ABC的腰长为3，底边长为1，从而得到等腰△ABC的周长．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．25. （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．26. 解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA=8，AB=4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y=的图象经过点D（4，2），∴k=4×2=8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF=6，BE=3，∴=，=，∴=．∵∠ABC=∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA=∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，-1），∴DE′==5．设直线DE′的解析式为y=ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，-1）代入y=ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y=-x+5．当y=0时，-x+5=0，解得：x=，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y=的图象经过点D（m，n），∴k=mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF=m，BE=n，∴=，=，∴=．又∵∠ABC=∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴==．（1）①由点D的坐标可得出点B的坐标，再利用矩形的性质可得出OA，AB的长；②由点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，结合点B的坐标可得出点E，F的长度，进而可得出BE，BF的长，由各线段的长度可得出=，结合∠ABC=∠EBF可证出△ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质及平行线的判定定理可得出EF∥AC；③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，由点E的坐标可得出点E′的坐标，利用两点间的距离公式可求出DE′的长，由点D，E′的坐标，利用待定系数法可求出直线DE′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当PD+PE的值取最小值时点P的坐标；（2）由点D的坐标可求出点B的坐标及k的值，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点E，F的长度，由各线段的长度可得出=，结合∠ABC=∠EBF可证出△ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质可求出的值．本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及轴对称：最短路线问题，解题的关键是：（1）①由点B的坐标利用矩形的性质求出OA，AB的长；②利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF；③利用两点之间线段最短，确定当PD+PE的值最小时点P的位置；（2）利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF．。

2018-2019学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷以及逐题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）一元二次方程22x x x -=的根是( ) A ．1202x x ==B ．1201x x ==C ．1203x x ==D ．1204x x ==2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，E ，F 分别是矩形ABCD 边AB ，AD 的点（不与矩形的顶点重合），BF CE ⊥，垂足为P ，则图中与BPE ∆相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点C 在直线MN 上，若150∠=︒，220∠=︒，则ABD ∠的度数为( )A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒5．（3分）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是( )A ．23B ．12 C ．13D ．166．（3分）已知二次函数2()y a x h k =-+，其图象过点(0,2)A ，(6,2)B ，则h 的值是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）抛物线221y x x =--与y 轴的交点坐标为 ． 8．（3分）已知(0,0)23a b a b =≠≠，则ab= ． 9．（3分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，若矩形ABFE ∽矩形BCDA ，则BF 的长为 ．10．（3分）如图，在55⨯的正方形网格中，A ，B ，C 三点都是格点，则tan ABC ∠的值为 ．11．（3分）直线2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，且AB =k 的值为 ．12．（3分）ABCD 中，5AB =，8BC =，4sin 5ABC ∠=，P 是ABCD 上一点，PBC ∆是直角三角形，则CP 的长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）解方程：2640x x -+=（用配方法）14．（6分）如图1是由正方体切成的几何体，请在图2的网格中，画出这个几何体的三视图．15．（6分）如图所示（背面完全相同）A 、B 、C 三张卡片，正面分别写上整式24x -，2x ，4；现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，然后将所抽取卡片上的两个整式分别放在“=”的两边，组成一个等式．（1）“抽取的卡片所组成的等式是一个一元二次方程”，这个事件是 ．A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．确定事件（2）求所抽取的卡片组成的等式不是一元二次方程的概率．16．（6分）如图，过原点O 的直线与反比例函数ky x=在第一象限交于点A ，过点A 作x 轴垂线，垂足为B ，若4OB =，3tan 2AOB ∠=． （1）直接写出k 的值为 ； （2）求点A 的坐标和OA 长．17．（6分）如图是由两个底在同一直线上的等腰直角三角形组合成的图形，请分别在图1和图2中，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，作出AD 的中点；（2）在图②中，ABC ∆与DEF ∆的相似比为2:3，2BC CE =，作出BF 的垂直平分线．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m --+=． （1）若方程的两根之积为5-，求m 的值；（2）若方程2210x x m --+=有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x 的一元二次方程2(2)120x m x m --+-=的根的情况．20．（8分）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图．测得其灯臂AB 长为28cm ，灯罩BC 长为15cm ，底座AD 厚度为3cm ，根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60︒．（1）当BC 转动到与桌面平行时，求点C 到桌面的距离；（2）在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=︒时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C1.7≈，sin250.4︒≈，cos250.9︒≈，tan250.5︒≈，结果精确到个位）．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在Rt ABC ∆中，6AC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）若30B ∠=︒，CE 与CF 的数量关系是 ，CF 长为 ；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，则四边形CEGF 的形状为 ，若10AB =，求CE 的长．22．（9分）如图，△n n AB C 系列三角形是以点A 为直角顶点，两腰在同一直线上的等腰直角三角形(n 为正整数）．以A 为原点，以△n n AB C 的底边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，并设2n n B C n =，经过A ，n B ，n C 的抛物线为n y ． （1）求2y 的表达式，并猜想抛物线n y 的表达式（不必证明）；（2）求经过1n B -，1n C -，n B ，n C 四点的抛物线的顶点P 的坐标，并直接判断△11n n PB C --与△n n PB C ，是否相似（不必说明理由）．六、（本大题1小题，12分）23．（12分）如图，正方形ABCD 中，以BF 为底向正方形外侧作等腰直角三角形BEF ，连接DF ，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ．（1）如图1，当点A 与点F 重合时，猜想EG 与CG 的数量关系为 ，EG 与CG 的位置关系为 ，请证明你的结论；（2）如图2，当点F 在AB 上（不与点A 重合）时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，点F 在AB 的左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？直接作出判断，不必说明理由．2018-2019学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）一元二次方程22x x x -=的根是( ) A ．1202x x ==B ．1201x x ==C ．1203x x ==D ．1204x x ==【分析】先观察再确定方法解方程，根据方程的特点可利用因式分解法． 【解答】解：移项得220x x x --=，(3)0x x -=， 解得10x =，23x =． 故选：C ．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上往下看，易得一个长方形． 故选：D ．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）如图，E ，F 分别是矩形ABCD 边AB ，AD 的点（不与矩形的顶点重合），BF CE ⊥，垂足为P ，则图中与BPE ∆相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可． 【解答】解：矩形ABCD ， 90ABC A ∴∠=∠=︒， BF CE ⊥，90EPB BPC ∴∠=∠=︒， BEP BEC ∴∠=∠， BEP BEC ∴∆∆∽，EBP ABF ∠=∠， ABF BPE ∴∆∆∽，90BEC BCP ∠+∠=︒，90BEC EBP ∠+∠=︒， EBP BCP ∴∠=∠， BEP BPC ∴∆∆∽，故选：D ．【点评】此题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（3分）如图，菱形ABCD 的顶点C 在直线MN 上，若150∠=︒，220∠=︒，则ABD ∠的度数为( )A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【分析】由180MCN ∠=︒，可求出BCD ∠的度数，根据菱形的性质可得A ∠的度数，再由AB AD =，进而可求出ABD ∠的度数．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，A BCD ∴∠=∠，AB AD =， 150∠=︒，220∠=︒，1805020110BCD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 110A ∴∠=︒，AB AD =，180110352ABD ADB ︒-︒∴∠=∠==︒， 故选：B ．【点评】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理的运用以及等腰三角形的判定和性质，熟记菱形的各种性质是解题的关键．5．（3分）一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是( ) A ．23B ．12 C ．13D ．16【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情况，∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率4263==， 故选：A ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．（3分）已知二次函数2()y a x h k =-+，其图象过点(0,2)A ，(6,2)B ，则h 的值是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x h =，由于A 、B 的纵坐标都是2，求得对称轴为直线0632x +==，即可得出3h =． 【解答】解：由解析式可知抛物线的对称轴为直线x h =， 点(0,2)A ，(6,2)B ，它们的纵坐标相同，∴对称轴为直线0632x +== 3h ∴=．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数数2()y a x h k =-+的顶点坐标为(,)h k ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）抛物线221y x x =--与y 轴的交点坐标为 (0,1)- ．【分析】把0x =代入抛物线2231y x x =-+-中，求y 的值，即可求出答案． 【解答】解：把0x =代入抛物线221y x x =--得： 1y =-，∴抛物线221y x x =--与y 轴的交点坐标是(0,1)-，故答案为：(0,1)-．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，知道抛物线与Y 轴交点的横坐标等于0是解此题的关键． 8．（3分）已知(0,0)23a b a b =≠≠，则a b =23． 【分析】交换内项即可． 【解答】解：(0,0)23a ba b =≠≠， ∴23a b =． 故答案为23． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质．9．（3分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，若矩形ABFE ∽矩形BCDA ，则BF 的长为 1.6 ．【分析】根据矩形ABFE ∽矩形BCDA 得出比例式，再代入求出即可． 【解答】解：矩形ABFE ∽矩形BCDA ，∴AB BCBF AB=， 4AB =，10BC =，∴4104BF =， 解得： 1.6BF =， 故答案为：1.6．【点评】本题考查了矩形的性质和相似四边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．10．（3分）如图，在55⨯的正方形网格中，A ，B ，C 三点都是格点，则tan ABC ∠的值为 2 ．【分析】根据网格内图形特点，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可． 【解答】解：如图，设方格单位长度为1，BC 是22⨯方格对角线，取BC 中点D ，连接AD ， AB AC AD BC =∴⊥，在Rt ABD ∆中，AD =，BD =tan 2ADABD BD∴∠==． 故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形，解题关键是构造直角三角形．11．（3分）直线2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，且AB =k 的值为 2 ．【分析】根据题意OA OB ==，0k >，设(,2)A m m ，0m >，根据勾股定理得出222(2)m m +=，求得1m =，则(1,2)A ，即可求得122k =⨯=．【解答】解：直线2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，且AB =∴反比例函数ky x=的图象位于一三象限，OA OB ==0k ∴>，设(,2)A m m ，0m >，222(2)m m ∴+=，解得1m =， (1,2)A ∴， 122k ∴=⨯=，故答案为2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是求得A 或B 点的坐标，本题属于基础题型．12．（3分）ABCD 中，5AB =，8BC =，4sin 5ABC ∠=，P 是ABCD 上一点，PBC ∆是直角三角形，则CP 的长为325或【分析】分三种情况：①当点P 在AB 上，90BPC ∠=︒时，由三角函数定义即可得出答案； ②当点P 在AD 上，90BPC ∠=︒时，作BN AD ⊥于N ，CM AD ⊥于M ，则BN CM =，8MN BC ==，90BNP CMP CMD ∠=∠=∠=︒，由三角函数定义求出445BN CM CD ===，证明BPN PCM ∆∆∽，得出BN PNPM CM=，求出4PM =，由勾股定理即可得出答案； ③当点P 在AD 上，90BCP ∠=︒时，则CP BC ⊥，证出CP AD ⊥，由三角函数定义求出4CP =即可．【解答】解：分三种情况：①当点P 在AB 上，90BPC ∠=︒时，如图1所示： 4sin 5CP ABC BC ∠==， 44328555CP BC ∴==⨯=； ②当点P 在AD 上，90BPC ∠=︒时，如图2所示： 作BN AD ⊥于N ，CM AD ⊥于M ，则BN CM =，8MN BC ==，90BNP CMP CMD ∠=∠=∠=︒， 90PBN BPN ∴∠+∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，D ABC ∴∠=∠，8AD BC ==，5CD AB ==， 4sin sin 5CM D ABC CD ∴==∠=， 445BN CM CD ∴===，90BPC ∠=︒，90BPN CPM ∴∠+∠=︒， PBN CPM ∴∠=∠， BPN PCM ∴∆∆∽，∴BN PN PM CM =，即484PMPM -=， 解得：4PM =，CP ∴=③当点P 在AD 上，90BCP ∠=︒时，如图3所示： 则CP BC ⊥，//AD BC ， CP AD ∴⊥， 4sin sin 5CP D ABC CD ==∠=， 445CP CD ∴==；综上所述，PBC ∆是直角三角形，则CP 的长为325或4；故答案为：325或4．【点评】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和解直角三角形是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）解方程：2640x x -+=（用配方法） 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：由原方程移项，得 264x x -=-，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得26949x x -+=-+，即2(3)5x -=，3x ∴=，13x ∴=，23x =．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 14．（6分）如图1是由正方体切成的几何体，请在图2的网格中，画出这个几何体的三视图．【分析】根据三视图的画法，分别从正面看、上面看、左面看物体的形状，注意物体的各个面形状和大小．【解答】解：画出的三视图如图所示【点评】考查三视图的画法，注意物体的各个面的形状和大小，更要注意“长对正，宽相等，高平齐”，掌握大小比例关系．15．（6分）如图所示（背面完全相同）A 、B 、C 三张卡片，正面分别写上整式24x -，2x ，4；现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张，然后将所抽取卡片上的两个整式分别放在“=”的两边，组成一个等式．（1）“抽取的卡片所组成的等式是一个一元二次方程”，这个事件是 C ．A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．确定事件（2）求所抽取的卡片组成的等式不是一元二次方程的概率．【分析】（1）根据随机事件的定义进行判断即可；（2）将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）“抽取的卡片所组成的等式是一个一元二次方程”，这个事件是随机事件． 故选C ；（2）共有224x x -=、244x -=、24x =三种等可能的结果，为一元二次方程的有244x -=、24x =两种是一元二次方程，故P （抽取的卡片组成的等式不是一元二次方程）13=．【点评】考查了列表与树状图法求概率的知识，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）mn=．注意本题是不放回实验．16．（6分）如图，过原点O 的直线与反比例函数ky x=在第一象限交于点A ，过点A 作x 轴垂线，垂足为B ，若4OB =，3tan 2AOB ∠=． （1）直接写出k 的值为 24 ； （2）求点A 的坐标和OA 长．【分析】（1）根据正切的定义得到32AB OB =，而4OB =，得到6AB =，则A 点坐标为(4,6)，然后把(4,6)A 代入ky x=即可求出k ； （2）根据勾股定理计算出OA 的长． 【解答】解：（1）AB x ⊥轴，4OB =，3tan 2AOB ∠=． ∴32AB OB =， 6AB ∴=，A ∴点坐标为(4,6)，把(4,6)A 代入ky x=得，4624k =⨯=， 故答案为24；（2）4OB =，6AB =， (4,6)A ∴，在Rt AOB ∆中，OA ==．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，先利用几何条件确定反比例函数图象上点的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数的解析式，也考查了勾股定理．17．（6分）如图是由两个底在同一直线上的等腰直角三角形组合成的图形，请分别在图1和图2中，仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，作出AD 的中点；（2）在图②中，ABC ∆与DEF ∆的相似比为2:3，2BC CE =，作出BF 的垂直平分线．【分析】（1）延长BA 交CD 的延长线于F ，连接CF 交AD 于点O ，点O 即为所求． （2）延长BA 交CD 的延长线于M ，作直线EM ，直线EM 即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，点O 即为所求．（2）如图2中，直线EM 即为所求．【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【分析】设AB xm =，矩形的面积为2sm ，根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，从而建立x 和s 的二次函数关系式，即可解答本题．【解答】解：设矩形的面积为2sm ，AB xm =，则1(9003)2BC x =-，由题意可得，1(9003)2S AB BC x x =⨯=⨯-，23(300)2x x =--，23(150)337502x =--+，∴当150x =时，S 取得最大值，此时，33750S =，答：当150AB m =，矩形ABCD 的面积最大．【点评】本题考查二次函数的应用以及矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． 19．（8分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m --+=． （1）若方程的两根之积为5-，求m 的值；（2）若方程2210x x m --+=有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x 的一元二次方程2(2)120x m x m --+-=的根的情况．【分析】（1）由方程的两根之积为5-得出15m -+=-，解之可得．（2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m 的取值范围，进一步可判断第二个方程根的判别式的符号，可求得其根的情况． 【解答】解：（1）方程的两根之积为5-， 15m ∴-+=-，解得6m =；（2）方程2210x x m --+=有两个不相等的实数根，∴△0>，即2(2)4(1)0m ---+>，解得0m >，方程2(2)120x m x m --+-=其判别式△22(2)4(12)4m m m m =---=+，∴当0m >时，240m m +>， ∴第二个方程有两个不等实根．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：①当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△0=时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△0<时，方程无实数根．20．（8分）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图．测得其灯臂AB 长为28cm ，灯罩BC 长为15cm ，底座AD 厚度为3cm ，根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60︒．（1）当BC 转动到与桌面平行时，求点C 到桌面的距离；（2）在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=︒时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C1.7≈，sin250.4︒≈，cos250.9︒≈，tan250.5︒≈，结果精确到个位）．【分析】（1）如图2，作C M E F⊥于M ，BP AD ⊥于P ，交EF 于N ，则C M B N =，3PN =，由直角三角形的性质得出1142AP AB ==，BP =，得出3CM BN BP PN ==+=即可；（2）如图3，作CM EF ⊥于M ，作BQ CM ⊥于Q ，BP AD ⊥于P ，交EF 于N ，则90QBN ∠=︒，CM BN =，3PN =，由（1）得26.8QM BN ==，求出25CBQ ∠=︒，由三角函数得出sin 25150.46CQ BC =⨯︒≈⨯=，得出626.832.8CM CQ QM =+=+=即可． 【解答】解：（1）当BC 转动到与桌面平行时，如图1所示： 作CM EF ⊥于M ，BP AD ⊥于P ，交EF 于N ， 则CM BN =，3PN =， 60DAB ∠=︒， 30ABP ∴∠=︒， 1142AP AB ∴==，BP ==314 1.7326.8()CM BN BP PN cm ∴==+=≈⨯+=，即点C 到桌面的距离为26.8cm ；（2）作CM EF ⊥于M ，作BQ CM ⊥于Q ，BP AD ⊥于P ，交EF 于N ，如图2所示： 则90QBN ∠=︒，CM BN =，3PN =， 由（1）得：26.8QM BN ==， 60DAB ∠=︒， 30ABP ∴∠=︒， 145ABC ∠=︒，145903025CBQ ∴∠=︒-︒-︒=︒，在Rt BCQ ∆中，sin CQCBQ BC∠=， sin 25150.46CQ BC ∴=⨯︒≈⨯=，626.832.8()CM CQ QM cm ∴=+=+=，即此时灯罩顶端C 到桌面的高度约为32.8cm ．【点评】本题考查了解直角三角形、翻折变换的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在Rt ABC ∆中，6AC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）若30B ∠=︒，CE 与CF 的数量关系是 相等 ，CF 长为 ；（2）过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，则四边形CEGF 的形状为 ，若10AB =，求CE 的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到60CAB ∠=︒，根据角平分线的定义得到30CAF BAF ∠=∠=︒，推出CEF ∆是等边三角形，得到CE CF =，解直角三角形即可得到结论；（2）根据垂直的定义和角平分线的性质得到90ACF AGF ∠=∠=︒，CF GF =，根据全等三角形的性质得到AFC AFG ∠=∠，推出四边形CEGF 是菱形；根据勾股定理得到8BC =，设C E C F F G x===，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）90ACB ∠=︒，30B ∠=︒， 60CAB ∴∠=︒，CD AB ⊥， 90ADC ∴∠=︒， 30ACD ∴∠=︒，AF 平分CAB ∠，30CAF BAF ∴∠=∠=︒， 60CFE ECF ∴∠=∠=︒， CEF ∴∆是等边三角形， CE CF ∴=， 6AC =，CF AC ∴=，故答案为：相等， （2）FG AB ⊥，FC AC ⊥，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∴∠=∠=︒，CF GF =， 在Rt ACF ∆与Rt AGF ∆中，AF AFCF GF =⎧⎨=⎩，Rt ACF Rt AGF(HL)∴∆≅∆， AFC AFG ∴∠=∠， CD AB ⊥，FG AB ⊥， //CD FG ∴， CEF EFG ∴∠=∠， CEF CFE ∴∠=∠， CE CF ∴=， CE FG ∴=，∴四边形CEGF 是菱形；6AC =，10AB =， 8BC ∴=，设CE CF FG x ===， 6AG AC ==， 4BG ∴=，8BF x ∴=-，222BF FG BG =+，222(8)4x x ∴-=+， 解得：3x =， 3CE ∴=．故答案为：菱形．【点评】本题考查了菱形的拍的还行在，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（9分）如图，△n n AB C 系列三角形是以点A 为直角顶点，两腰在同一直线上的等腰直角三角形(n 为正整数）．以A 为原点，以△n n AB C 的底边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，并设2n n B C n =，经过A ，n B ，n C 的抛物线为n y ． （1）求2y 的表达式，并猜想抛物线n y 的表达式（不必证明）；（2）求经过1n B -，1n C -，n B ，n C 四点的抛物线的顶点P 的坐标，并直接判断△11n n PB C --与△n n PB C ，是否相似（不必说明理由）．【分析】（1）设函数的表达式为：22y ax =，则点2B 的坐标为(2,2)-，将点2B 的坐标代入上式，即可求解；（2）由（1）知，点1n B -的坐标为：(1,1)n n --、点n B 的坐标为：(,)n n -，将上述两点坐标代入函数：2y ax c =+，即可求解．【解答】解：（1）设函数的表达式为：22y ax =，则点2B 的坐标为(2,2)-，将点2B 的坐标代入上式得：24a -=⨯， 解得：12a =-，故抛物线的表达式为：2212y x =-；同理点(,)n B n n -，将点n B 的坐标代入：2n y ax =， 同理可得：21n y x n=-；（2）由（1）知，点1n B -的坐标为：(1,1)n n --、点n B 的坐标为：(,)n n -，将上述两点坐标代入函数：2y ax c =+得：221(1)()n a n c n a n c ⎧-=-+⎨-=+⎩，解得：211221a n n n c n ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 故点P 的坐标为：2(0,)21n n n --，11//n n n n B C PB C --，而1n PC -与1n B -1n C -的夹角和n PC 与n n B C 的夹角不相等，故△11n n PB C --与△n n PB C 不相似．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，解题的关键是确定点n B 的坐标，并要避免符号错误．六、（本大题1小题，12分）23．（12分）如图，正方形ABCD 中，以BF 为底向正方形外侧作等腰直角三角形BEF ，连接DF ，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ．（1）如图1，当点A 与点F 重合时，猜想EG 与CG 的数量关系为 EG CG = ，EG 与CG 的位置关系为 ，请证明你的结论；（2）如图2，当点F 在AB 上（不与点A 重合）时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，点F 在AB 的左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？直接作出判断，不必说明理由．【分析】（1）过E 作EM AD ⊥交AD 的延长线于M ，证明AME ∆是等腰直角三角形，得出12AM EM AE AB ===，证出12DG AG AD AM EM ====，得出GM CD =，证明()GEM CGD SAS ∆≅∆，得出EG CG =，EGM GCD ∠=∠，证出1809090CGE ∠=︒-︒=︒，即可得出EG CG ⊥；（2）延长EG 至H ，使HG EG =，连接DH 、CH 、CE ，证明()EFG HDG SAS ∆≅∆，得出EF HD =，EFG HDG ∠=∠，证明()CBE CDH SAS ∆≅∆，得出CE CH =，BCE DCH ∠=∠，得出90ECH BCD ∠=∠=︒，证明ECH ∆是等腰直角三角形，得出12CG EH EG ==，EG CG ⊥；（3）延长EG 至H ，使HG EG =，连接DH 、CH 、CE ，证明()EFG HDG SAS ∆≅∆，得出EF HD =，EFG HDG ∠=∠，证明()CBE CDH SAS ∆≅∆，得出CE CH =，BCE DCH ∠=∠，得出90ECH BCD ∠=∠=︒，证明ECH ∆是等腰直角三角形，得出12CG EH EG ==，EG CG ⊥．【解答】解：（1）EG CG =，EG CG ⊥；理由如下： 过E 作EM AD ⊥交AD 的延长线于M ，如图1所示： 则90M ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB AD CD ∴==，90BAD D ∠=∠=︒， 90BAM ∴∠=︒，BEF ∆是等腰直角三角形，45BAE ∴∠=︒，AE AB =， 45MAE ∴∠=︒，AME ∴∆是等腰直角三角形，12AM EM AE AB ∴===， G 是DF 的中点，12DG AG AD AM EM ∴====， GM CD ∴=，在GEM ∆和CGD ∆中，90EM DG M D GM CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()GEM CGD SAS ∴∆≅∆， EG CG ∴=，EGM GCD ∠=∠， 90GCD DGC ∠+∠=︒， 90EGM DGC ∴∠+∠=︒， 1809090CGE ∴∠=︒-︒=︒， EG CG ∴⊥；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：延长EG 至H ，使HG EG =，连接DH 、CH 、CE ，如图2所示： G 是DF 的中点，FG DG ∴=，在EFG ∆和HDG ∆中，EG HGEGF HGD FG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG HDG SAS ∴∆≅∆，EF HD ∴=，EFG HDG ∠=∠， BEF ∆是等腰直角三角形，EF BE ∴=，45BFE FBE ∠=∠=︒， BE DH ∴=，四边形ABCD 是正方形，//AB CD ∴，90ABC BCD ∠=∠=︒，BC CD =， AFD CDG ∴∠=∠， 135AFE CDH ∴∠=∠=︒， 9045135CBE ∠=︒+︒=︒， CBE CDH ∴∠=∠，在CBE ∆和CDH ∆中，BE DH CBE CDH BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBE CDH SAS ∴∆≅∆， CE CH ∴=，BCE DCH ∠=∠， 90ECH BCD ∴∠=∠=︒， ECH ∴∆是等腰直角三角形， EG HG =， 12CG EH EG ∴==，EG CG ⊥； （3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：延长EG 至H ，使HG EG =，连接DH 、CH 、CE ，如图3所示： G 是DF 的中点，FG DG ∴=，在EFG ∆和HDG ∆中，EG HGEGF HGD FG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG HDG SAS ∴∆≅∆，EF HD ∴=，EFG HDG ∠=∠， BEF ∆是等腰直角三角形， EF BE ∴=，90BEF ∠=︒， BE DH ∴=，四边形ABCD 是正方形，//AB CD ∴，90ABC BCD ∠=∠=︒，BC CD =， BNF CDG ∴∠=∠，360EFG BNF BEF ABE HDG CDG CDH ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒， BEF ABE CDH ∴∠+∠=∠，ABC ABE CDH ∴∠+∠=∠，即CBE CDH ∠=∠， 在CBE ∆和CDH ∆中，BE DH CBE CDH BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBE CDH SAS ∴∆≅∆， CE CH ∴=，BCE DCH ∠=∠， 90ECH BCD ∴∠=∠=︒， ECH ∴∆是等腰直角三角形， EG HG =， 12CG EH EG ∴==，EG CG ⊥．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键。

2017—2018学年度九年级数学期末测试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）. 1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补3．矩形的长为x ，宽为y ，面积为8，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣8x +12=0的两个根，则该三角形的周长是（ ）A ．10 B ．14 C ．10或14D ．不能确定5．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．b B ．a=2b C ．b D ．a=4b6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如上图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①ab ＜0； ②b 2＞4ac ；③3a +c ＜0；④a +b +2c ＜0．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．方程x 2=2x 的解为 ．8．已知两个相似的三角形的面积之比是16：9，那么这两个三角形的周长之比是 ．CDBA正面9．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标 志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有 黄羊 只． 10．如下图1，双曲线(0)ky k x=≠上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的表达式为 ______ ．11．如下图2，在A 时测得某树的影长为4m ，B 时又测得该树的影长为16m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．12．如下图3，四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE CE 的长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．(1)计算：sin 245°＋cos30°•tan60°；(2) 如图，已知：∠BAC =∠EAD ，AB =20.4，AC =48，AE =17，AD =40．求证：△ABC ∽△AED ．14．(1)如图（1），将平行四边形剪一刀，再拼成一个与其面积相等的矩形；(2)如图（2），将菱形剪两刀，再拼成一个与其面积相等的矩形.15．市某中学拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行开展安全逃生疏散演练活动，请完成下列问题：（1）周二没有被选择的概率；（2）选择2天恰好为连续两天的概率．16．已知关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0．（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．（2）若该方程一个根为﹣1，求方程的另一个根．17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在△ABC中，∠A=30°，cos B=45，ACAB的长．19．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）已知2017年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2018年达到1440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？20．如图（1），太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘.如图（2）是该太极揉推器的左视图，立柱AB的长为125cm，支架OC的长为40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm，支架OC与立柱AB的夹角OCA=120°，转盘的直径DE为60cm，点O是DE的中点，支架OC与转盘直径DE垂直.求转盘最低点E离地面的高度.（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）.21．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．（4）直接写出抛物线上一点P的坐标，使得S△PAB=S△ABC。