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2016届高考理科数学第一轮课时作业题36

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精品word 你我共享 知识改变命运 第2讲 函数的单调性与最值

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．(2014·潍坊模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是 ( )

A．y＝log2x B．y＝x C．y＝－12x D．y＝1x

解析 y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数；y＝x在(0，＋∞)上是增函数；y＝

1

2

x在(0，＋∞)上是减函数，y＝－12x在(0，＋∞)上是增函数；y＝1x在(0，

＋∞)上是减函数，故y＝1x在(0,1)上是减函数．故选D. 答案 D 2．(2014·济南模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 ( ) A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1] 解析 ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1.①

又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数． ∴a＋1>1，∴a>0.② 由①②知，0答案 D 3．(2014·长沙月考)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1x精品word 你我共享 知识改变命运 的取值范围是 ( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析 由f(x)为R上的减函数且f1x

得 1x>1，x≠0，即 |x|<1，x≠0.∴－1答案 C 4．(2014·广州模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单

调递增，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c

解析 ∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f－12＝f

5

2，又y＝f(x)在(1，＋∞)

上单调递增， ∴f(2)＜f52＜f(3)，即b＜a＜c. 答案 B 5．已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( ) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

解析 ∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x

1

∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，

即f(x1)＜0，f(x2)＞0. 精品word 你我共享 知识改变命运 答案 B 二、填空题 6．(2014·中山质检)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________． 解析 由题意知，

当x≥0时， y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 二次函数的图象如图． 由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数． 答案 (－∞，－1]，[0,1] 7．(2015·沈阳质检)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析 由于y＝13x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案 3 8．设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．

解析 f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1x＋2a＝a－2a2－1x＋2a，

∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数． 精品word 你我共享 知识改变命运 ∴

 2a2

－1＞0，

－2a≤－2⇒ 2a2－1＞0，a≥1⇒a≥1.

答案 [1，＋∞) 三、解答题

9．已知函数f(x)＝－2x＋1，x∈[0,2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－2x1＋1－－2x2＋1

＝－2x2＋1－x1－1x1＋1x2＋1＝－2x2－x1x1＋1x2＋1. 由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

故f(x)在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f(x)＝－2x＋1在区间[0,2]的左端点

取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－23. 10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝ fx，x>0，－fx，x<0.若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式； (2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围． 解 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1， ∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. ∵对任意实数x均有f(x)≥0恒成立，

∴ a＞0，Δ＝a＋12－4a≤0，∴ a＞0，a－12≤0. ∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1， ∴F(x)＝ x2＋2x＋1，x＞0，－x2－2x－1，x＜0. 精品word 你我共享 知识改变命运 (2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，

∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6. 故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 能力提升题组 (建议用时：25分钟)

11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝fxx在区间(1，＋∞)上一定 ( ) A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

解析 由题意知a＜1，又函数g(x)＝x＋ax－2a在[|a|，＋∞)上为增函数，故

选D. 答案 D

12．(2014·武汉二模)若f(x)＝ ax，x＞1，4－a2x＋2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ( ) A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8) 解析 函数f(x)在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f(x)在(－∞，1)上

的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即 a＞1，4－a2＞0，a≥4－a2＋2，解得4≤a＜8. 答案 B 精品word 你我共享 知识改变命运 13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝ a，a≤b，b，a＞b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

解析 依题意，h(x)＝ log2x，0＜x≤2，－x＋3，x＞2. 当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，

当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数， ∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案 1 14．已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，任取1≤x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋12x1－12x2＝x1－x22x1x2－12x1x2， ∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0. 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.

(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立， 则 x2＋2x＋a＞0，x≥1⇔ a＞－x2＋2x，x≥1，等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值． 只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值． φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， 精品word 你我共享 知识改变命运 ∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3. ∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。 东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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2016届高考理科数学第一轮课时作业题5

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第二章 函数、基本初等函数第7讲 函数的图象基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________．解析 ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2都满足f (x )＝0，此时x 有6个值．∴f (x )的零点个数为6.答案 62．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度．解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，将y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再向下平移1个单位长度，得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象． 答案 3 13．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案 (－1,0)4．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 解析 如图，作出y ＝x 2－|x |＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －14＜1＜a ，解得1＜a ＜54.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 5．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________.解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x ，依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象可由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.答案 e －x －17．函数f (x )＝log 21＋x 1－x(x ≠0)的图象在第________象限． 解析 函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)，当x ∈(0,1)时，1＋x 1－x ＝－1＋21－x＞1，f (x )＝log 21＋x 1－x＞0，此时函数f (x )的图象在第一象限；又函数f (x )是奇函数，所以x ∈(－1,0)时，函数f (x )的图象在第三象限．答案 一、三8．(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 答案 (0,1]二、解答题9．已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)， 作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m ＜1，∴M ＝{m |0＜m ＜1}．能力提升题组(建议用时：25分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，给出下列不等式：①f (x 1)＋f (x 2)<0；②f (x 1)＋f (x 2)>0；③f (x 1)－f (x 2)>0；④f (x 1)－f (x 2)<0.其中成立的是________(填序号)．解析 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.答案 ④2．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3.又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t 和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.答案 83．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13＜k ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，04．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－1x＋2，∴y＝f(x)＝x＋1x(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋ax＝x＋a＋1x，g′(x)＝1－a＋1x2.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－a＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞).薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2016届高考理科数学第一轮课时作业题10

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第二章函数、基本初等函数第9讲函数的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案①2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故①正确．答案①3. (2014·江西六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是，B的速度是，经过________小时，AB间的距离最短．解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案 2584．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2 x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．答案 105．(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是________(填序号)．解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故②正确．答案 ②6. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 107．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案 168. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得x40＝40－y40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，S max＝400.答案20二、解答题9．(2014·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x2 5－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．10. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20＜P ≤26)， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20＜P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．能力提升题组(建议用时：25分钟)1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是________．解析 由题目可知加密密钥y ＝kx 3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，解得x ＝12. 答案 122.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________．解析 由三角形相似得24－y24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.答案 x ＝15，y ＝123．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 16 4．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)，由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

高考数学课时作业36 文(含解析)北师大版(1)

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课时作业(三十六)一、选择题1．(2012年福建)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：圆柱的三视图，分别为矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形．答案：D2．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.答案：A3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由所给三视图与直观图的关系，可以判定对应的几何体为如图所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD.答案：B4．(2012年沈阳模拟)一个锥体的主(正)视图和左(侧)视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：俯视图是选项C的锥体的正视图不可能是直角三角形．另外直观图如图1的三棱锥(其中OP⊥平面OEF，OE⊥EF，OP＝OE＝EF＝1)的俯视图是选项A，直观图如图2的三棱锥(其中OP、OE、OF两两垂直，且长度都是1)的俯视图是选项B，直观图如图3的四棱锥(其中OP⊥平面OEGF，底面是边长为1的正方形，OP＝1)的俯视图是选项D.答案：C5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.答案：A6．(2012年太原一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．15＋ 3 B.45＋32C．45＋ 6 D.15＋62解析：据三视图可知，该几何体是一个正方体(棱长为2)去掉一角(左前上角)而得，直观图如图所示，其中，DA＝DB＝DC＝1∴△ABC是边长为2的等边三角形，∴其表面积为S＝6×22－3×12＋12×(2)2×32＝45＋32.答案：B二、填空题7．(2012年吉林质检)已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB＝AC，四边形BCDE 为矩形)，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．解析：直观图如图几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图四的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.答案：①②③④8．(2011年辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧(左)视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析：设棱柱的底面边长(侧棱长)为a ，据题意，12a 2×sin60°×a ＝23，∴a ＝2.该正三棱柱的直观图如右图，其左视图是图中的阴影面，是一个边长分别为23的矩形，其面积为2 3.答案：2 39．(2012年浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.解析：由图可知三棱锥底面积S ＝12×1×3＝32(cm 2)，三棱锥的高h ＝2 cm ，根据三棱锥体积公式，V ＝13Sh ＝13×32×2＝1(cm 3)．答案：1三、解答题10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝3a，AD是正棱锥的高，则AD＝3a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝12×3a×3a＝32a2.11．(2012年太原模拟)一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．解：如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm，则OC＝22x，∴22x30＝40－x40，解得x＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22) cm.12．(2012年大连模拟)已知正三棱锥V－ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出左视图的面积．解：(1)如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴左视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.[热点预测]13．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为( )A.3＋2＋62 B.2＋3＋62 C.6＋2＋32D.3＋22解析：据三视图可知，该几何体为一个四棱锥，直观图如图所示，其中PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴PB ＝PA 2＋AB 2＝2， PC ＝PA 2＋AC 2＝ 3.设AD 的中点为E ，则四边形ABCE 为正方形， 且AE ＝ED ＝1，AC ＝CD ＝2， ∴∠ACD ＝90°.∵AB ⊥BC ，BC ⊥PA ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴∠PBC ＝90°； ∵CD ⊥AC ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥平面PAC ，∴∠PCD ＝90°.∴该几何体的侧面积S ＝S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＝12＋22＋62＋1＝3＋2＋62.答案：A14．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同，故选D.答案：D15．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．解析：三棱锥的正(主)视图如图所示，故正(主)视图的面积为12×2×2＝2.答案：2。

2016届高考理科数学第一轮课时作业题20

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第6 讲对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．log a b·log c b＝log c aB．log a b·log c a＝log c bC．log a(bc)＝log a b·log a cD．log a(b＋c)＝log a b＋log a c解析log a b·log c a＝log a b·1log a c ＝log a blog a c＝log c b，故选B.答案 B2．(2014·日照模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是()解析当x＝1时，函数无意义，故排除B，D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．答案 A3．(2014·通州模拟)若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则() A．a＜b＜c B．c＜a＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，∴a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝2ln x ＝ln x 2.又y ＝ln x 是增函数，x 2＜x ，∴b ＜a . ∵c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x (ln 2x －1)＞0， ∴c ＞a ，∴b ＜a ＜c ，故选C. 答案 C4．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，13)D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D. 答案 D5．(2014·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则 ( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案 B 二、填空题6．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．(2014·重庆卷)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析 显然x ＞0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 答案 －148．(2014·淄博一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题 9．已知函数f (x )＝lg1－x1＋x， (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性．解 (1)要使f (x )有意义，需满足1－x1＋x＞0，即⎩⎨⎧ 1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎨⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg1＋x1－x＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg1－x 11＋x 1－lg1－x 21＋x 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－(x 2－x 1).∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－(x 2－x 1)＞1，∴lg1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－(x 2－x 1)＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12()log 2a x ＋3log a x ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝ ( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 B13．(2015·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________． 解析 由题意可知lna 1－a ＋lnb 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1414．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]．(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3， 综上，k ∈(－∞，－3)．薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。