最新人教版七年级数学上册第一章有理数《有理数》教案2
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课堂探究
知识点一 有理数的定义（★★★）
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数.
有理数可以写成m n
（m ，n 是整数，n ≠0）的形式． 由定义可知，正整数、正分数都是正数，负整数、负分数都是负数，所以有理数也可按符号分为正数、0、负数．
有以下五种说法：①所有的整数都是正数；②所有的正数都是整数；③小学学过的数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中除了正数就是负数．其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
思路分析：整数包括正整数、负整数和0，故①错误；正的小数不是整数，故②错误；小学学过的数包括0，它不是正数，故③错误；整数和分数统称为有理数，故④正确；在有理数中除了正数，还有负数和0，故⑤错误．
答案：A
1．理解和识别整数时，谨防片面地认为整数是非负整数，或认为整数仅包括正整数和负整数，忽略了0.
2．分数与有限小数和无限循环小数可以互化，但不是所有的小数都能表示成分数，如“π”就不能用分数表示．
知识点二 数轴（★★★）
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．如图1.2－1.
图1.2－1
数轴的定义包括三层含义：
（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸；
（2）数轴有三个要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定均是根据实际需要“规定”的，通常取向右为正方向，也有向上的．单位长度的大小也是根据题目需要按适当比例确定的．数轴的画法：
（1）画一条直线（一般为水平的）；
（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下方标上“0”）；
（3）确定正方向（一般向右为正），用箭头表示出来；
（4）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，….
下列语句：①数轴上的点只能表示整数；②数轴上的一个点只能表示一个数；③数轴是一条直线；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤每个有理数都可以在数轴上找到相应的点．其中正确的说法个数为（）．
A．1 B．2 C．3 D．4
思路分析：根据数轴的定义可知说法②③⑤是正确的．
答案：C
1．由数轴的画法可知，正半轴上的点表示正数；负半轴上的点表示负数，原点表示0.
2．任何一个有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可能表示其他数．
知识点三相反数（★★）
1．相反数的定义
（1）代数定义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，0的相反数是0.
（2）几何定义：数轴上，在原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数.
理解相反数要注意：“0的相反数是0”是相反数定义的一部分；相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数；“只有符号不同”是指除符号不同外，其余部分完全相同．2．相反数的表示
（1）求一个数a的相反数，只要在这个数前面加上一个“－”就可以了．
（2）字母a可以表示有理数，也可以表示一个式子，如a＝m＋n，则a的相反数便是－a＝－（m＋n），这里m＋n是一个整体，因此添加“－”前，应先对m＋n加括号．下列说法：
①－m和m互为相反数，因此它们一定不相等；②正数和负数互为相反数；③a的相反数一定是负数；④＋（－）8与－（＋）8互为相反数．其中错误的说法有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个
思路分析：①互为相反数的两个数有可能相等，如0和0，所以这个说法是错误的；②如2和－3不是相反数，所以这个说法是错误的；③如a＝－3，a的相反数是3，所以这个说法是错误的；④＋（－）8＝－8，－（＋）8＝－8，它们相等，所以它们不互为相反数．答案：D
1．数轴上表示互为相反数的两个数的点关于原点对称；互为相反数的两个数的和为0；相反数等于本身的数只有0.
2．当一个数前面有多个符号时，为简化形式，需要化简．如＋3＝3；根据＋5的相反数为－5，得－（＋5）＝－5，－（－6）表示－6的相反数或6的相反数的相反数，因此－（－6）＝6.化简时，若一个数的符号中“－”为奇数个，则结果为负；若“－”为偶数个，则结果为正．
知识点四绝对值（★★★）
一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
下列说法正确的有（）．
①a的绝对值不可能是负数；
②如果两个数不相等，那么它们的绝对值也不相等；
③两个负有理数，绝对值大的数离原点远；
④若|a|＝3，则a＝3或a＝－3.
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路分析：根据绝对值的定义可知①③④是正确的．
答案：C
数轴上任何一点到原点的距离均为正数或0，故a的绝对值一定是非负数，即|a|≥0；互为相反数的两个数到原点的距离相等，因此互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；绝对值最小的数是0.
知识点五有理数大小的比较（★★）
数轴比较法则：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
正负比较法则：正数大于负数；正数大于0；0大于负数；两个负数绝对值大的反而小.
比较两个有理数的大小，具体来讲有以下四类情况：
（1）两个正数比较大小：①两个小数比较大小，先看整数部分，整数部分大的那个数大；整数部分相同的十分位上的数大的那个数大，依此类推．②两个分数比较大小，同分母分数，分子大的数大；异分母分数，先通分再比较大小．③比较分数与小数的大小，一般将小数化成分数，再比较大小．
（2）一正一负比较大小：正数大于负数．
（3）0与正数、负数比较大小：0小于正数，0大于负数．
（4）两个负数比较大小：先求这两个负数的绝对值，绝对值大的反而小．
比较13，－12，－|－13
|,0的大小． 思路分析：根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，可知本题难点是比较两个负数－12，－|－13
|的大小． 解：∵|－12|＝12，－|－13|＝－13
， 而|－13|＝13
， 又12＞13，∴－12＜－13
， 即－12＜－|－13
|. 综上，13＞0＞－|－13|＞－12.
1．比较有理数的大小是学习有理数一章必须熟练掌握的基本技能，在运用有理数知识解决相关问题时，经常需要比较有理数的大小．
2．比较有理数的大小，易出错的主要原因是分类不清，“眉毛胡子一把抓”．比较有理数的大小，一般至少要分两类：即一类同号，一类异号．。
