第一章有理数
单元总结【思维导图】
【知识要点】
知识点一有理数基础概念
有理数（概念理解）
有理数的分类（两种）（见思维导图）
⏹数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
✓数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
✓数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
⏹相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
⏹绝对值
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）⏹比较大小
（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
（2）方法总结：
两个正数比较大小，与小学一致；正数与零比较，正数大于零；正数与负数比较，正数大于负数；负数与零比较，负数小于零；两个负数比较，绝对值大的反而小。
【典例分析】
1．x=7，则x=___7或-7____.
【解析】绝对值概念的理解。
2．按从小到大的顺序用“＜”号把下列各数连接起来：_-3<-1.6<0<1.6<3___．
1.6，﹣1.6，0，3，﹣3．
【解析】
方法一：在数轴上标出，右边的数字大于左边的。
方法二：利用绝对值比较大小（注意两个负数如何比较大小）。
3．若∣2x -4∣+(3y+9)2=0,则x+y=_____-1________
【解析】本题考查非负数的应用及代数式的求值。根据已知条件可知，2x -4=0和3y+9=0，求得x ，y 的值。 4．当m=___-1___时，代数式3m -1与2(1-m)的值互为相反数。
【解析】本题考查相反数的概念和解一元一次方程，根据已知条件，列出方程求解即可。
知识点二 有理数的加减法
⏹ 有理数的加法（重点）
有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
◆ 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
◆ 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ◆ 互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
◆ 一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：
◆ 两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a b b a +=+；
◆ 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即
()()a b c a b c ++=++。 ⏹ 有理数的减法
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即()a b a b -=+-。
注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
【典例分析】
1．若|a |= 3，|b|=1 ，且a > b ，那么a -b 的值是（ D ）
A．4B．2C．-4D．4或2
【解析】本题考查了学生对绝对值的性质及有理数减法的理解，关键在绝对值等于一个正数的值有两个。【详解】有题意可得，a=±3，b=±1
而a>b 所以分两种情况：
1）a=3，b=1，所以a-b=2
2）a=3，b=-1，所以a-b=4 所以选D
2．将6-(+3)+(-2) 改写成省略括号的和的形式是（A）
A ．6-3-2
B ．-6-3-2
C ．6-3+2
D ．6+3-2
【解析】本题考察了有理数加减混合运算，将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后，才能省略括号和加号。
知识点三 有理数的乘除法
⏹ 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数()0a a ≠的倒数是1
a
） 多个有理数相乘的法则及规律：
（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
⏹ 有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即a b b a ⨯=⨯。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯。
⏹ 有理数的除法
有理数除法法则：
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即()10a b a b b
÷=⨯≠。 （2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
⏹ 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。
（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
⏹ 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律
【典例分析】
1．（2019·黑龙江初一期末）计算
（1）215132824
⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭ （2）22
41233⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭
