函数的极值2

极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极

小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，

所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，

f(x)有最小值f(-2)=− .

2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练）函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。

②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。

③求极值的步骤： 第一步：求导数'()f x ；第二步：求方程'()0f x =的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化，若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。

例：1．函数()1f x x x=+的极大值点为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．不存在2．函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值点为1x ，4xB ．()f x 的极大值点为2xC ．()f x '有唯一的极小值D ．函数()f x 在(),a b 上的极值点的个数为23．已知函数()21x x x f x e ++=，则()f x 的极小值为___________.4．已知函数322()(23)f x x ax a x a =+-++，a R ∈. (1)若2a =-时，求：函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x =在1x =-处的切线与直线20x y -=平行，求：实数a 的值. 举一反三1．已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．函数()f x 的极大值为1e，无极小值B ．函数()f x 的极小值为1e，无极大值C ．函数()f x 的极大值为0，无极小值D ．函数()f x 的极小值为0，无极大值2．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，则 m 的取值范围是（ ） A ．47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．47,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．710,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．710,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知函数()2exx af x -=，1x =是函数()f x 的一个极值点，则=a ______． 4．设函数()322f x x x x =+--.(1)求()f x 在2x =-处的切线方程； (2)求()f x 的极小值点和极大值点.5．设a ∈R ，函数()()()322112132x a a x x x a f =-+++.(1)若函数()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，求实数a 的值；(2)若函数()f x 在2x =处取得极小值，求实数a 的值.巩固提升一、单选题1．已知函数()sin f x x ax =+在3x π=处取得极值，则=a （ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．322．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间(1,1)-上，函数()f x 是增函数B ．在区间(3,2)-上，函数()f x 是减函数C ．2-为函数()f x 的极小值点D ．2为函数()f x 的极大值点3．已知函数()3221f x x x x =-+-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值为2-B ．()f x 的极大值为2327-C ．()f x 在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间(),0-∞上单调递减4．函数32()f x x ax bx =-+在1x =处有极值为4，则-a b 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．6D ．6-5．已知三次函数()3221()(41)152723f x x m x m m x =--+--+在定义域R 上无极值点，则m的取值范围是（ ） A ．(,2)(4,)-∞+∞ B ．(,2][4,)-∞+∞ C ．[]2,4D ．()2,46．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，则ω的值等于（ ）A ．1B ．3C ．5D ．6二、多选题7．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．38．已知函数()e xxf x =，下列说法正确的有（ ） A ．312ef ⎛⎫⎪⎭= ⎝B ．()f x 只有一个零点C ．()f x 有两个零点D ．()f x 有一个极大值点三、填空题9．已知函数2()exx x af x +-=在1x =处取得极值，则()f x 的极小值___________. 10．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____. 四、解答题11．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 12．已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值.(1)求a ，b 的值； (2)求函数()f x 的单调区间.。

稳定点或驻点 .
(2) 若 f(x)在 x0不可 , 则 导 x0也可能是 .例极 ,如值 f(x)|x|在x0不可 , 但 导 x0是其极.小值
结论 f(x)的 极 值 点 只 可 能稳是定它点的（ f(x即 )的 零)点
和f(x)不 存 在 的 . 但点 f (x)在 其 稳 定 点 和 不 可
则 ( a ,b ) 内 在 F ( x ) 有 F ( a )或 ,F ( x ) F ( b ).
例3. 证明 x0, ex1x.
证明：
令f(x)ex(1x),则 f(0 )0 , f(x)ex 1 .
当 x 0 时 ,f(x ) 0 ,故 f(x ) f( 0 ); 当 x 0 时 ,f(x ) 0 ,故 f(x ) f( 0 ).
则(a,在 b)内f有 (x)g(x).
y f(x)
yg(x)
f(a)g(a)
Th2几 何 意y义f(x： )在
M
yg(x)之上 .
o a xb
x
证明：令F(x)f(x)g(x), 则在 (a,b)内， F(x)f(x)g(x)0, (或F(x)0) F(x)F(a), (或F(x)F(b)).
Th. 2' 若F(x)满足 (1) 在[a,b]可导; ( 2 )在 ( a ,b ) 内 F ( x ) 有 0 ,或 F ( x ) 0 .
从而得证.
例4. 证明 x0当 时 , six nxx3. 3 !
证明：令 f(x)sixn xx3,则 f(0 )0 , 3 !
f(x)coxs1x2 , 2
f(x)sixn x.
当 x 0 时 ,sx i x n ,故 ( 0 , ) 内 在 f ( x ) 0 ,

知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：