多元函数的极值和最值

多元函数的极值与最值1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。

步骤：1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)2)再求ABCA=f xx(x0, y0)B=f xy(x0, y0)C=f yy(x0, y0)3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.=3x2−3y=0解：∂z∂x∂z=3y2−3x=0∂y联立得驻点为(0,0),(1,1)A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处无极值。

在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (1, 1) =x3+y3−3xy=−12.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。

解：f x’=2x=0F y’=2y-2=0联立得驻点为(0,1)A=f xx(x0, y0) =2B=f xy(x0, y0) =0C=f yy(x0, y0) =2在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (0, 1) = 03.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z故xyz=a, z=axyS=xy+2(x axy +y axy)=xy+2(ay+ax)S x’=y+2(−ax2)=0S y ’= x+2(−ay2)=0解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。

关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。

在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。

首先，让我们来了解一下多元函数的概念。

在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。

多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。

因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。

下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。

首先是多元函数的极大值和极小值的求解。

要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。

第一步是计算多元函数的偏导数。

在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。

例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。

我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。

通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。

第三步是找到临界点。

临界点是指函数定义域的边界点。

我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。

为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。

通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。

接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。

要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。

首先，确定给定区域的边界条件。

给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。

第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。

这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。

拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。

大学数学易考知识点多元函数的极值和最值大学数学易考知识点：多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值是大学数学中的一个重要概念，在数学分析和最优化理论中具有广泛的应用。

本文将介绍多元函数的极值和最值的相关概念、计算方法及其应用。

一、极值和最值的定义在介绍多元函数的极值和最值之前，首先需要了解极值和最值的定义。

1. 极值：在某个定义域内，如果一个函数在某一点的某个邻域内的函数值始终大于（或小于）该点的函数值，那么这个函数在该点就有一个极大值（或极小值）。

极大值和极小值统称为极值。

2. 最大值和最小值：在某个定义域内，如果一个函数在该定义域内的所有函数值中存在一个最大值（或最小值），那么这个函数在该定义域就有一个最大值（或最小值）。

二、求解多元函数的极值和最值为了求解多元函数的极值和最值，需要掌握以下几种常用的计算方法。

1. 偏导数法偏导数法是求解多元函数极值和最值的一种常用方法。

步骤如下：（1）求出多元函数的所有偏导数。

（2）令所有偏导数等于零，解得所有的稳定点。

（3）计算这些稳定点的函数值，并找到其中的最大值和最小值。

2. 条件极值法条件极值法是在满足一定条件下求解多元函数的极值和最值的方法。

步骤如下：（1）建立多元函数的约束条件。

（2）应用拉格朗日乘数法或者将约束条件代入目标函数，将多元函数的求解问题转化为含有一个变量的函数的求极值问题。

（3）对这个含有一个变量的函数应用一元函数的求导法则，求得极值点。

（4）将求得的极值点代入原多元函数，求得极值和最值。

3. 边界法边界法是求解多元函数的最值的一种方法。

步骤如下：（1）找到多元函数的定义域的边界。

（2）计算定义域的边界上的函数值，并找出其中的最大值和最小值。

三、多元函数极值和最值的应用多元函数的极值和最值在众多学科中都有着广泛的应用，这里介绍其中的两个应用领域。

1. 经济学中的优化问题在经济学中，很多问题可以抽象为多元函数的极值和最值问题。

例如，生产者如何选择生产要素的投入比例以最大化利润，消费者如何选择商品的购买数量以最大化效用等。

多元函数的极值最值及应用多元函数是指含有多个自变量的函数，其极值是指在定义域内取得的函数值中最大值和最小值。

对于多元函数的极值最值的求解，我们一般采用找到驻点和边界点的方法，即求取函数的偏导数，然后解方程组得到驻点，再通过分析边界点得到函数的极值。

首先，对于多元函数的驻点，我们需要求取函数的偏导数。

对于一个二元函数，例如f(x,y)，我们需要求取\frac{\partial f}{\partial x} 和\frac{\partialf}{\partial y}。

一般来说，驻点就是满足\frac{\partial f}{\partial x} = 0 和\frac{\partial f}{\partial y} = 0 的点。

对于一个三元函数，例如g(x,y,z)，我们需要求取\frac{\partial g}{\partial x}，\frac{\partial g}{\partial y} 和\frac{\partial g}{\partial z}，满足\frac{\partial g}{\partial x} = 0，\frac{\partial g}{\partial y} = 0 和\frac{\partial g}{\partial z} = 0 的点就是驻点。

然后，我们需要通过求取边界点来确定函数的极值。

对于一个二元函数，边界点一般是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1)、(x_2, y_2) 等。

对于一个三元函数，边界点则是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1, z_1)、(x_2, y_2, z_2) 等。

一般来说，我们通过求取上述的驻点和边界点，然后将它们代入多元函数中，比较得到的函数值来确定极值最值。

对于驻点，我们可以通过计算二阶偏导数来判断函数取得的是极大值还是极小值。

如果二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极小值；如果二阶偏导数的行列式小于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极大值。

多元函数极值和最值知乎（原创实用版）目录一、什么是多元函数的极值与最值二、多元函数极值与最值的求解方法1.驻点法2.海塞矩阵法3.泰勒展开法三、多元函数极值与最值的应用1.优化问题2.经济学中的应用3.物理学中的应用正文一、什么是多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值是数学中的一个重要概念，它研究的是多元函数在某一点上的最大值或最小值。

在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。

二、多元函数极值与最值的求解方法1.驻点法驻点法是求多元函数极值与最值的一种常用方法。

首先，求出函数的驻点，即函数偏导数为零的点。

然后，通过对驻点处的二阶导数进行判断，确定该点是极大值、极小值还是鞍点。

2.海塞矩阵法海塞矩阵法是一种基于梯度的求极值方法。

对于一个多元函数，我们首先求出它的梯度，然后构造一个称为海塞矩阵的二阶矩阵。

通过判断海塞矩阵的正定性，我们可以得到函数的极值情况。

3.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒展开式的求极值方法。

对于一个多元函数，我们在某一点附近进行泰勒展开，并根据展开式的高阶项来判断该点附近的极值情况。

三、多元函数极值与最值的应用1.优化问题在优化问题中，我们通常需要求一个多元函数的最小值。

通过运用上述求极值的方法，我们可以找到函数的最小值点，从而解决优化问题。

2.经济学中的应用在经济学中，多元函数的极值与最值问题常常出现在生产、消费等领域。

通过研究多元函数的极值与最值，我们可以找到最优的生产或消费策略，从而提高经济效益。

3.物理学中的应用在物理学中，多元函数的极值与最值问题常常出现在力学、电磁学等领域。

多元函数极值和最值知乎（原创版）目录一、多元函数极值与最值的概念二、求解多元函数极值的方法1.驻点法2.海塞矩阵法3.泰勒展开式法三、多元函数极值应用实例四、总结正文一、多元函数极值与最值的概念多元函数极值与最值是数学中的一个重要概念，它涉及到多个变量的函数在某些点上的最大值或最小值。

在多元函数中，极值通常是指函数在某点上的局部最大值或最小值，而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。

在求解多元函数的极值与最值时，我们需要找到函数的驻点，即函数在某点上的一阶导数为零的点。

二、求解多元函数极值的方法1.驻点法驻点法是求解多元函数极值的一种常用方法。

首先对函数进行求导，然后令导数等于零，求出所有可能的驻点。

接着，通过二阶导数检验法判断这些驻点是极值点还是鞍点。

最后，将函数在各个驻点上的函数值进行比较，得出函数的极值。

2.海塞矩阵法海塞矩阵法是一种基于梯度的求解多元函数极值的方法。

在求解过程中，首先需要计算函数的梯度，即函数对各个变量的偏导数。

然后，通过梯度求解方法，得到函数的驻点。

最后，根据驻点处的二阶导数判断极值情况。

3.泰勒展开式法泰勒展开式法是一种基于函数展开的求解多元函数极值的方法。

在求解过程中，首先需要对函数进行泰勒展开，然后通过比较展开式中各项的系数来判断函数在各个点上的极值情况。

三、多元函数极值应用实例假设有一个多元函数 f(x, y) = x^2 * y - y^2，我们需要求解该函数的极值。

首先，对函数进行求导，得到 f"(x, y) = 2x * y - 2y。

然后，令 f"(x, y) = 0，求得 x = y 或 x = -y。

将这两个方程代入原函数，得到四个可能的驻点：(0, 0)，(1, 1)，(-1, -1) 和 (0, -1)。

接着，通过二阶导数检验法判断这些驻点是极值点还是鞍点。

对于 (0, 0) 和 (1, 1)，二阶导数 f""(x, y) = 2 > 0，因此这两个点是极小值点；对于 (-1, -1)，二阶导数 f""(x, y) = -2 < 0，因此这个点是极大值点。

8.6多元函数的极值和最值学习一元函数的导数应用时，借助于导数解决了某些极值和最值问题.本节介绍如何利用偏导数解决有关多元函数的极值和最值问题.本节的内容和方法和一元函数相对应，是一元函数极值和最值的推广.8.6.1 二元函数极值的概念1. 二元函数极值定义定义.设),(000y x P 是函数),(y x f z =的定义域D 内一点，若存在0P 的一个包含在D 内的邻域，对于该邻域内所有异于点0P 的点),(y x P ，都有),(),(00y x f y x f <或),(),(00y x f y x f >,则称),(00y x f 是函数),(y x f z =的极大值(或极小值)，称0P 为),(y x f z =的极大值点(或极小值点)．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．例如：4),(22++=y x y x f 在点)0,0(处取得极小值4. xy z =在)0,0(的任意邻域内，既能取正值，也能取负值，所以)0,0(不是xy z =的极值点．如果函数),(y x f z =在),(000y x P 处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数),(01y x f z =在0x x =处取得极值.根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在0x x =处的值一定等于零，既001==x x dxdz . 同理，如果函数),(y x f z =在),(000y x P 处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数),(02y x f z =在0y y =处取得极值。

根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在0y y =处的值一定等于零，即002==y y dy dz . 因为0001y y x x x x x z dx dz ===∂∂=，0002y y x x y y y z dy dz ===∂∂=，从而有如下定理.2. 极值存在的必要条件定理8.6.1(极值必要条件)如果函数),(y x f z =在点),(000y x P 处两个偏导数都存在，且函数在P 0处取得极值，则必有00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =． 使(,)0,(,)0x y f x y f x y ==同时成立的点),(000y x P ，称为函数),(y x f z =的驻点. 注意：驻点仅是取得极值的必要条件，即函数在驻点不一定取得极值．例如)0,0(是函数xy z =的驻点，但并不是极值点．3. 极值的充分条件定理8.6.2(极值存在的充分条件)设),(000y x P 为函数),(y x f z =的驻点，且函数在点0P 的某邻域内有二阶连续偏导数．记),(00y x f A xx =, ),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,AC B -=∆2,则(1) 当0<∆时，0P 是函数),(y x f 的极值点；且若0>A ，0P 为极小值点，若0<A ，0P 为极大值点；(2) 当0>∆时，0P 不是函数),(y x f 的极值点；(3) 当0=∆时，不能判定0P 是否是函数),(y x f 的极值点．例8.6.1求函数y x y xy x z +-+-=222的极值． 解：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=∂=--=∂∂012022y x zyz y x x z ，得驻点)0,1(, ,2),(,1),(,2),(=-==y x f y x f y x f yy xy xx 所以在驻点)0,1(处，有2,1,2=-==C B A ，则032<-=-=∆AC B ，又0>A ，由取得极值的充分条件，可知点)0,1(为极小值点，极小值为1)0,1(-=f .例8.6.2求函数xy y x z 333-+=极值． 解：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂=-=∂∂03303322x y zyz y x x z ，得驻点)1,1(),0,0(, ,6),(,3),(,6),(y y x f y x f x y x f yy xy xx =-==对于驻点)0,0(，有0,3,0=-==C B A ，则092>=-=∆AC B ，可知驻点)0,0(不是极值点.对于驻点)1,1(，有6,3,6=-==C B A ，则0272<-=-=∆AC B ，且06>=A 顾由取得极值的充分条件，可知点)1,1(为极小值点，极小值为1)1,1(-=f .8.6.2 多元函数的最值对于一元函数而言，在闭区间上连续的函数必有最值.对于二元函数也有类似的结论：在有界闭区域上连续的函数必定存在最大值和最小值.对于二元可微函数，如果该函数的最值在区域内部取得，这个最值点必在函数的驻点之中；如果函数最值在区域的边界上取得，则它一定也是函数在边界上的最值.因此，求函数的最值的方法是：将函数在所讨论的区域内的所有驻点求出来，将函数在驻点处的函数值与函数在边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，其中最小者就是函数在闭区域上的最小值. 例8.6.3求函数22),(y x y x f z -==在闭区域4:22≤+y x D 上的最大值和最小值. 解：函数在闭区域D 上是连续的，最大值和最小值一定存在. x xz 2=∂∂，y y z 2-=∂∂令0=∂∂xz ，0=∂∂y z ，得驻点)0,0(，且0)0,0(=f . 考虑函数在区域D 边界上的情况.区域D 边界422=+y x 是一个圆，在边界上，函数22),(y x y x f z -==成为x 的一元函数42)(2-==x x z ϕ,22≤≤-x .对此函数求导，有x x 4)(='ϕ，令0)(='x ϕ，得到函数422-=x z 在]2,2[-上的驻点为0=x ，此时相应的函数值为4)0(-==ϕz ，又4)2(,4)2(==-ϕϕ，所以函数在闭区域D 上的最大值为4=z ，它在点)0,2(-和)0,2(处取得；最小值为4-=z ，它在点)2,0(处取得.在实际问题中，常常从问题的本身能断定它的最值肯定存在且在问题考虑范围的内部达到，这是如果函数在定义区域内仅有唯一一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．例8.6.4欲做一个容量一定的长方体容器，问应选择怎样的尺寸，才能使此容器的材料最省？解:设箱子的长,宽,高分别为z y x ,,，容量为V ，则xyz V =，箱子的表面积为)(2xz yz xy S ++=要使使用的材料最少，则应求S 的最小值． 由于xy V z =，所以2()V V S xy x y=++，)0,0(>>y x ． 令 0)(2,0)(222=-==-=y V x S x V y S y x ， 求得唯一的驻点),(33V V P ．根据问题的实际意义可知S 一定存在最小值，所以可以断定P 即为S 的最小值点，即当3V y x ==时，函数S 取得最小值． 此时3V xyV z ==，所以长方体实际上是正方体．这表明在体积固定为V 长方体中，以正方体的表面积最小，最小值32min 6V S =．*8.6.3条件极值以上讨论的极值问题，自变量在定义域内可以任意取值，没有受到任何限制，通常称这样的极值问题为无条件极值问题.但是，在实际问题中，求极值或最值时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.条件极值问题的一般提法是：求目标函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下的极值.求解这一条件极值问题的常用方法是拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法求极值的具体步骤如下：(1) 构造辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=；(2) 求函数),,(λy x F 的驻点，即联立解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧===+==+= 0),(00y x F f F f F y y y x x x ϕλϕλϕλ得到驻点),,(000λy x ；(3) 判别求出的),(00y x 是否为极值点，通常根据实际问题的实际意义去判定. 例8.6.5试用条件极值的方法解决例8.6.4的问题．解:设箱子的长、宽、高为z y x ,,，要求容量为V ，表面积为S ．问题归结为在约束条件V xyz =下，求)(2xz yz xy S ++=的极小值．令 )()(2),,,(V xyz xz yz xy z y x F -+++=λλ，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++==++==++=00)(20)(20)(2V xyz xy y x F xz z x F yz z y F zy x λλλ 得330004,V V z y x ====λ．因为实际问题有极小值，而可能达到极值的点又唯一，所以极小值必定在此点达到，即当时3V z y x ===表面积S 最小，最小值32min 6V S =．习题8-61.函数xy z =在适合条件1=+y x 时的极大值.2.从斜边长为l 的一切直角三角形中，求周长最大的直角三角形.3.求下列函数的极值.(1)y x xy x z 1215323--+= (2))2(22y y x e z x ++=；(3）求22y x z +=在条件121=+y x 下的极小值. 4.求函数)0,0(ln 18ln 222>>--+=y x y x y x z 的极值.5.求函数2xy z =在区域122≤+y x 上的最大值和最小值.6.求曲面1=xyz 上在第一卦限中的一点，使它到原点的距离为最小.。