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⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
微积分中的极值与最小极值微积分是数学中的一门重要课程，其中极值与最小极值是微积分中常见的概念。
在实际问题中，我们常常需要找出函数的极值或最小极值，以便解决问题。
本文将探讨微积分中的极值与最小极值以及其在实际运用中的意义和应用。
一、极值及其定义极值指的是在函数定义域内某一点处函数取得的最大值或最小值。
对于一元函数 f(x)，如果它在 x=a 处取得了一个极大值，那么f(a) 就是该函数在定义域内的一个最大值；如果它在 x=b 处取得了一个极小值，那么 f(b) 就是该函数在定义域内的一个最小值。
通常来说，确定函数的极值需要找到函数的驻点和边界点。
其中，驻点指的是函数导数为零或不存在的点，在这些点上函数可能取得极值；边界点则指的是函数定义域的端点，这些点也可能是函数的极值点。
二、一元函数的最小值对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值；如果它在一个区间 [a,b]内单调递减，那么 f(b) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值。
此外，如果该函数具有唯一的最小值点 c，那么我们可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最小值点：1. 如果 f''(c) > 0，那么 f(c) 是该函数在其定义域内的一个最小值点；2. 如果 f''(c) < 0，那么 f(c) 不是该函数的极值点；3. 如果 f''(c) = 0，那么需要另外的方法来判定该点是否是函数的最小值点。
三、一元函数的最大值与一元函数的最小值类似，对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递减，那么 f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最大值；如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么 f(b) 就是该函数在区间[a,b] 内的最大值。
同样地，如果函数具有唯一的最大值点c，可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最大值点。
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
第二章 一元函数微分学§ 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
、导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' <设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
