2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质(二)作业2 北师大版选修1-1

2019

1 2.2.2 抛物线的简单性质（二）

[A.基础达标]

1．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )

A. 18 B. 14

C. 12 D．1

解析：选B.由y＝ax2＋1，y＝x消去y整理得ax2－x＋1＝0，由题意a≠0，Δ＝(－1)2－4a＝0.所以a＝14.

2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )

A.45 B.35

C．－35 D．－45

解析：选D.由y2＝4x，y＝2x－4，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.

令B(1，－2)，A(4，4)，又F(1，0)，

所以由两点间距离公式，得

|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35，

所以cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|·|AF|

＝4＋25－452×2×5＝－45.

3．A，B是抛物线x2＝y上任意两点(非原点)，当OA→·OB→最小时，OA→，OB→所在两条直线的斜率之积kOA·kOB＝( )

A.12 B．－12

C.3 D．－3

解析：选B.由题意可设A(x1，x21)，B(x2，x22)，

OA→＝(x1，x21)，OB→＝(x2，x22)，

OA→·OB→＝x1x2＋(x1x2)2

＝(x1x2＋12)2－14≥－14，

当且仅当x1x2＝－12时OA→·OB→取得最小值．

此时kOA·kOB＝x21x1·x22x2＝x1x2＝－12.

4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )

A．y2＝4x或y2＝8x

B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x

D．y2＝2x或y2＝16x

解析：选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.

由y2＝2px，F(p2，0)， 2019

2 所以N点的坐标为(x0＋p22，y02)．

由抛物线的定义知，x0＋p2＝5，

所以x0＝5－p2.

所以y0＝ 2p（5－p2）.

所以|AN|＝|MF|2＝52，所以|AN|2＝254.

所以(x0＋p22)2＋(y02－2)2＝254.

即（5－p2＋p2）24＋2p（5－p2）2－22＝254.

所以 2p（5－p2）2－2＝0.

整理得p2－10p＋16＝0.

解得p＝2或p＝8.

所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.

5．已知抛物线C的方程为x2＝12y，过点A(0，－1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是(

)

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)

C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：选D.当AB的斜率不存在时，x＝0，其与x2＝12y有公共点，不满足要求；当AB的斜率存在时，可设AB所在直线的方程为y＝kx－1，代入x2＝12y，整理得2x2－kx＋1＝0，Δ＝(－k)2－4×2<0，得k2<8，B(t，3)在y＝kx－1上即3＝kt－1，(4t)2＝k2<8，即t2>2得t∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于________．

解析：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，

所以∠AFA1＝∠A1FO，

同理∠BFB1＝∠B1FO，

于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.

故∠A1FB1＝90°. 2019

3 答案：90°

7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________．

解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，

故AB所在的直线方程可写为y＝kx＋1，代入x2＝4y，

整理得x2－4kx－4＝0，

x1＋x2＝4k，由y＝kx＋1可得y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4，

故所截弦长＝2（2k2＋2）2－（2k2＋1）2＝24k2＋3≥23，当k＝0时弦长取最小值．

答案：23

8．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为________．

解析：如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－12，过点A、B、M分别作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|FA|＋|FB|)≥12|AB|＝12×3＝32，则M到y轴的距离d≥32－12＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.

答案：1

9．已知抛物线y2＝12x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．

(1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程；

(2)当直线l的斜率为1时，求△OAB的面积．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为A、B在抛物线上，

所以y21＝12x1，y22＝12x2，

两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝12(x1－x2)．

因为P为线段AB的中点，

所以x1≠x2，又y1＋y2＝4，

所以k＝y1－y2x1－x2＝12y1＋y2＝3，

所以直线l的方程为y－2＝3(x－5)，即3x－y－13＝0.

经验证适合题意．

(2)由题意知l的方程为y－2＝1·(x－5)即y＝x－3.

由y＝x－3，y2＝12x得x2－18x＋9＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18，x1x2＝9.

所以|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2

＝2·324－36＝24.

又点O到直线x－y－3＝0的距离d＝32，

所以S△OAB＝12|AB|·d＝12×24×32＝182.

10．如图，设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中x0≠0)，过P点的切线交y轴于Q点． 2019

4

(1)若P(2，1)，求证：|FP|＝|FQ|；

(2)已知M(0，y0)，过M点且斜率为x02的直线与抛物线C交于A、B两点，若AM→＝λMB→(λ>1)，求λ的值．

解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|＝y0＋1＝2，

设过P点的切线方程为y－1＝k(x－2)，

由y－1＝k（x－2），x2＝4y得x2－4kx＋8k－4＝0，

令Δ＝16k2－4(8k－4)＝0得k＝1，

可得PQ所在直线方程为y＝x－1，

所以得Q点坐标为(0，－1)，

所以|QF|＝2，即|PF|＝|QF|.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M点坐标为(0，y0)，

所以AB方程为y＝x02x＋y0，

由x2＝4y，y＝x02x＋y0得x2－2x0x－4y0＝0.

所以x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4y0＝－x20，①

由AM→＝λMB→得：(－x1，y0－y1)＝λ·(x2，y2－y0)，

所以x1＝－λx2，②

由①②知（1－λ）x2＝2x0，λx22＝x20，得(1－λ)2x22＝4λx22，由x0≠0可得x2≠0，

所以(1－λ)2＝4λ，又λ>1，解得λ＝3＋22.

[B.能力提升]

1．已知抛物线y2＝2px(p>0)与圆(x－a)2＋y2＝r2(a>0)有且只有一个公共点，则( )

A．r＝a＝p B．r＝a≤p

C．r

解析：选B.当r0)与抛物线y2＝2px(p>0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当r>a时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当r＝a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x－a)2＋2px＝r2(x≥0)有且仅有一个解x＝0，可得a≤p.故选B.

2．如图，已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，过点A(0，－1)作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为(0，1)，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为－3，则∠MBN的大小等于(

)

A.π2 B.π4 2019

5 C.2π3 D.π3

解析：选D.由题意设P(x1，x212p)，Q(x2，x222p)(x1≠x2)，设PQ所在直线方程为y＝kx－1代入x2＝2py，整理得：x2－2kpx＋2p＝0，

则x1＋x2＝2kp，x1x2＝2p.kQB＝x222p－1x2，kPB＝x212p－1x1，

可得kQB＋kPB＝0，又因为kQB·kPB＝－3，

所以kQB＝－3，kPB＝3，即∠BNM＝π3，∠BMN＝π3，

所以∠MBN＝π－∠BNM－∠BMN＝π3.

3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(2，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，|BF|＝32，则S△BCFS△ACF＝________.

解析：因为|BF|＝32，所以B的横坐标为12，不妨设B的坐标为(12，－2)，所以AB的方程为y＝223(x－2)，

代入y2＝4x，得2x2－17x＋8＝0，解得x＝12或8，故点A的横坐标为8.故A到准线的距离为8＋1＝9.

S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝B到准线的距离A到准线的距离＝329＝16.

答案：16

4．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为________．

解析：由余弦定理，得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|cos 120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|，

过A，B作AA′，BB′垂直于准线，则|MN|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|FA|＋|FB|)，

所以|MN||AB|＝|FA|＋|FB|2|AB|

＝|FA|＋|FB|2|AF|2＋|BF|2＋|FA|·|FB|

＝12|AF|2＋|BF|2＋|FA|·|FB|（|AF|＋|BF|）2

＝12（|AF|＋|BF|）2－|AF|·|BF|（|AF|＋|BF|）2

＝121－|AF|·|BF|（|AF|＋|BF|）2≤121－（|AF|＋|BF|2）2（|AF|＋|BF|）2＝33，

当且仅当|AF|＝|BF|时，等号成立．