2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

æ 4ö 【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x } 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的 值为 ．答案：-3 ．解：条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为 0 ．显然 x < 0 ， 从而1 + 2 + x = 0 ，得 x = -3 ．2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m +1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的 模为 ． 答案： 10 ． 解：令 2m = t ，则 t > 0 ．条件等价于 t ⋅ (t -1) + (-1) ⋅ 2t = 0 ，解得 t = 3 ．因此 a 的模为 32 + (-1)2 = 10 ．3. 设a , b Î (0, p ) ，cos a , cos b 是方程5x 2 -3x -1 = 0 的两根，则sin a sin b 的 值为． 答案：7 ．5解：由条件知 cos a + cos b = 3 , cos a cos b = - 1，从而5 5(s i n a sin b )2 = (1- c os 2 a )(1- c os 2 b ) = 1- cos 2 a - cos 2 b + cos 2 a cos 2 b2 2= (1+ cos a cos b )2 - (cos a + cos b )2 = ÷ æ 3ö - = 7 ． ç ÷ ç ÷ çè 5 ø çè5ø 25又由a , b Î (0, p ) 知sin a sin b > 0 ，从而sin a sin b = 7．54. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的 体积的最大值为 ．答案： 2 6 ．3解：设三棱锥 P - ABC 的高为 h ．取M 为棱 AB 的中点，则h £ PM = 32 -12 = 2 2 ．当平面 PAB 垂直于平面 ABC 时， h 取到最大值 2 2 ．此时三棱锥 P - ABC 的体r n -rnn积取到最大值 1S⋅= 1 ⋅ = 2 6 ．3 D ABC3 35. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为 ． 答案：95 ． 解：易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4´ 4! = 96 个．其中， 除了 (2, 0, 1, 9, 2019) 和 (2019, 2, 0, 1, 9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ，其余 的数互不相等．因此满足条件的 8 位数的个数为96 -1 = 95 ．6. 设整数 n > 4 ，( x + 2 的值为． 答案：51． y -1)n 的展开式中x n -4 与 xy 两项的系数相等，则 nn解：注意到 ( x + 2 y -1)n= år =0C n x (2 y -1)r ． 其中 x n -4 项仅出现在求和指标 r = 4 时的展开式 C 4 x n -4 (2 y -1)4中，其 x n -4 项系数为 (-1)4 C 4 = n (n -1)(n - 2)(n -3) ．n24而 xy 项仅出现在求和指标 r = n -1 时的展开式 C n -1x ⋅ (2y -1)n -1 中，其 xy 项系数为 n -1 2 n -3 n -3C n C n -1 4⋅ (-1) = (-1) 2n (n -1)(n - 2) ．因此有 n (n -1)(n - 2)(n - 3)= (-1)n -3 2n (n -1)(n - 2) ．注意到 n > 4 ，化简得24n - 3 = (-1)n -3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51 ．7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点 (a , b ) 满足b 2 ³ 4a ，则 r 的最小值为．答案： 4 ．解：由条件知 (a - r -1)2 + b 2 = r 2 ，故4a £ b 2 = r 2 - (a - r -1)2 = 2r (a -1) - (a -1)2 ． 即 a 2 - 2(r -1)a + 2r +1 £ 0 ． 上述关于 a 的一元二次不等式有解，故判别式(2(r -1))2 - 4(2r +1) = 4r (r - 4) ³ 0 ，解得 r ³ 4 ．经检验，当 r = 4 时， (a , b ) = (3, 2 3) 满足条件．因此 r 的最小值为 4 ．8. 设等差数列{a n } 的各项均为整数，首项 a 1 = 2019 ，且对任意正整数 n ，总 存在正整数 m ，使得 a 1+ a 2 ++ a n = a m ．这样的数列{a n } 的个数为．答案：5 ．解：设{a n } 的公差为 d ．由条件知 a 1 + a 2 = a k （ k 是某个正整数），则2a 1 + d = a 1 + (k -1)d ，a 1即 (k - 2)d = a 1 ，因此必有 k ¹ 2 ，且d =k - 2．这样就有 a = a + (n -1)d = a + n -1a ， n 1 1 k - 2 1í而此时对任意正整数 n ，a +a++ a = a n + n (n -1) d = a + (n -1)a + n (n -1) d 1 2 n 1 2 1 12æ n (n -1) ö = a + (n -1)(k - 2) + d ，确实为{a n } 中的一项．ç 1 çè 2 ø 因此，仅需考虑使 k - 2| a 1 成立的正整数 k 的个数．注意到 2019 为两个素数3 与 673 之积，易知 k - 2 可取-1, 1, 3, 673, 2019 这5 个值，对应得到5 个满足条 件的等差数列．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆G 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆 G 的标准方程为 x2y 2+= 1 (a > b > 0) ，并记 c = a 2 b 2a 2 -b 2 ．由对称性，可设 F 为 G 的右焦点． 易知 F 到 G 的左顶点的距离为 a +c ，到右顶点的距离为 a - c ，到上、下顶点的距离均为 a ．分以下情况讨论：(1) A , B 分别为左、右顶点．此时a + c = 3, a - c = 2 ，故 AB = 2a = 5 （相应地，b 2= (a + c )(a - c ) = 6 ，G 的方程为4 x 2y 2+ = 1 ）． …………………4 分25 6(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时 a + c = 3, a = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，所以 AB =a 2 +b 2= 7（相应的 G 的方程为 x + y = 1 ）．4 3…………………8 分(3) A 为上顶点或下顶点， B 为右顶点．此时 a = 3, a - c = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 8 ，所以 AB =a 2 +b 2 = 17（相应的 G 的方程为 x + y= 1 ）．9 8…………………12 分综上可知， AB 的所有可能值为5, 7, 17 ． …………………16 分10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足ìïlg a + log b c = 3, ïîlg b + log a c = 4. 求 lg a ⋅ lg c 的最大值．解：设lg a = x , lg b = y , lg c = z ，由 a , b , c >1可知 x , y , z > 0 ． 由条件及换底公式知 x + z = 3, y + z= 4 ，即xy + z = 3y = 4x ． y x…………………5 分。

2019 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x} 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．2. 若平面向量a = (2m , -1) 与b = (2m -1, 2m+1 ) 垂直，其中m 为实数，则a 的模为．3. 设a, b ∈ (0, p) ，cos a, cos b 是方程5x2 -3x -1= 0 的两根，则sin a s in b 的值为．4. 设三棱锥P - ABC 满足PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的体积的最大值为．5. 将5 个数2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为0），则产生的不同的8 位数的个数为．6. 设整数n > 4，(1)nx+的展开式中x n-4 与xy 两项的系数相等,则n的值为．7. 在平面直角坐标系中，若以(r +1, 0) 为圆心、r 为半径的圆上存在一点(a, b) 满足b2 ≥ 4a ，则r 的最小值为．8. 设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1= 2019 ，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得a1+ a2++ an= am．这样的数列{an} 的个数为．⎨ n +1 n n +1 n 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆 Γ 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足⎧⎪lg a + log b c = 3, ⎪⎩lg b + log a c= 4.求 lg a ⋅ lg c 的最大值．11. （本题满分 20 分）设复数数列{z n } 满足： z 1 = 1 ，且对任意正整数 n ， 均有 4z 2 + 2z z + z 2 = 0 ．证明：对任意正整数m ，均有 z 1 + z 2 ++ z m < ． 32019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分 40 分）设正实数 a 1, a 2 , , a 100 满足 a i ≥ a 101-i (i = 1, 2, , 50) ． 记 111(1,2,,99)k k nka x k a a a +==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+.证明：29912991x x x ⋅⋅⋅≤.二、（本题满分 40 分）求满足以下条件的所有正整数 n ：(1) n 至少有 4 个正约数；(2) 若 d 1 < d 2 < < d k 是 n 的所有正约数，则 d 2 - d 1, d 3 - d 2 , , d k - d k -1 构 成等比数列．三、（本题满分 50 分）如图，点 A , B , C , D , E 在一条直线上顺次排列，满足BC=CD P 在该直线外，满足PB = PD ．点K, L 分别在线段PB, PD 上，满足KC 平分∠BKE ，LC 平分∠ALD ．证明：A, K, L, E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50 分）将一个凸2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673 条．证明：可作这个凸2019 边形的2016 条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．。

2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（ ） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253． 若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则 【答】（ ）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么 【答】（ ） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题10数列B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在等比数列{a n}中, a9=13,a3=1,则log a113的值为.【答案】13【解析】由等比数列的性质知a1a9=(a9a13)2, a1=a93a132=133.所以log a113=13.2．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设等差数列{a n}的各项均为整数，首项a1=2019，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+⋯+a n=a m.这样的数列{a n}的个数为.【答案】5【解析】设{a n}的公差为d.由条件知a1+a2=a k(k是某个正整数)，则2a1+d=a1+(k−1)d，即(k－2)d=a1，因此必有k≠2，且d=a1k−2.这样就有a n=a1+(n−1)d=a1+n−1k−2a1，而此时对任意正整数n，a1+a2+⋯+a n=a1n+n(n−1)2d=a1+(n−1)a1+n(n−1)2d=a1+((n−1)(k−2)+n(n−1)2)d，确实为{a n}中的一项.因此，仅需考虑使k−2|a1成立的正整数k的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知k－2可取－1，1，3，673，2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列.3．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设整数数列a1,a2,⋯,a10满足a10=3a1,a2+a8=2a5，且a i+1∈{1 +a i,2+a i},i=1,2,⋯,9，则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设b i=a i+1−a i∈{1,2}(i=1,2,⋯,9)，则有2a1=a10−a1=b1+b2+⋯+b9①b2+b3+b4=a5−a2=a8−a5=b5+b6+b7②用t表示b2,b3,b4中值为2的项数.由②知，t也是b5,b6,b7中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此b2,b3,⋯,b7的取法数为(C30)2+(C31)2+(C32)2+(C33)2=20.取定b2,b3,⋯,b7后，任意指定b8,b9的值，有22=4种方式.最后由①知，应取b1∈{1,2}使得b1+b2+⋯+b9为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列b1,b2,⋯,b9唯一对应一个满足条件的数列a1,a2,⋯,a10.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.4．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n⃑=(3，1)是l的一个法向量.已知数列{a n}满足:对任意正整数n，点(a n+1,a n)均在l上.若a2=6，则a1a2a3a4a5的值为.【答案】−32【解析】易知直线l的方程是3x+y=0.因此对任意正整数n，有3a n+1+a n=0，即a n+1=−13a n，故{a n}是以−13为公比的等比数列于是a3=−13a2=−2.由等比数列的性质可得a1a2a3a4a5=a35=(−2)5=−32.5．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设两个严格递增的正整数数列{a n},{b n}满足:a10=b10<2017，对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n,b n+1=2b n，则a1+b1的所有可能值为.【答案】13、20【解析】由条件可知:a 1,a 2,b 1均为正整数，且a 1<a 2. 由于2017>b 10=29⋅b 1=512b 1，故b 1∈{1，2，3}.反复运用{a n }的递推关系知a 10=a 9+a 8=2a 8+a 7=3a 7+2a 6 =5a 6+3a 5=8a 5+5a 4=13a 4+8a 3=21a 3+13a 2=34a 2+21a 1， 因此21a 1≡a 10=b 10=512b 1≡2b 1( mod 34)，而13×21=34×8+1，故有a 1≡13×21a 1≡13×2b 1=26b 1( mod 34) ①另一方面，注意到a 1<a 2，有55a 1<34a 2+21a 1=512b 1，故a 1<51255b 1②当b 1=1时，①、②分别化为a 1≡26( mod 34),a 1<51255，无解当b 1=2时，①、②分别化为a 1≡52( mod 34),a 1<102455，得到唯一的正整数a 1=18，此时a 1+b 1=20.当b 1=3时，①、②分别化为a 1≡78( mod 34),a 1<153655，得到唯一的正整数a 1=10，此时a 1+b 1=13.综上所述，a 1+b 1的所有可能值为13、20.6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在等比数列{a n }中，a 2=√2,a 3=√33，则a 1+a2011a 7+a2017的值为.【答案】89【解析】数列{a n }的公比为q =a 3a 2=√33√2，故a 1+a 2011a 7+a 201=a 1+a 2011q 6(a 1+a 2011)=1q 6=89.7．【2016高中数学联赛（第01试）】设a 1,a 2,a 3,a 4是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足(a 12+a 22+a 32)(a 22+a 32+a 42)=(a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4)2，则这样的有序数组(a 1,a 2,a 3,a 4)的个数为.【答案】40【解析】由柯西不等式知，(a12+a22+a32)(a22+a32+a42)⩾(a1a2+a2a3+a3a4)2，等号成立的充分必要条件是a1a2=a2a3=a3a4，即a1,a2,a3,a4成等比数列.于是问题等价于计算满足{a1,a2,a3,a4}⊆{1,2,3,⋯,100}的等比数列a1,a2,a3,a4的个数.设等比数列的公比q≠1，且q为有理数.记q=nm，其中m、n为互素的正整数，且m≠n.先考虑n>m的情况：此时a4=a1⋅(nm )3=a1n3m3，注意到m3与n3互素，故l=a1m3为正整数.相应地，a1,a2,a3,a4分别等于m3l,m2nl,mn2l，n3l，它们均为正整数.这表明，对任意给定的q=nm>1，满足条件并以q为公比的等比数列a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式n3l⩽100的正整数l的个数，即[100n3].由于53>100，故仅需考虑q=2,3,32,4,43，这些情况，相应的等比数列的个数为[100 8]+[10027]+[10027]+[10064]+[10064]=12+3+3+1+1=20.当n<m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4，综上可知，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4).8．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{a n}满足a1=2，a n+1=2(n+2)n+1a n(n∈N∗)，则a2014a1+a2+⋯+a2013=.【答案】20152013【解析】由题设a n=2(n+1)n a n−1=2(n+1)n⋅2nn−1a n−2=⋯=2(n+1)n⋅2n n−1⋯⋅⋅2⋅32a 1=2n−1(n +1)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n =2+2×3+22×4+⋯+2n−1(n +1)， 所以2S n =2×2+22×3+23×4+⋯+2n (n +1)，将上面两式相减， 得S n =2n (n +1)−(2n−1+2n−2+⋯+2+2)=2n (n +1)−2n =2n n ，故a 2014a 1+a 2+⋯+a 2013=22013×201522013×2013=20152013.9．【2013高中数学联赛（第01试）】已知数列{a n }共有9项，其中a 1=a 9=1，且对每个i ∈{1,2,⋯,8}，均有a i+1a i∈{2,1,−12}，则这样的数列的个数为.【答案】491【解析】令b i =a i+1a i(1⩽i ⩽8)，则对每个符合条件的数列{a n }，有∏b i8i=1=∏a i+1a i8i=1=a 9a 1=1，(b i ∈{2,1,−12},1⩽i ⩽8)①反之，由符合条件①的8项数列{b n }可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{a n }.记符合条件①的数列{b n }的个数为N .显然b i (1≤i ≤8)中有偶数个−12，即2k 个−12；继而有2k 个2，8－4k 个1.当给定k 时，{b n }的取法有C 82k C 8−2k 2k 种，易知k 的可能值只有0，1，2，所以N =1+C 82C 62+C 84C 44=1+28×15+70×1=491.因此，根据对应原理，符合条件的数列{a n }的个数为491.10．【2011高中数学联赛（第01试）】已知a n =C 200n ⋅(√63)200−n⋅(√2)n(n =1,2,⋯,95)，则数列{a n }中整数项的个数为 .【答案】15【解析】由题意知a n =C 200n ⋅3200−n3⋅2400−5n6，要使a n (1≤n ≤95)为整数，必有200−n 3,400−5n 6均为整数，从而6|n +4.当n =2，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，200−n 3和400−5n6均为非负整数，所以a n 为整数，共有14个.当n =86时，a 86=C 20086⋅338⋅2−5， 在C 20086=200!86!⋅114!中，200!中因数2的个数为[2002]+[20022]+[20023]+[20024]+[20025]+[20026]+[20027]=197，同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以C 20086中因数2的个数为197−82−110=5，故a 86是整数.当n =92时a 92=C 20092⋅336⋅2−10，在C 20092=200!92!⋅108!中，同样可求得92!中因数2的个数为88，108!中因数2的个数为105.故C 20086中因数2的个数为197−88−105=4，故a 92不是整数. 因此，整数项的个数为14+1=15.11．【2010高中数学联赛（第01试）】已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1=3，b 1=1，a 2=b 2,3a 5=b 3，且存在常数α,β使得对每一个正整数n 都有a n =log αb n +β，则α+β= .【答案】√33+3【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则3+d =q①3(3+4d)=q 2②式①代入式②得9+12d =d 2+6d +9，求得d =6,q =9， 从而有3+6(n −1)=log α9n−1+β对一切正整数n 都成立， 即6n −3=(n −1)log α9+β对一切正整数n 都成立. 从而log α9=6，−3=−log α9+β，求得α=√33,β=3，α+β=√33+3.12．【2009高中数学联赛（第01试）】一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是(可以用指数表示)【答案】101×298 【解析】易知： (1)该数表共有100行；(2)每一行构成一个等差数列，且公差依次为d 1=1,d 2=2,d 3=22,⋯,d 99=298， (3)a 100为所求.设第n (n ≥2)行的第一个数为a n ，则a n =a n−1+(a n−1+2n−2)=2a n−1+2n−2=2[2a n−2+2n−3]+2n−2=22[2a n−3+2n−4]+2×2n−2=23a n−3+3×2n−2=⋯=2n−1a 1+(n −1)×2n−2=(n +1)2n−2. 故a 100=101×298.13．【2008高中数学联赛（第01试）】设数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +a n =n−1n(n+1)，n =1，2，…，则通项an =. 【答案】12n−1n(n+1)【解析】因为a n+1=S n+1−S n =n (n+1)(n+2)−a n+1−n−1n(n+1)+a n ，即2a n+1=n+2−2(n+1)(n+2)−1n+1+1n(n+1)+a n =−2(n+1)(n+2)+a n +1n(n+1)，由此得2(a n+1+1(n+1)(n+2))=a n +1n(n+1)，令b n =a n +1n(n+1)，因此b 1=a 1+12=12(a 1=0)，b n+1=12b n ，故b n =12n，可得a n =12n−1n(n+1).14．【2007高中数学联赛（第01试）】已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数.若a 1=d,b 1=d 2，且a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b 3是正整数，则q 等于 .【答案】12【解析】因为a 12+a 22+a 32b 1+b 2+b 3=a 12+(a 1+d )2+(a 1+2d )2b 1+b 1q+b 1q 2=141+q+q 2，故由已知条件可知：1+q +q 2为14m，其中m 为正整数.令1+q +q 2=14m，则q =−12+√14+14m−1=−12+√56−3m 4m，由于q 是小于1的正有理数，所以1<14m<3，即5⩽m ⩽13且56−3m 4m是某个有理数的平方，由此可知q =12.15．【2005高中数学联赛（第01试）】将关于x 的多项式f(x)=1−x +x 2−x 3+⋯−x 19+x 20表示为关于y 的多项式g(y)=a 0+a 1y +a 2y 2+⋯+a 19y 19+a 20y 20，其中y =x －4.则a 0+a 1+⋯+a 20=.【答案】521+16【解析】由题设知，f (x )和式中的各项构成首项为1，公比为－x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得f(x)=(−x)21−1−x−1=x 21+1x+1，令x =y +4，得g(y)=(y+4)21+1y+5，取y =1，有a 0+a 1+a 2+⋯+a 20=g(1)=521+16.16．【2005高中数学联赛（第01试）】如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n =2005，则a 5n = .【答案】52000【解析】因为方程x 1+x 2+⋯+x k =m 的非负整数解的个数为C m+k−1m，而使x 1⩾1,x i ⩾0 (i ⩾2)的整数解个数为C m+k−2m−1.现取m =7，可知，k 位“吉祥数”的个数为P(k)=C k+56.2005是形如2abc 的数中最小的一个“吉祥数”，且P(1)=C 66=1,P(2)=C 76=7,P(3)=C 86=28，对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足a +b +c =6的非负整数解个数，即C 6+3−16=28个.因为2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a 65=2005.从而n =65,5n =325，又P(4)=C 96=84,P(5)=C 106=210，而∑5k=1P(k)=330，所以从大到小最后6个五位“吉祥数”依次是70000,61000,60100,60010,60001,52000. 故第325个“吉祥数”是52000，即a 5n =52000.17．【2004高中数学联赛（第01试）】已知数列a 0,a 1,a 2,⋯,a n ,⋯满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则∑1a ini=0的值是 .【答案】13(2n+2−n −3)【解析】设b n =1a n(n =0,1,2,⋯)，则(3−1b n+1)(6+1b n)=18，即3b n+1−6b n−1=0.所以b n+1=2b n +13，b n+1+13=2(b n +13)，故数列{b n +13}是公比为2的等比数列.因此b n +13=2n (b 0+13)=2n (1a 0+13)=13×2n+1，所以b n =13(2n+1−1)，则∑1a ini=0=∑b in i=0=∑13ni=0(2i+1−1)=13[2(2n+1−1)2−1−(n +1)]=13(2n+2−n −3).18．【2003高中数学联赛（第01试）】设M n ={(十进制)n 位纯小数0.a 1a 2⋯a n |a i 只取0或1(i =1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则limn→∞S nT n= .【答案】118【解析】因为M n 中的小数的小数点后均有n 位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法，故T n =2n−1，又因在这2n−1个数中，小数点后第n 位上的数字全是1，而其余各位上数字是0或1，各有一半.故：S n =12⋅2n−1(110+1102+⋯+110n−1)+2n−1⋅110n =2n−2⋅110(1−110n−1)1−110+2n−1⋅110n=2n−2⋅19(1−110n−1)+2n−1⋅110n，故limS n T n=lim n→∞[118(1−110n−1)+110n]=118.19．【2000高中数学联赛（第01试）】设a n 是(3−√x)n 的展开式中x 项的系数(n =2，3，4，…)，则lim n→∞(32a 2+33a 3+⋯+3n a n)= .【答案】18【解析】由题意，由二项式定理有a n =C n 23n−2， 所以3n a n=3n ×2n(n−1)=18(1n−1−1n)，所以lim n→∞(32a 2+33a 3+⋯+3n a n)=lim n→∞18(1−12+12− 13+⋯+1n−1−1n)=lim n→∞18(1−1n)=18.20．【2000高中数学联赛（第01试）】等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是.【答案】13【解析】由题意，不妨设公比为q，可知q=a+log43a+log23=a+log83a+log43，又根据比例的性质，有q=a+log43−(a+log83) a+log23−(a+log43)=log43−log83log23−log43=12log23−13log23log23−12log23=13.21．【1999高中数学联赛（第01试）】已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是.【答案】6【解析】首项为a的连续k个正整数之和为S k=ka+k(k+1)2⩾k(k+1)2，由S k⩽2000可得60⩽k⩽62，当k=60时S k=60a+30×59，由S k⩽2000可得a⩽3，故S k=1830，1890，1950；当k=61时S k=61a+30×61，由S k⩽2000可得a≤2，故S k=1891，1952；当k=62时S k=62a+31×61，由S k⩽2000可得a≤1，故S k=1953.所以题中的n有6个.22．【1998高中数学联赛（第01试）】各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项.【答案】8【解析】设a1,a2,⋯,a n是公差为4的等差数列，则a12+a2+a3+⋯+a n⩽100，等价于a12+(a1+4)+[a1+4(n−1)]2(n−1)⩽100，等价于a12+(n−1)a1+(2n2−2n−100)⩽0①当且仅当Δ=(n−1)2−4(2n2−2n−100)⩾0时，至少不存在一个实数a1满足不等式①.因为Δ⩾0等价于7n2−6n−401⩽0，等价于n1⩽n⩽n2②其中n1=3−√28167<0,8<n2=3+√28167<9，所以，满足不等式②的自然数n的最大值为8，即满足题设的数列至多有8项.23．【1994高中数学联赛（第01试）】已知95个数a1,a2,a3,⋯,a95，每个数都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+⋯+a94a95的最小值是.【答案】13【解析】记N=a1a2+a1a3+⋯+a94a95①设a1,a2,⋯,a95中有m个+1，n个－1，则m+n=95②式①乘2，加上a12+a22+⋯+a952=95得(a1+a2+⋯+a95)2=2N+95.又a1+a2+⋯+a95=m−n，所以(m−n)2=2N+95.使上式成立的最小自然数N=13，此时(m−n)2=112，即m−n=±11③联立式②与③可求出m=53,n=42或m=42,n=53.据此可构造出N达到最小值的情况，故所求最小正值为13.24．【1992高中数学联赛（第01试）】设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且1x ,1y,1z成等差数列，则xz+zx的值是.【答案】3415【解析】由题意得{(4y)2=15xz①2y=1x+1z②，由式②得y =2xz x+z，以此代入式①有16(2xz x+z)2=15xz ，即(x+z)2xz=6415，故x z+z x=3415.25．【1992高中数学联赛（第01试）】设数列a 1,a 2,⋯,a n ,⋯满足a 1=a 2=1,a 3=2，且对任何自然数n ，都有a n a n+1a n+2≠1，又a n a n+1a n+2a n+3=a 1+a n+1+a n+2+a n+3，则a 1+a 2+⋯+a 100的值是 .【答案】200【解析】因为a 1=a 2=1,a 3=2，又a 1a 2a 3a 4=a 1+a 2+a 3+a 4，所以a 4=4. 又由条件得a n a n+1a n+2a n+3=a n +a n+1+a n+2+a n+3， a n+1a n+2a n+3a n+4=a n+1+a n+2+a n+3+a n+4.将上述两式相减，得a n+1a n+2a n+3(a n −a n+4)=a n −a n+4， 即(a n −a n+4)(a n+1a n+2a n+3−1)=0. 依已知条件a n+1a n+2a n+3≠1，故a n+4=a n . 从而∑a k 100i=1=1004(a 1+a 2+a 3+a 4)=200.26．【1988高中数学联赛（第01试）】(1)设x ≠y ，且两数列x,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x,b 2,b 3，y,b 4均为等差数列，那么b 4−b 3a 2−a 1= .(2)(√x +2)2n+1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为.(3)在△ABC 中，已知∠A =a ，CD ，BE 分别是AB ，AC 上的高，则DE BC= .(4)甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为.【答案】3432【解析】(1)设两个数列的公差分别为d，d'，则y−x=4d=3d′，dd′=34.所以b4−b3a2−a1=2d′d=2×43=223.(2)设(√x+2)2n+1=f(x)+√xg(x)，其中f(x)，g(x)是x的多项式，那么所求的是f(1).而(2+√x)2n+1+(2−√x)2n+1=f(x)+√xg(x)+f(x)−√xg(x)，所以f(1)=12[(2+√1)2n+1+(2−√1)2n+1]=12(32n+1+1).(3)因为∠BDC=∠BEC，所以B，D，E，C共圆.∠ADE=∠ACB，△AED∽△ABC，DE2BC2=SΔAEDSΔABC=AD⋅AEAB⋅AC=cos2a.所以DEBC=|cosa|.(4)设甲队队员为a1,a2,⋯,a7，乙队队员为b1,b2,⋯,b7，下标表示事先安排好的出场顺序，比赛过程可表示为这14个字母互相穿插地依次排列，其前后顺序就是先后被淘汰的顺序，但最后一定是胜队中不被淘汰的队员和可能未曾参赛的队员，所以比赛过程表示为14个位置中任取7个位置安排甲队员(当然，其余位置安排乙队队员)，比赛过程的总数为C147=3432.优质模拟题强化训练1．一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比q的取值范围是__________.【答案】√5−12<q<√5+12【解析】设三边按递增顺序排列为a,aq,aq2，其中a>0,q≥1.则a+aq>aq2，即q2−q−1<0.解得1−√52<q<1+√52.由q≥1 知q的取值范围是1≤q<1+√52.设三边按递减顺序排列为a,aq,aq2，其中a>0,0<q<1.则aq2+aq>a，即q2+q−1>0.解得√5−12<q<1.综上所述，1−√52<q<1+√52.2．在数列{a n}中，a1=2,a n+a n+1=1(n∈N+)，设S n为数列{a n}的前n项和，则S2017−2S2018+S2019的值为____________ .【答案】3【解析】当n为偶数时，a1+a2=a3+a4=⋯=a n−1+a n=1，故S n=n2.当n奇数时，a1=2,a2+a3=a4+a5=⋯=a n−1+a n=1，故S n=2+n−12=n+32.故S2017−2S2018+S2019=1010−2018+1011=3.故答案为：3．3．已知集合A ={1，2，3，…，2019}，对于集合A 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________ . 【答案】2019 【解析】集合A 的22019－1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2019，1×2，1×3…，2018×2019，…，1×2×…×2019，它们的倒数和为1+12+⋯+12019+11×2+11×3+⋯+12018×2019+⋯+11×2×⋯×2019=(1+1)(1+12)⋯(1+12019)−1=2×32×⋯×20202019−1=2019.故答案为：2019．4．已知数列{a n }满足：a n =[(2+√5)n +12n](n ∈N ∗)，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.设C 为实数，且对任意的正整数n ，都有∑1a k a k+2nk=1⩽C ，则C 的最小值是_____ .【答案】1288 【解析】记x 1=2+√5,x 2=2−√5，则a n =[x 1n+12n ]. 记T n =x 1n +x 2n，则T n+2=(x 1+x 2)T n+1−x 1x 2T n =4T n+1+T n ，而T 1=x 1+x 2=4,T 2=x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=18，因此，对任意的正整数n ，T n ∈Z .又注意到−12<2−√5<0，从而|x 2|<12，于是−1+12n ⩽−12n <x 2n<12n .因此，x 1n +x 2n −1<x 1n +12n −1<a n ⩽x 1n +12n =x 1n +(−1+12n )+1<x 1n +x 2n +1. 又注意到x 1n +x 2n −1,a n ,x 1n +x 2n +1均为整数，故a n =x 1n +x 2n. 于是a n+2=4a n+1+a n ，且a 1=4,a 2=18.又1ak a k+2=14⋅4a k+1a k a k+1a k+2=14⋅a k+2−a k a k a k+1a k+2=14(1a k a k+1−1a k+1a k+2)，故∑1a k a k+2nk=1=14∑(1a k a k+1−1a k+1a k+2)nk=1=14(1a 1a 2−1a n+1a n+2)=1288−14a n+1a n+2.显然a n >0，于是a n+2>4a n+1，从而a n ⩾4n−2a 2(n ⩾2)， 故limn→∞1a n+1a n+2=0.因此，∑1a k a k+2nk=1<1288，且lim n→∞(∑1a k a k+2nk=1)=1288.所以，常数C 的最小值为1288.故答案为：1288．5．等差数列{a n }中，a 2=5,a 6=21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2n+1−S n ⩽m15对任意的n ∈N +恒成立，则正整数m 的最小值为____________ . 【答案】5 【解析】由题意可得：{a 1+d =5a 1+5d =21，解得a 1=1,d =4，∴1a n=11+4(n−1)=14n−3，∵(S 2n+1−S n )−(S 2n+3−S n+1)=(1a n+1+1a n+2+⋯+1a2n+1)−(1a n+2+1a n+3+⋯+1a2n+3)=1a n+1−1a2n+2−1a2n+3=14n+1−18n+5−18n+9=(18n+2−18n+5)+(18n+2−18n+9)>0，∴数列{S2n+1−S n}(n∈N∗)是递减数列，数列{S2n+1−S n}(n∈N∗)的最大项为S3−S1=15+19=1445，∵1445⩽m15,∴m⩾143，又∵m是正整数，∴m的最小值为5.故答案为：5.6．公差为d，各项皆为正整数的等差数列{a n}，若a1=1919，a m=1949，a n=2019，则正整数m+n的最小值是___ _________ .【答案】15【解析】1949=1919+(m−1)d，2019=1919+(n−1)d，显然有m>1，n>1，d=30m−1，以及d=100n−1，得去d得：10m−3n=7，其通解为{m=1+3tn=1+10t，为使m>1，n>1且d为正整数，则正整数t只能在{1，2，5，10}中取值(因(30，100)=10，t取值只能为10的正因数).当t=1时，m=4，n=11为最小，此时m+n=15.故答案为：15．7．数列{a n}满足：a0=√3,a n+1=[a n]+1{a n}(其中[a n]和{a n}分别表示实数a n的整数部分与小数部分)，则a2019= ____________ .【答案】3029+√3−12【解析】a0=1+(√3−1)，a1=1√3−1=2+√3−12，a2=2√3−1=3+√3=4+(√3−1)，a3=4√3−1=5+√3−12，归纳易得，a2k=3k+1+(√3−1),a2k+1=3k+2+√3−12.因此a2019=3029+√3−12.故答案为：3029+√3−12．8．设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，前n项和为S n.若数列{√8S n+2n}也是公差为d的等差数列，则数列{a n}的通项a n=________.【答案】4n−94【解析】设a n=a1+(n−1)d=dn+a，这里a=a1－d，于是S n=na1+n(n−1)2d=d2n2+(a1−d2)n=d2n2+(a+d2)n，所以√8S n+2n=√4dn2+(8a+4d+2)n，故√4dn2+(8a+4d+2)n=dn+b，这里b=√8a1+2−d.所以4dn2+(8a+4d+2)n=d2n2+2bdn+b2，于是4d=d2，8a+4d+2=2bd，b2=0，解得d=4，b=0，a=−94，故a n=4n−94.故答案为：4n−94．9．设数列{a n}满足：a1=1,4a n+1−a n+1a n+4a n=9，则a2018=______.【答案】53【解析】由4a n+1−a n+1a n+4a n=9可得(4−a n)(4−a n+1)=7.设b n=4−a n，则有b n b n+1=7.又b1=4−a1=3，故b2=73.一般地，有b2k−1=3,b2k=73，于是a2k−1=4−3=1,a2k=4−73=53，所以a2018=53.10．数列{a n}满足a1=1,a2=3，且a n+2=|a n+1|−a n(n∈N+)，记{a n}的前n项和为S n.则S100=_________ _.【答案】89【解析】由已知得a k+9=a k，则S100=a1+11(a1+a2+⋯+a9)=8911．已知数列{a n}前n项和为S n,a1=15,且对任意正整数m、n,均有a m+n=a m a n若S n<a对任意的n∈Z+恒成立,则实数a的最小值为______.【答案】14【解析】由题意,取m =1得a n+1=a 1a n =15a n .又a 1=15,则{a n }是以为首项、为公比的等比数列,即a n =15n (n ∈Z +)故S n =a 1+a 2+⋯+a n =15+152+⋯+15n =15×1−15n 1−15=14(1−15n ) 由对任意的n ∈Z +,均有S n <a 1,知a =14.12．已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1|=|a n −2|．记数列{a n }的前2016项和为S ．则S 的最大值为______．【答案】2016【解析】由|a k+1|=|a k −2|⇒a k+12=a k 2−4a k +4（k =1,2,⋅⋅⋅,2016）．累加得a 20172=a 12−4S +4×2016≥0．因此，S ≤2016．当k 为奇数时，a k =0；当k 为偶数时，a k =2，此时可取等号． 13．已知数列{a n }满足a n+1=3n+1⋅a n a n +3n+1,a 1=3，则数列{a n }的通项公式是______． 【答案】a n =2⋅3n 3n −1【解析】 由a n+1=3n+1⋅a n an +3n+1可得1a n+1−1a n =13n+1,a 1=3， 则1a 2−1a 1=132,1a 3−1a 2=133,⋅⋅⋅,1a n −1a n−1=13n ．以下用累加法得，1a n −1a 1=132+133+⋅⋅⋅+13n ． 得到1a n =13+132+⋅⋅⋅+13n =13(1−13n )1−13=12(1−13n )，从而，a n =2⋅3n3n −1．14．在数列{a n }中，若a n 2−a n−12=p(n ≥2,n ∈N ∗,p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①数列{(−1)n }是等方差数列；②若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }（k ∈N ∗，k 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】①②③④【解析】①因为[(−1)n ]2−[(−1)n−1]2=0，所以{(−1)n }符合“等方差数列”定义； ②根据定义，显然{a n 2}是等差数列；③a kn 2−a k(n−1)2=a kn 2−a kn−12+a kn−12−a kn−22+⋯+a kn−k+12−a k(n−1)2=kp 符合定义； ④数列{a n }满足a n 2−a n−12=p ，a n −a n−1=d （d 为常数）.若d=0，显然{a n }为常数列； 若d≠0，则两式相除得a n +a n−1=p d ，所以a n =d 2+p 2d （常数），即{a n }为常数列.故答案为：①②③④15．设数列{a n }满足a 1=1 ，a n+1=5a n +1 (n =1，2，…），则 ∑2018n=1a n =________.【答案】5201916−807716【解析】由a n+1=5a n +1⇒a n+1+14=5(a n +14)⇒a n =5n 4−14，所以∑2018n=1a n =14(51+52+⋯+52018)−20184=516(52018−1)−20184=5201916−807716.16．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=na n +2(n+1)2n+2，则数列{a n }的通项公式为__________． 【答案】16n(n +1)(n +2)【解析】由题设得(n +2)a n+1=na n +2(n +1)2⇒(n +1)(n +2)a n+1=n(n +1)a n +2(n +1)3. 令b n =n(n +1)a n ，则b 1=2，b n+1=b n +2(n +1)3.故b n =b 1+∑(b i+1−b i )n−1i=1=2(1+23+33+⋯+n 3)=12n 2(n +1)2.于是，数列{a n }的通项公式为a n =b n n(n+1)=12n(n +1). 因此，前n 项的和为S n =12(∑n k=1k 2+∑n k=1k) =12[n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2]=16n(n +1)(n +2).17．已知2015个正整数a 1,a 2,⋯,a 2015满足a 1=1，a 2=8，a n+1=3a n −2a n−1(n ≥2,且n ∈N).则a 2015−a 2014的所有正因子之和为_________。

2019年全国高中数学联赛新疆赛区初赛试卷一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.）1.已知集合U ={1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8},A ={1,2, 3, 4, 5},B ={4,5, 6, 7, 8},则是集合U 的子集但不是集合A 的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为 .解法一：因为U B A =Y 且}5,4{=B A I ，所以满足题意的集合所含的元素至少在{1，2,3}中取一个且至少在{6,7,8}中取一个，集合{4,5}中的元素可取或不取，于是满足题意的集合有1962)12)(12(233=⨯--个.解法二：集合U 的子集个数为82，其中是集合A 或集合B 的子集个数为255222-+.所以满足条件得集合个数为196)222(22558=-+-个.2.设n 为正整数.若n +++Λ21的和恰好等于一个三位数且该三位数的每个数字均相同，则所有可能的n 值为 .解：设aaa n =+++Λ21，化简可得a n n ⨯=+1112)1(.由于373111⨯=且37是素数，故n 和1+n 中要有一个被37整除.再由100021<+++n Λ，可知45<n .因此36=n 或37整除.经计算6663621=+++Λ且7033721=+++Λ，故n =36.3.已知z y x ,,是正数且满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,35,15,8zx x z yz z y xy y x 则xy z y x +++= .解：由8=++xy y x 知91=+++xy y x ，即9)1)(1(=++y x .（1）同理可得⎩⎨⎧=++=++,36)1)(1(16)1)(1(x z z y ，（2）由⑴和(2)可知643)1)(1)(1(⨯⨯=+++z y x .（3）由⑴和(3)可知7=z .同理可得27=x 和1=y .从而15=+++xy z y x .4.随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和 相等的概率为 .解：设n 是满足题意的8位数，故知其偶数位上的1的个数和在奇数位上的 1的个数相同，从而在奇数位上与偶数位上的1的个数可能为1,2,3或4.注 意到首位为1,下面分情况讨论：（i ）奇数位上与偶数位上有1个1, 3个0,共有1403C C ⋅=4种可能；(ii)奇数位上与偶数位上有2个1, 2个0,共有2413C C ⋅=18种可能；(iii)奇数位上与偶数位上有3个1, 1个0,共有3423C C ⋅=12种可能； (iv)奇数位上与偶数位上有4个1,共有4433C C ⋅=1种可能；合计共有4 + 18 + 12+1 = 35个满足条件的自然数n.又因为0和1构成的 8位数共有27 = 128个，从而概率为12835. 5.设722cos sin 1=+x x 且n m x x =+sin cos 1，其中nm为最简分数，则n m += . 解：注意到2sin 2cos cos ,2cos 2sin 2sin 22x x x x x x -==，且2sin 2cos 122x x +=.由722cos sin 1=+x x 可得7222sin 2cos 2sin2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 21cos sin 122=-+=-+=+x x xx x x x x x x ，2sin 292cos 15x x =.于是，15292sin 2cos2sin 2cos 12cos 21sin cos 1222==--+=+=x xx x x x x n m . 从而441529=+=+n m .6.记][x 为不超过实数x 的最大整数.若]87[]87[]87[]87[202020192++++=ΛA , 则A 除以50的余数为 .解：注意到8787212kk ，-均不是整数.按定义122122122121278787]87[]87[)187()187(27-----=+<+<-+-=-k k k k k k k k ，所以对任意正整数k 均有17717]87[]87[2212212-⋅=-=+---k k kk 1)49(71-⋅=-k 1)150(71--⋅=-k )50(mod 1)1(71--⋅≡-k ， 从而 )50(mod 401010)11(10007≡--⋅⋅≡A .7. 一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体拼在一起构成的，则该长方体的一条对角,穿过 个不同的单位立方体.解：从左到右151个互相平行两两距离为1的平面与对角,有151个交点, 将对角,分为150段.同样，从上到下，从前到后的两两距离为1的平面又 增加一些分点.除去对角线的一端外，共有150+324+375-(150,324)-(324,375)-(375,150)+(150,324,375)=768个分点(容斥原理)，将对角线分为768段，每段属于一个单位立方体，即对角,穿过768个单位立方体.(注:b a ,为正整数，记(b a ,)为a 与b 的最大公约数.)8.已知数列:ΛΛΛΛ,313,,34,32272627227427296949232n n n n -，，，，，，，，，，,那么21872020是该数列的第 项.解:依题意知，可将已知数列进行分组，第一组为}32{;第二组为}98,96,94,92{； 第三组为}2726,,274,272{Λ;…; 第n 组为}313,,34,32{n n n n -Λ.又76320203<<,故分数21872020在数列第7组. 下面我们计算数列分组后，前6组共有数列中)]13()13()13()13()13()13[(21654321-+-+-+-+-+- 543]613)13(3[216=---=项. 又21872020为数列第7绢的第1010位. 所以分数21872020为数列的第543+1010位，即1553位.二、解答题（本大题共3小题，其中第1题16分，第2, 3题各20分，共56分.）1.设F 是椭圆E :1322=+y x 的左焦点，过点F 斜率为正的直线l 与E 相交于B A ,两点，过点B A ,分别作直线AM 和 BN 满足l AN l AM ⊥⊥,,且直线AM , BN 分别与x 轴相 交于M 和N .试求||MN 的最小值.解：设过椭圆E 的左焦点F 的直线l 的倾斜角为α,依题意知02>>απ.如图 设'F 为椭圆E 的右焦点在MAF Rt ∆中||||cos MF AF MFA =∠,所以 MFA AF MF ∠=cos ||||.在NBF Rt ∆中，同理有NFBBF NF ∠=cos ||||，所以有 αcos ||cos ||cos ||||||||AB NFB BF MFA AF NF MF MN =∠+∠=+=.（4） 连结'BF ,在'FBF ∆中，记x BF =||,则x BF -=32||'.由余弦定理知αcos ||||2||||||'2'22'FF BF FF BF BF -+=,即αcos 222)22()32(222⋅⋅-+=-x x x .所以有αcos 231⋅-=x ,即αcos 231||⋅-=BF .（5）同理有αcos 231||⋅+=AF .（6）由(5) (6)知ααα2cos 2332cos 231cos 231||-=⋅++⋅-=AB . 由(4)知ααcos )cos 23(32||2-=MN . 令ααα222cos 4)cos 23()(-=f ，则αααα222cos 4)cos 23)(cos 23()(--=f .根据均值不等式知3222222cos 4)cos 23)(cos 23(3cos 4)cos 23()cos 23(αααααα--≥+-+-.所以8cos 4)cos 23)(cos 23(222≤--ααα且等号成立当且仅当αα22cos 4cos 23=-,即4πα=.所以当且仅当4πα=时，4))((max =αf . 从而当且仅当4πα=时6||min =MN .2.设n a a a a ,,,,210Λ是正实数，且1210>>>>>n a a a a Λ并满足)11(2)11()11()11(021a a a a n -=-++-+-Λ试求出(n a a a a ,,,,210Λ)所有可能的).解：由题意知，对n i ≤≤0均有2≥i a .于是有2)11()11()11()11(22210n a a a a n >-++-+-=->Λ. 可得4<n .由于n 是正整数，故}3,2,1{∈n .当1=n 时，我们有10112a a +=得01012a a a a +=.注意到11>a .从而0010122a a a a a >+=,即01a a >,这与10a a >矛盾.当2=n 时，我们有210112a a a +=.由于1210>>>a a a ,故1011a a <且2011a a <.从而210112a a a +=是不可能的，故2=n 也不成立. 当3=n 时,我们有321011121a a a a ++=+，则必定有23=a ,否则等式右边至多为1514131<++.同理32=a ,不然等式右边至多为1514121<++.因此我们有61261101>+=a a ,从而631<<a . 当41=a 时240=a ;当51=a 时600=a .综上所述，(n a a a a ,,,,210Λ)所有可能的解为(24, 4, 3, 2)或(60, 5, 3, 2).3.给定正实数b a <<0,设],[,,,4321b a x x x x ∈.试求4321124423322221x x x x x x x x x x x x ++++++的最大值与最小值.解：（i ）因为],[,,,4321b a x x x x ∈，且b a <<0，所以有⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥+≥+,2,2,2,241124344232332212221x x x x x x x x x x x x x x x x从而有4321124423322221x x x x x x x x x x x x +++≥+++，并且等号成立当且仅当4321x x x x ===.于是当4321x x x x ===时 4321124423322221x x x x x x x x x x x x ++++++取到最小值1.（ii ）因为],[,,,4321b a x x x x ∈，且b a <<0，所以有],[1abb a x x i i ∈+,其中15x x =. 注意到1112+++=i i i i i x x x x x .于是有abx x x ba i i i ≤≤++112.从而 0))((112112≤--++++i i i i i i x ab x x x b a x x . 即0)(112≤++-++i i i i x x a b b a x x .所以，对所有41≤≤i 均有 112)(++-+≤i i i i x x abb a x x .其中，15x x =.从而有 ))(1(4321124423322221x x x x baa b x x x x x x x x +++-+≤+++， 于是14321124423322221-+≤++++++ba ab x x x x x x x x x x x x ，并且等号成立当且仅当b x a x b x a x ====4321,,,，或a x b x a x b x ====4321,,,，所以4321124423322221x x x x x x x x x x x x ++++++取到最大值1-+b a a b .。

2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为 ．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是 ．答案：．解：不妨设(1,0)e =．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为 ． 答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为 ．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有一处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件． 当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ． 综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为 ． 答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø． 化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）． 将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===． 由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===， 即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分 进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24yx =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故 222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=． 当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î． 当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分 当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å． 当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=， 这表明C不能大于3． 综上，所求的C为3． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为 ．答案：5． 解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为 ．答案：3． 解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：95． 解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为 ．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---． 因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为 ．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为 ．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø， 确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分 综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø． 当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<． 证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分 当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå． 综上，结论获证． …………………20分。