扬州大学高等代数课件--第七章_线性变换

教案纸

1 第七章 线性变换

§1 线性变换的定义

一、线性变换的定义

线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.

定义1 线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素,和数域P中任意数k，都有

A ()=A ()+A ();

A(k)=Ak(). （1）

一般用花体拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A ()或A代表元素在变换A下的像.

定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.

例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转角，就是一个线性变换，用ℐ表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是),(yx，那么像ℐ()的坐标，即旋转角之后的坐标),(yx是按照公式

yxyxcossinsincos.

来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.

例2 设是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它.用公式表示就是

),(),()(. 教案纸

2 这里),(),,(表示内积.

例3 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即

E)()(V

以及零变换ℴ，即

ℴ)(0)(V

都是线性变换.

例4 设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：

Vk,.

这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当1k时，便得恒等变换，当0k时，便得零变换.

例5 在线性空间][xP或者nxP][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即

D（)(xf）=)(xf.

例6 定义在闭区间ba,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(baC代表.在这个空间中变换

第 7 章 线性变换

7.1 知识点归纳与要点解析

．线性变换的概念与判别

1. 线性变换的定义

域 P 中的任意数 k ，都有： 注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2. 线性变换的判别

设 为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：

3. 线性变换的性质

也线性无关。

如果：

是V中任意一组向量，如果:数域P上的线性空间V的一个变换 称为线性变换, 如果对 V 中任意的元素 和数

kk

为V的线性变换 lk V, k,l P

性质

性质

性质 设V是数域P上的线性空间, 为V的线性变换, 2,L , S, V 。

1.

2.

3. 0 0,

若1,2丄，s线性相关，那么 2 ,L S 也线性相关。

设线性变换 为单射， 如果 2,L S 线性无关， 那么 2 ,L ,

注：设V是数域P上的线性空间， 2,L 2,L , S是V中的两个向量组,

c11 1 c12

记：

1, 2,L , m c21 1

LL c22 2 2L

L c1s s

c2S S

cm1 1 cm2 2

2,L , S c11 c21 cm1

c12

M c22

M cm2

M

c1s cms

于是，若 dim V n， 2,L , n是V的一组基, 是V的线性变换, 1, 2,L

1 b11 1

2 b21 1

LL L

m bm1 1

记:

1, 2,L , m

那么：

1, 2,L , m

b11 b21 L cm1

b12

b22 L cm2 ，

12 ， 1, 2,L M M M b1n b2n L cmn

b12 2 L b1n n

b22 2 L b2n n

1 , 2 L m

b11 b21 L cm1

, ,L , b12 b22 L cm2

1, 2 ,L , n

M M M

b1n b2n L cmn

m 是矩阵 B 的列向量组， 如果 i1 , i2 ,L , ir 是

高等代数 课堂笔记 第七章

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第七章 线性变换

§7.1 线性变换的定义与判别

一、线性变换的定义：

定义1 设V为数域P上线性空间，

A为V的一个变换(即V⟶V的映射)，若

A保持加法和数乘运算，

即

A(

𝜶+𝜷)

=

A(

𝜶)

+

A(

𝜷)

,∀𝜶,𝜷∈V，

A(

𝑘𝜶)

=𝑘

A(

𝜶)

,∀𝑘∈𝐏，则称

A为V的一个线性变

换.

注记： 以后我们用花体拉丁字母

A,B,C,...表示V的线性变换，除了特别说明外，本章节中V均指

数域P上有限维线性空间.

例1.说明下列变换均为线性变换：

(1)把V中任一向量都映射为0（称为零变换，记作

0）；

(2)把V中任一向量𝜶映射为本身（恒等变换，记作

E）；

(3)取定𝑘∈𝐏，把V中的每一个向量𝜶映射为𝑘𝜶（数乘变换，记作

k）.

例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换：

(1)ℝ,

x-

:𝜎(𝑓(

𝑥)

)=𝑓′(

𝑥)

;

(2)C

,

𝑎,𝑏-: 𝜎(𝑓(

𝑥)

)=

∫𝑓(

𝑡)

d𝑡𝑥

0;

(3)𝐏𝑛×𝑛

: 𝜎(

A)

=A+A′

,𝜎

2(

A)

=SAT，S,T为固定二个𝑛×𝑛矩阵.

(4)ℝ,

x-

𝑛: 𝜎

1(𝑓(

𝑥)

)=𝑥𝑓(

𝑥)

,𝜎

2(𝑓(

𝑥)

)=𝑓(

𝑥)

+1.

解：可验证(1)-(3)均为线性变换，

下面证明(1)：

∀ 𝑓(

𝑥)

∈ℝ,

x-

，其导函数唯一确定，且𝑓(

𝑥)

∈ℝ,

x-

，

因而σ为V⟶V的变换，即V的一个变换，

𝜎(𝑓(

𝑥)

+𝑔(

𝑥)

)=(𝑓(

𝑥)

+𝑔(

𝑥)

)′

=𝑓′

(

𝑥)

+𝑔′

(

𝑥)

= 𝜎(𝑓(

𝑥)

)+ 𝜎(𝑔(

𝑥)

),

∀𝑘∈ℝ,𝜎(𝑘𝑓(

𝑥)

)=(𝑘𝑓(

𝑥)

)′

=𝑘𝑓′(

𝑥)

=𝑘𝜎(𝑓(

𝑥)

).

(4): 𝜎

1与𝜎

2均不是线性变换，取𝑓(

𝑥)

=𝑥𝑛−1

+1=ℝ,

第7章 线性变换

§1 线性变换的定义

线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义

定义7.1 设V为线性空间，若对于V中的任一向量，按照一定的对应规则T，总有V中的一个确定的向量与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为

)(T 或 )(,VT，

称为的象，称为的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T（V），即

T（V）=VT|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V中的变换T，若满足条件

（1） 对任意V,有

（2） )()()(TTT；

（3） 对任意V及数域P中任意数k有)()(kTkT， 则称变换T为V中的线性变换。

例7.1 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即

E)()(V

以及零变换ℴ，即

ℴ)(0)(V

都是线性变换.

例7.2 设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：

Vk,.

这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当1k时，便得恒等变换，当0k时，便得零变换.

例7.3 在线性空间][xP或者nxP][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即

D（)(xf）=)(xf.

例7.4 定义在闭区间ba,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(baC代表.在这个空间中变换

ℐ（)(xf）=xadttf)(

是一线性变换. 例7.5 在3R中，定义下列变换：对任意的321xxx3R，

1321321xxxxxxx，3321101xxxx，2332213212xxxxxxxx