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高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.

V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
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证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合，如果＝ 1＋ 2 ，＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2，因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ，有＋＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
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推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章线性空间
§8.2 子空间及其交与和子空间的直和
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子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的运算。由于两个子空间的并一般未必仍是子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空间集合的运算。因此引入子空间的和。我们切不可把子空间的和与集合的并混为一谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。

高等代数课件

(1) a111 a212 ar1r
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:

《高等代数》PPT课件

命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
2021/8/17
15
三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意，存在，使得 + = 0，称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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8
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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4
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
2021/8/17
1
第五章向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构

高代PPT

第一章
多项式
定理2.4.2
F x 中任一个次数大于零的多项式
f x 可分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 x pr x ,
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解成不可约因式的乘积分解式是唯一的，即，若有两个分解式：
三、典型（标准）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，并把相同的因式合并，于是， f x 的分解式就变成：
f x an p1k1 x p2k2 x pl kl x .
p1 x ,, pl x 为 F x 的首一不可约多项式，
当r=1时，结论显然成立。假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立，则当 f x 分解成r个因式时，有
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
故存在某个qi 使 p1 ( x) qi ( x) 由于 p1 x q1 ( x)q2 (x)qs (x) ，为方便起见不妨设 qi ( x) 就是 q1 ( x) 。
f x a1 2a2 x nan xn1 （形式定义）
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数，记为
f x
第一章多项式
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
若 d x cp x , 则 p x f x
第一章多项式
性质3
若 p x 不可约且 p x f x g x

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

f

x2 1

x2 2

5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A

1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序主子式均为正 , 即
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1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2

5 2

2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此

5t
2

4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5

高等代数第一章ppt课件

有 a c . 其中 NM*c表示{x全体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3, } 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成立. 也就是说，M c 的任意一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布最小数原理数学归纳法的依据教学目的掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的一个最基本的性质）.
注意最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ，都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就

高等代数课件PPT之第1章多项式

2.多项式的运算设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)，有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0

高等代数(绪论)讲解PPT课件

开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
17
2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道，但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
10
2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室办公电话：2891005 电子信箱：
12
2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著

高等代数(绪论)讲解课件

善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的基本工具，它可以用于图像处理、计算机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何变换。通过线性变换，可以研究几何对象的性质和关系，并将其应用于图像处理、计算机图形学等领域，实现图像的旋转、缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有序数组成。在高等代数中，向量通常表示为有序数对的序列，这些数对可以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若干列组成。在高等代数中，矩阵是重要的数学工具，它可以表示向量之间的关系、线性变换等。

《高等代数课件》

4 1 1 1 0
例3
求矩阵A的特征值和特征向量
A
4
3
0 .
1 1 0
1 0 2
解 (i) 由EA 4 3 0 (2)(1)2
1 0 2
得 A 的特 1 2 征， 2 值 3 1 ；
(ii) 当 1 2 时(2 ， E A )x 解 0 .
3 1 0 1 0 0
由2EA4 1 00 1 0
第4.1节特征值与特征向量
• 特征值与特征向量概念 • 特征值与特征向量性质
返回
1.特征值与特征向量概念
(1)特征值与特征向量定义设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征
向量. 例如
A 0 3 1 1 ,1,x 1 2 ,有 A xx
1 0 0 0 0 0
0
例2与例3中,
得xx12 00,全
部
特
征k1向 0(k量 10为 );重特征值所
1
对应的线性
当 23 1 时(， E A )x 解 0 . 无关特征向
2 1 0 1 0 1 由EA4 2 00 1 2
量的个数是不相同的.
1 0 1 0 0 0
1
得 xx212xx33,全
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
(*)
用方阵A左乘上式两端,得
k1Ax1+k2Ax2+…+ks Axm=0
再利用 Axi=i xi ( i=1,2, …,m),得
k11x1+k22x2+…+kmmxm=0 (**)
(**)- λm(*),得

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a1n xn 0 a2n xn 0
arn xn 0
（ 2）
是同解的。由于方程组（ 1）中方程的个数小于未知量的个数，故（ 2）从而（ 1）有非零解。
定理 1: 矩阵的行秩与列秩相等。
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a11 a12
证明：设所讨论的矩阵为
A
a21
第三章线性方程组的进一步理论
§3.5 矩阵的秩
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上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。
定义1: 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。
此即齐次线性方程组 a12x1 a22x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0
ar2xr 0 只有零解。
arn xr 0
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由引理知，这个方程组的系数矩阵
a11 a21
a12
a22
a1n
a2n
ar1
ar
2
的行秩
下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。
定理 2:
a11 a12
nn
矩阵
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
的行列式为零的
ann
充要条件是A的秩小于n。
证：充分性显然：
设A的秩=r<n。用1,2, ,n 表示A的列向量组。不妨设 1, a2, ,r 是列向量组的极大无关组。
故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 1, ,r 是它的
一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于向量组 1, ,r ,r1, ,m与 1, ,r 是等价的，故原方程组与
以下方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 ar1x1 ar2 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
（ 1）
a11 a12的系数矩阵 NhomakorabeaA
a21
a22
am1
am2
a1n
a2
n
的行秩r<n，那么它有非零解。
amn
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证明：用 1,2, ,m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r，
a2 n 0
ann
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组
2
a12 a11
1,
,n
a1n a11
1
即存在不全为零的数k2, , kn ，使
也线性相关，
k2
2
a12 a11
1
kn
n
a1n a11
1
0
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整理得
a12 a11
k2
r
arn
因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组
a11, a21, , ar1 ,
a12, a22, , ar2 ,
a1r , a2r , , arr 线性无关。
由上一节的性质5知，其延长向量组：
a11, a21, , ar1, ar1,1, am1 ,
a12 , a22 , , ar2, ar1,2, , am2 ,
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a1r , a2r , , arr , ar1,r , , amr
也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性无关，故知A的列秩s r ,
同理可证：s r ，因此有r=s。由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。
1 1,0,0,0, 2 2,2,0,0, 3 1,3,2,1, 4 2,2,4,2,
则列向量组的极大线性无关组为 1, 2, 3, 故A的列秩也是3。
问：矩阵A的行秩是否等于列秩？为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组的解联系起来。引理：如果齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a1n a11
kn
1
k22
knn 0
因此 1,2 , ,n 线性相关，它的秩小于n。
a22
am1
am2
a1n
a2n
而A的行
amn
秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证 r s ，再证 r s ）。
用 1,2, ,m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设 1, ,r 是它的一个极大线性无关组。因为 1, ,r 线性无关，
故方程组 x11 xrr 0 只有零解。
a11x1 a21x2
假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用
1,2, ,n 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全
为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这
n个元素有一个不为0，不妨设 a11 0 ，则从第二列直到n列
分别加上第一列的倍数
a12 a11
,
,
a1n a11
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设 n k11 k22 krr
a11 a12
考虑A的行列式 A a21 a22
a1n a11 a12 a2n a21 a22
0 0
0
an1 an2
ann an1 an2
0
必要性：
若 A 0 ，我们对n用归纳法证明。
当n=1时，由 A 0 知A仅有一个元素就是0，故A的秩为0<1。
这样，在把 a12, , a1n 消为零的过程中，行列式 A 化为
其中由于
a11 0 A a21 a22
0 a2 n
a22 a11
0, a2i ,
an1 an2
ann
, ani
i
a1i a11
1,
an 2
i 2,3,
a22
A 0, a11 0 ，故n-1阶矩阵
an 2
a2 n
ann
,n
例1 求矩阵
1 2 1 2
A
0
2
3
2
的行秩和列秩。
0 0 2 4
0
0
1
2
解：A的行向量组是：
1 1,2,1,2,2 0,2,3,2,3 0,0,2,3,4 0,0,0,1
其极大线性无关组是：1,2,3, 故A的行秩为3。
又A的列向量为
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