第十二章 反常积分与含参变量的积分
§12.1 .无穷积分
一、无穷积分收敛和发散概念
实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的
火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2
2mgR F r
=所作的
功
为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号
()a
f x dx +∞
⎰
（或(),()b
f x dx f x dx +∞
-∞
-∞
⎰
⎰
）
称为函数()f x 的无穷积分.
设,,p R p a ∀∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a
f x dx +∞
⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()a
f x dx +∞
⎰
（的值），
即
()lim
()p
a
a
p f x dx f x dx +∞→+∞=⎰
⎰
.
设,,q R q b ∀∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b
f x dx -∞
⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()b
f x dx -∞
⎰
（的值），
即
()lim ()b
b
q
q f x dx f x dx -∞
→-∞=⎰⎰.
若c R ∃∈，两个无穷积分
()c
f x dx -∞
⎰
与 ()c
f x dx +∞
⎰
都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞
⎰
收敛（发散），且 ()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+⎰
⎰
⎰
.
显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2
2()mgR F r r
=的无穷积分，即
例1 . 求下列无穷积分
2
,
x x e dx xe dx +∞
+∞
--⎰
⎰
.
解 ：0
lim
lim ()lim (1)1p
p
x
x x
p p p p e dx e dx e e +∞
----→+∞→+∞
→+∞
==-=-=⎰⎰
例2.求下列无穷积分
201dx dx x +∞+⎰；021dx
dx x -∞+⎰；21dx dx x +∞-∞+⎰. 解： 220
00
lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π+∞→+∞→+∞→+∞====++⎰
⎰.
00
022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++⎰⎰. 0222
0111dx dx dx dx dx dx x x x +∞
+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰＝22ππ
π+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则 其中符号()lim ().p F F p →+∞
+∞=
例3 .判别无穷积分a
dx
dx x
λ+∞
⎰的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有 当1,λ=有
于是，当1λ>时，无穷积分a
dx
dx x λ+∞
⎰收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dx x
λ+∞⎰发散
例4.判别无穷积分2
(ln )
dx
x x λ
+∞⎰
的敛散性. 解：当1λ≠，有 当1λ=，有 二、无穷积分与级数
上述三种形式的无穷积分： 其中 ()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞+∞
-∞
-∞
=+⎰
⎰
⎰
，
于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()a
f x dx +∞⎰的敛散性即可.
无穷积分
a
dx x λ
+∞
⎰
与广义调和级数11
n n
λ
∞
=∑
，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分
与级数之间存在着内在的联系.
定理 1 .无穷积分
()a
f x dx +∞
⎰
收敛⇔对任意数列{},,n A n N +∀∈有[.),n A a ∈+∞而
1,lim n n A a A →∞
==+∞，级数
收敛于同一个数，且
11
()()k k
A a
A k f x dx f x dx +∞
+∞
==∑⎰
⎰
.
证明：必要性 已知无穷积分收敛，即
1
1
1
1
1
()lim ()lim ()()n k k k
k
n
A A A a
a
A A n n k k f x dx f x dx f x dx f x dx +++∞
+∞
→∞→∞
=====∑∑⎰
⎰
⎰
⎰
.
充分性 已知对任意数列{}n A ，而1,lim n n A a A →∞
==+∞时，级数1
1
()k k
A A k f x dx +∞
=∑⎰
收敛于同一个
数，根据海涅极限定理，无穷积分()a
f x dx +∞
⎰
收敛，且
.
1
1
1
()lim ()()n k k
A A a
a
A n k f x dx f x dx f x dx ++∞
+∞
→∞===∑⎰
⎰
⎰
三、无穷积分的性质
假设函数()f x 在区间[,)a +∞有定义，且,p R p a ∀∈>，函数()f x 在),[p a 可积.由无穷积
分定义，无穷积分()a
f x dx +∞⎰
收敛⇔当p →+∞时，函数()()()p
a
F p f x dx
a p =<⎰存在极限.
定理2（柯西收敛准则） 无穷积分()a
f x dx +∞
⎰
收敛⇔120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有
21
()p p f x dx ε<⎰
.
推论1.若无穷积分()a
f x dx +∞⎰
收敛，则lim ()0p
p f x dx +∞→∞
=⎰
.
证明：根据定理2，0,,,,A a p A q A ε∀>∃>∀>∀>有 令q →+∞，即lim
()q p
q f x dx ε→∞
≤⎰
或
()p
f x dx ε+∞≤⎰
推论2 若无穷积分()a
f x dx +∞⎰收敛，则无穷积分 ()a
f x dx +∞⎰
也收敛.
证明 ：根据定理2 120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有 从而，有
221
1
()()p p p p f x dx f x dx ε≤
<⎰
⎰
，
即无穷积分()a
f x dx +∞⎰
收敛.
