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第五届高数竞赛理工类试题

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第 1 页 共 7页 第五届高数竞赛(理工类)试题

序号： 姓名： 学院: 第 考场

专业： 学号： 考试日期： 2008年9月21日

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 累分人

签名 题分 15 15 8 6 7 7 6 7 7 7 8 7 100

得分

注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:30——11:30.

一、 填空题(每空3分，共15分)

得分 评阅人

1、20sin1limarcsinxxexx＝ .

2、设fx在0x处可导，则000limtfxmtfxntt .

3、设fx是连续函数，且102fxxftdt，则11fxdx .

4、已知两直线方程是1123:101xyzL与221:211xyzL，则过1L且平行2L的平面方程为 .

5、由方程2222xyzxyz所确定的函数,zzxy在点1,0,1处的全微分为 .

第 2 页 共 7页 二、 单项选择题(每题3分，共15分)

得分 评阅人

1、 设xf=2,0,xxx为有理数为无理数，则()fx可导点的个数为（ ）

(A) 0. (B) 1.

(C) 2. (D) 无穷.

2、 设t是正值连续函数，0a，aafxxttdt，axa ，关于曲线yfx，下列说法正确的是（ ）

(A) 在,0a上是凹的，在0,a上是凸的.

(B) 在,0a上是凸的，在0,a上是凹的.

(C) 在,aa上是凹的.

(D) 在,aa上是凸的.

3、 级数2132nnnnxnn的收敛域为（ ）

(A) 11,33. (B) 11,33.

(C)11,22. (D)11,22.

4、 设C为圆周22xyax，0a，则22Cxyds（ ）

(A) 122a. (B) 2a. (C)42a. (D) 22a.

5、 设40tannnuxdx，则11nnnu( )

(A)发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 无法判断.

第 3 页 共 7页

三、（本题满分8分）

设二元函数222222221sin,0;,0,0,xyxyfxyxyxy 试解答

(1) yxf,在点0,0是否连续？ (2) 求0,0xf，0,0yf.

(3) ,xfxy，,yfxy在点0,0是否连续？ (4) yxf,在点0,0是否可微?

四、（本题满分6分）

计算定积分值40sincossincosxxdxxx.

得分 评阅人

得分 评阅人

第 4 页 共 7页

五、（本题满分7分）

计算曲线积分22(1)(1)LydxxdyIxy，其中L为椭圆22194xy的正向.

六、（本题满分7分）

设连接两点0,1A与1,0B的一条凸弧，点,Pxy为凸弧AB上的任意一点，已知凸弧与弦AP之间的面积为3x，求此凸弧的方程.

得分 评阅人

得分 评阅人

第 5 页 共 7页

七、（本题满分6分）

设k为非零常数，试判断级数221sinnnk的敛散性（发散、条件收敛还是绝对收敛）.

八、（本题满分7分）

设函数fx连续，且222Ftzfxydv，其中空间区域为：0zh，222xyt，求导数dFdt和极限20limtFtt. 得分 评阅人

得分 评阅人

第 6 页 共 7页

九、（本题满分7分）

设2,zfxyxy，其中,fuv具有二阶连续偏导数，二阶可导，求2zxy.

十、（本题满分7分）

计算12222lim1112nnnnnnnnn.

得分 评阅人

得分 评阅人

第 7 页 共 7页

十一、（本题满分8分）

求级数20112nnnnn的和.

十二、（本题满分7分）

设fx在0,1上有连续的导数，求证：当0,1x，有10fxftftdt.

得分 评阅人

得分 评阅人

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高数竞赛试题及答案

高数竞赛试题及答案

高数竞赛试题及答案

在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。

1. 竞赛试题一

考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。

(1)求函数f(x)的定义域。

(2)求函数f(x)的最大值和最小值。

解答过程：

(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x的范围。由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：

当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；

当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。

对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。解这个不等式可以得到x

≤ 1或x ≥ 3。 对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。解这个不等式可以得到1

< x < 3。

综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。

(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。

当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。代入可得最小值为f(2) = 1。

当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。代入可得最大值为f(2) = -1。

综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。

2. 竞赛试题二

已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。

长沙理工大学高等数学竞赛试题及答案1

长沙理工大学高等数学竞赛试题及答案1

长沙理工大学非数学专业竞赛试题

一、填空题（每小题3分，共30分）

1. 123ln1ln1ln1ln1lim123nnnnnnnnnnnnnnn .

2.1)2(lim6123xexxxxx= .

3.221ln(1)nn=

4. π22π22sind(1cos)xxxx 。

5. 设D为闭区域221,xy则2222()Dxydxdyab 。

6. 设arcsinyx，求0ny= 。

7. 交换积分的次序11000,,xxydxdyfxyzdz 。（变换为先y后x,z）

8. 2006π0|sin|d_______.xxx

22229.(,),(,)(,)dd,(,)_____.xyafxyfxyyxfxyxyfxy设为连续函数且则

10、设111,sin(1,2,)nnxxxn，则limnnx 。

二、（本小题10分）设),(yxf有二阶连续偏导数, ),(),(22yxefyxgxy,

且))1((1),(22yxoyxyxf, 证明),(yxg 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.

三、（10分）设函数(,),(,)uxyvxy在闭区域22:1Dxy上有一阶连续偏导数，又(,)(,)(,),(,),uuvvxyvxyuxyxyxyxyfijgij且在D的边界上有(,)1,(,),uxyvxyy求dDfg。

四、（10分）设正项级数1nna收敛，且和为S。试求：

高数竞赛试题及答案 2

高数竞赛试题及答案 2

高等数学竞赛试题

一、填空题(每小题2分，共12分)

1、函数2ln(1),0()(1)sin2,0xxxfxexx若若 在点0x处可导，则,。

2、设xdxxfxxxfe12)(2ln)(，则()fx。

3、221(1)(arctan)dxxx。

4、设二元函数(,)uxy满足22uxyy，2(,)1uxx，则(,)uxy。

5、由2222xyzxyz所确定的(,)zzxy在点(1,0,1)处的全微分为。

6、过1123:101xyzL且平行于221:211xyzL的平面方程为。

二、选择题(每小题2分，共12分)

1、把0x时的无穷小量xdtt02cos，20tanxdtt，xdtt03sin排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )

A ,,； B ,,； C ,,； D ,,。

2、设2,()0,xxfxx若为有理数若为无理数，则()fx可导点的个数为( )

(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 无穷。

3、设()fx是(,)上可导的、周期为6的函数，且满足0()()lim1xffxx，则曲线()yfx 在(7,(7))f处的切线斜率为( )

A、2； B、0 ； C、1； D、1。

4、设0a，()t是正值连续函数，则曲线()()aayfxxttdt( ) (A) 在,0a上是凹的，在0,a上是凸的； (B) 在,0a上是凸的，在0,a上是凹的；

高数竞赛题

高数竞赛题

1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。若存在 ξ ∈ (a,

b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？

A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - a

B. ∃x₁, x₂ ∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)

C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)

D. ∃x₀ ∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）

2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？

A. {a_n} 是递减数列

B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1

C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1

D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥ √(2n + 1)（答案）

3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？

A. -1

B. 0

C. 1 - √2（答案）

D. 2 - 2√2

4、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数 λ 的值为？

A. -1/2

B. 1/2（答案）

C. -2

D. 2

5、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？

A. 0

B. 1

C. 2（答案）

D. 3

6、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？

A. [0 -2; 2 0]（答案）

B. [2 2; -2 -2]

C. [0 2; -2 0]