等比数列前n项和的应用

正项等比数列前n项积的几个性质及应用

一、性质

1.正项等比数列的前n项积乘积等于第一项的n次方乘以等比数列的公比的n次幂减一的商；

2.正项等比数列的前n项积的导数等于正项等比数列的第一项的n-1次方乘以等比数列的公比的n-1次幂减一的商；

3.正项等比数列的前n项积的递归公式：an-1an-2…a2a1=a1a2…an-2an-1=a1(a1a2…an-2an-1)；

4.正项等比数列的前n项积与等差数列的第n项等值：an-1an-2…a2a1＝S1S2…S(n-1)

二、应用

1.解决有关“等差数列最后一项乘以首项可求出数列的和”的一些问题；

2.求解等比数列的累积数列的和；

3.为求解几何级数的和提供一定的帮助。

等比数列的前n项和

一、等比数列的前n项和公式

1．乘法运算公式法

∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)

＝a1·1－q1＋q＋q2＋…＋qn－11－q＝a11－qn1－q，

∴Sn＝a11－qn1－q.

2．方程法

∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)

＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，

∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.

∴Sn＝a11－qn1－q.

3．等比性质法

∵{an}是等比数列，∴a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.

∴a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，

即Sn－a1Sn－an＝q于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.

二、等比数列前n项和公式的理解

(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．

(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

等比数列前n项和性质

（1）在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．

（2）当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S偶S奇＝q.

（3）若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列{an}为等比数列．

1 求数列前N项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n项和：

11()(1)22nnnaannSnad

特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，1nSna 1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

解：由212loglog3log1log3323xxx

由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式）

＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn

∴

1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501

∴ 当

88n，即n＝8时，501)(maxnf

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS……………①

解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积

设nnxnxxxxxS)12(7531432………. ② （设制错位）

①－②得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432

等比数列的前n项和的推导及错位相减法的拓展

本文首先从实际问题出发，抽象出数学问题：等比数列求和。运用演绎推理的方法从一般性的原理出发而逐步加深，体现了抽象和推理是数学的显著特征。接着归纳出错位相减法，最后对错位相减法的本质作了深层次的探讨。

演绎推理 错位相减法 等比数列

等比数列是数学里重要模型之一，它来源于我们的实际生活，在生产生活中有着广泛的应用，甚至进入高校学习高等数学及体会数学的应用价值都具有重要的意义.等比数列前n项和公式的应用是重点，其本身的推导方法也是教学中的重难点.如何解决这一难点，本文在教学中引导学生开展了深入的探索。等差数列求和公式的核心是倒序相加法，而等比数列求和公式的核心应该是错位相减法。如何利用演绎推理的方法引导学生理解错位相减法的思想呢？错位相减法的本质是什么呢？本文很好的解决了这个问题。

1.情境导入

在人教版必修5第二章第五节中关于国王奖励国际象棋发明者的故事，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒……

直到把第六十四个格子填满.这位发明者所要求的麦粒数究竟是多少呢？

各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨班达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.这样我们将一个实际问题归为了一个数学问题。

那如何求数列1，2，4，…262，263的各项和？我们不妨根据定义求解。

以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

我们发现后面63项均为偶数，所以它们可以提出公因数2，恰好为此等比数列公比，则我们可以得到：

上式中括号里的数恰好是此数列前63项的和，所以我们可以用 ，得到：

解得

上式过程中，后63项我们提取了系数2，我们发现2恰好为该等比数列的公比，根据类比推理的思想，那对于一般的等比数列，我们提取公比q，是不是可以达到同样的效果呢？我们不妨试一试。

2.等比数列的前n项和的推导

=

==

这是一个关于的方程，整理得