高三数学函数与导数试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知，其中均为实数，（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）设，求证：对恒成立；（Ⅲ）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）【解析】第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果．试题解析：（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ），,在上是增函数,在上是增函数设，则原不等式转化为即令即证，即在在恒成立即在，即所证不等式成立（3）由（1）得在所以，又，当时，在，不符合题意当时，要使得，那么由题意知的极值点必在区间内，即得，且函数在由题意得在上的值域包含于在和上的值域内，下面证时，，取，先证，即证令内恒成立再证【考点】函数的极值，函数的单调性，恒成立问题．2.（本小题满分14分）对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（Ⅱ）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，取，生成函数使恒成立，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】本题主要考查简单的合理推理等基础知识，考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，第二组，设，从而得，从而判断；第二问，化简，从而为，再设，则，从而得，从而化为最值问题；第三问，将函数使恒成立，转化成，再分情况讨论函数的最小值，即可得到b的取值范围．试题解析：（Ⅰ）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（Ⅱ）若不等式在上有解，，即设，则，，，故，．（Ⅲ）由题意，得若，则在上递减，在上递增，则，所以，得若，则在上递增，则，所以，得．若，则在上递减，则，故，无解综上可知，【考点】简单的合理推理．3.（本小题满分12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）判断函数的单调性；（3）求证：当时，【答案】（1）；（2）在上是增函数；（3）见解析．【解析】（1）对函数求导，由可得；（2）求导得，为研究其符号，令，再求导，研究其符号可得在区间恒成立，从而得函数的单调性；（3）由函数的单调性可知，令，求导研究其单调性可知，从而可证结论成立．试题解析：（1），令,得，解得．（2分）（2）由（1）知，，．再令则当时,, 递增;当时，, 递减;∴在处取得唯一的极小值，即为最小值．即∴,∴在上是增函数．（6分）（3）要证，即证，由（1）知，当时，为增函数，故故．令，则，∵, ∴∴即在上是减函数，∴时，，（11分）所以，即．所以．【考点】1．导数的几何意义；2．导数与函数的单调性；3．函数与不等式．4.（本小题满分12分）若关于x的方程有两个相等的实数根．（1）求实数a的取值范围．（2）当a＝时，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据方程有两相等实根，从而得到其判别式等于零，从而求得，结合题中所给的角的范围，从而求得，结合角的范围，求得的范围，第二问将的值代入，从而求得的值，从而求得结果．试题解析：（1）依题意得，，∵，∴≠0，则a＝，∵，∴ 0＜＜1，∴ 0＜a＜2（2）a＝时，，又，．【考点】一元二次方程根的个数，同角三角函数关系式，正余弦和差积的关系．5.（本小题满分12分）如图是函数f（x）＝x3－2x2＋3a2x的导函数y＝的简图，它与x 轴的交点是（1,0）和（3,0）（1）求函数f（x）的极小值点和单调递减区间；（2）求实数a的值．【答案】（1）是函数的极小值点，函数的单调减区间是;（2）．【解析】（1）导数大于0得增区间,导数小于0得减区间．在左侧,右侧．所以在处取的极小值．（2）先求导,由导数图像可知和是的两根,将和分别代入可求得的值．试题解析：解:（1）由图象可知：当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；当时，，在为增函数；∴是函数的极小值点，函数的单调减区间是．（2），由图知且∴∴【考点】1导数图像;2函数的单调性,极值．6.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数和的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．作出函数的图象如图：当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线y=ax和函数f（x）相切时，当x＞1时，函数，设切点为（m，n），则切线斜率，则对应的切线方程为，即又∵直线切线方程为y=ax，∴，解得，即此时，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，则满足；故选B．【考点】1、分段函数的应用；2、根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程．7.函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以函数的一个零点落在区间内；故选B．【考点】零点存在判定定理．8.设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．－2D．－【答案】C【解析】，，由导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，又直线的斜率为，依题意可得，解得．故C正确．【考点】1导数的几何意义；2直线垂直．9.设函数，（1）若函数在处与直线相切；①求实数，的值；②求函数上的最大值；（2）当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）①，，②；（2）．【解析】（1）①根据题意，可知，，从而课建立关于，的方程组，即可求解，②通过①中求得的，的值可确定的解析式，从而课通过求导判断在上的单调性即可求其最大值；（2）参变量分离后可知，从而问题等价于求，通过变换主元后，可将视为关于的一次函数，即可求其最小值，从而求解．试题解析：（1）①，∵函数在处与直线相切，∴，解得；②，，当时，令，得；令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴；（2）当时，，∴问题等价于对所有的，都成立，令，∵，∴，故为关于的一次函数，∴，∴对所有的都成立，∴．【考点】1．导数的运用；2．恒成立问题．【方法点睛】函数与导数相结合的问题需要具备识图，推断，联想，构造的能力，常见的解决问题的策略有：①画草图，特点关注特特殊点：零点，极值点；②掌握单调性和导函数正负的关系，不能与原函数混淆；③常常需要根据条件特点，找到隐藏的原函数，，，；④含参的恒成立问题，通常考虑参变分离转化为求函数最值处理．10.某市政府欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求曲线所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．【答案】（1）；（2）.【解析】第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程（），由已知可知在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得，从而确定出抛物线的方程；第二问根据题意，确定好点和的坐标，从而确定出所在直线的方程为，设（），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果.试题解析：（1）设所在抛物线的方程为（），抛物线过，，得，所在抛物线的方程为，（2）又，，则所在直线的方程为，设（），则，，，公园的面积（），，令，得或（舍去负值），当变化时，和的变化情况如下表：极大值当时，取得最大值．故该公园的最大面积为．【考点】抛物线的方程，导数的应用.【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，第二问将图形的面积表示为关于的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果.11.如图，点O为坐标原点，点A（1，1）．若函数且及且的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，恰好是线段的两个三等分点所以，把代入函数，即，解得把代入函数，即，即得所以故答案选【考点】指数函数和对数函数．12.函数为上增函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为上增函数的一个充分不必要条件是在上恒成立，所以，因为，所以，故选B．【考点】1、导数与单调性；2、恒成立问题；3、充要条件．【方法点睛】恒成立问题与存在性问题的常见形式：①恒成立问题的转化：恒成立；；②能成立问题的转化：能成立；能成立；③恰成立问题的转化：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值；④设函数、，对任意的，存在，使得，则．13.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项定义域为，不合题意；C选项在内既有增又有减，不合题意；D．，在内单调递减，故选B【考点】函数的单调性和零点14.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算对数式时，要先把底数化成同底的，再进行运算．．故选B．【考点】对数的运算性质．15.已知函数．（1）当时，求在区间上的最大值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】利用导数判断函数在区间上的单调性，进而看得出函数的最大值；（2）构造函数通过导数讨论函数的单调性得出函数的极值进而得到的取值范围；（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．试题解析：（1）当时当,有；当，有，在区间上是增函数，在上为减函数，又（2）令，则的定义域为在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．①①若，令，得极值点当，即时，在（，1）上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．【考点】函数与导数性质的应用．16.已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值．（2）根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点,，（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解．当x=0时，显然无解．当时，变形为，令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，．而，故方程①无解．若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是．法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程（）有唯一解,当x=0时，显然无解．当时，变形为，解得．令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解．综上知，所求x的取植范围是【考点】函数与导数性质的应用．17.已知函数.（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围.【答案】（I）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；（II）或.【解析】（I）由函数可知函数，显然无法利用单调性的定义来求单调区间，所以用导函数法来求其单调区间，，对进行分类讨论，并令可求得的单调区间；（II）由题意可得在区间上有解，即的极小值（最小值）为负数或零，结合的单调性，列不等式，求的取值范围.试题解析：(1) ,定义域为（0，+∞），①当即时，令，令，得故在上单调递减，在上单调递增②当即时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。
函数与导数函数与导数问题是高考数学的必考内容。
从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。
此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。
题型一：利用导数研究函数的单调性题型二：利用导数研究函数的极值题型三：利用导数研究函数的最值题型四：利用导数解决恒成立与能成立题型五：利用导数求解函数的零点题型六：利用导数证明不等式题型七：利用导数研究双变量问题题型八：利用导数研究极值点偏移问题题型九：隐零点问题综合应用题型十：导数与数列综合问题题型一：利用导数研究函数的单调性1(2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=x22+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+52(a,b∈R).(1)求a，b的值；(2)证明：f x 在1,+∞上单调递增.1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.2、求函数单调区间的步骤(1)确定函数f x 的定义域；(2)求f x (通分合并、因式分解)；(3)解不等式f x >0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f x <0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3、含参函数单调性讨论依据：(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；(3)导函数多个零点时大小的讨论。
1(2024·安徽六安·高三统考期末)已知函数f x =x3+ax-6a∈R.(1)若函数f x 的图象在x=2处的切线与x轴平行，求函数f x 的图象在x=-3处的切线方程；(2)讨论函数f x 的单调性.2(2024·辽宁·校联考一模)已知f x =sin2x+2cos x.(1)求f x 在x=0处的切线方程；(2)求f x 的单调递减区间.题型二：利用导数研究函数的极值1(2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试)已知直线y=kx与函数f(x)=x ln x-x2+x的图象相切.(1)求k的值；(2)求函数f x 的极大值.1、利用导数求函数极值的方法步骤(1)求导数f (x)；(2)求方程f (x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根x0附近，从左到右导函数f (x)的符号如何变化．①如果f (x)的符号由正变负，则f (x0)是极大值；②如果由负变正，则f (x0)是极小值；③如果在f (x)=0的根x=x0的左右侧f (x)的符号不变，则不是极值点．根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.2(2024·广东汕头·统考一模)已知函数f x =ax-1x-a+1ln x a∈R.(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点e,f e处的切线方程；(2)若f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.3(2022·河南·高三专题练习)已知函数f(x)=e x-ax312，其中常数a∈R.(1)若f x 在0,+∞上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若a=4，设g(x)=f(x)+x33-x2-x+1，求证：函数g x 在-1,+∞上有两个极值点.题型三：利用导数研究函数的最值1(2024·江苏泰州·高三统考阶段练习)已知函数f x =x4+ax3，x∈R．(1)若函数在点1,f1处的切线过原点，求实数a的值；(2)若a=-4，求函数f x 在区间-1,4上的最大值．函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求函数f(x)最值的步骤为：(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；(3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
