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初三圆的概念和性质

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第三章圆1、圆的定义（重点）２、和圆相关的概念：（１）弦：连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）（２）直径：经过圆心的弦；（３）弧：圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（４）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（５）优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示；（６）劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示；（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；（８）等圆：能够重合的两个圆；（９）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；（１０）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；（１１）圆心角：定点是圆心的角；（１２）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；（１３）弦心距：圆心到弦的距离。

注意：（１）直径等于半径的２倍；（２）同圆或等圆的半径相等；（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。

练习1 圆【基础知识填空】1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．3．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．4．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．5．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．6．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．7．半径相等的两个圆叫做____________．【练习题】8．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．9．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．11．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．练习2 圆1.要确定一个圆，需要知道_________和___________.2.已知⊙O的直径为4cm，则⊙O的面积为_________，周长为_________。

3.如果的周长为10π，那么它的半径为_________4.到定点Ｏ的距离等于２cm的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆．5.正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，1为半径做⊙A，则点B在⊙A ________,C点在⊙A ________,D点在⊙A ________.6.圆是轴对称图形，它有____条对称轴，是_________直线；圆还是中心对称图形，对称中心是_____7.一个圆的最长弦长为１０cm，则此圆的半径是_________8.Ａ、Ｂ是半径为2的⊙O上不同两点，则AB的取值范围是_________9.判断：（１）直径是弦．（）（２）弦是直径．（）（３）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（）（４）半径相等的两个半圆是等弧．（）（５）长度相等的两条弧是等弧．（）（６）周长相等的圆是等圆．（）（７）面积相等的圆是等圆．（）。

10.如图：AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC。

求证：∠1=∠2。

第2节圆的对称性1、圆的旋转不变性2、与圆有关的概念3、垂径定理及其推论（重点）练习11．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．【练习题】4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．12．已知：如图，试用尺规将它四等分．13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数．练习 21．(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分优弧(5)平分劣弧，知二得三，注意（1）（3）推（2）（4）（5）时，平分弦得直径中的弦是_________________1弧分为_________，_________，_________2．在同圆中，平行弦所夹的弧_________3．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦________，相等的弦所对的优弧和劣弧分别________。

4．已知⊙O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB于M，且OM=3cm，则CD=_______。

5.半径是32cm的圆中，垂直平分半径的弦长为_______。

6.AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE＝______。

7.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最长的弦长为______；最短的弦长为_______。

8.已知AB是⊙O的弦，弦CD过圆心且平分弦AB于M，若OM=DM，则∠AOB＝________。

9.在半径为2cm的圆中，垂直平分半径的弦长为______10.已知弓形的弦长为6cm，高为2cm，则含这个弓形的圆的直径长为_____11.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是_________12⊙O中的半径为5cm，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD＝6cm，则AE的长为___________cm。

13、如图：有一个圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为_____________。

14、⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是______________15、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的的圆的半径长为_________16、若圆中某弦长8cm，圆心到弦的距离为3cm，则此圆的半径为________17、在⊙O 中，若直径为25cm ，圆心到某弦的距离为10cm ，则此弦的长为___18、若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦中点到弦所对劣弧中点的距离是_________.19、若AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，AE ＝16cm ，BE=4cm ，则CD=_______cm ，AC=______cm 。

20、圆的两条平行弦与圆心的距离分别为3和4，则此二平行弦之间的距离为__________ 21、在⊙O 中,弦AB=24,弦CD=10,圆心到AB 的距离为5,则圆心到CD 的距离为___________. 已知⊙O 的半径为3,OA=1,则过A 点的最短的弦长为_________ 22、如图，⊙O 中，弦AB=8，C 为B A中点，CD ⊥AB 于D ，若CD=2，求⊙O 的半径。

23、如图：在⊙O 中，OA=OB ，OC,OD 交AB 于E,F,AE=FB,求证:OE=OF.4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系练习1【基础知识填空】1．__________________________叫做圆心角．2．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦，如果其中有一组量相等，那么_______________．3．在圆中，叫做弦心距.4．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．【练习题】5．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．6．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．7．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．8．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定9．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．10．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．1. 顶点在圆心的角叫做角．2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对的弦的相等．3. 弧的度数和的度数相等．4. 如图，AC和BD是⊙O的两条直径．( l )图中哪些量相等？（指劣弧和弦）(2 )当点A在圆周上运动时是否存在一点，使AB = BC=CD=DA .5. 如图，在⊙O中，已知AB=BC，且AB AmC 求∠AOC的度数．:3:4,6. 若⊙O的弦AB的长为8cm, O到AB的距离为4，则弦AB所对的圆心角为.7．如图，在Rt△AOB中，∠B=400，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB于点D．求 C D的度数．8. 下列命题中，不正确的是( )A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形9 如图，在半径为2cm 的⊙O中有长为cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为( )A. 600B. 900C. 1200D. 150010. 以菱形ABCD的一个顶点A为圆心，以边AB长为半径画图，被菱形截得的 BD是400，则菱形的一个钝角是（)A. 1400B. 1600C.1000D. 150011 如图，在△ABC中，∠BAC = 900，以AB为直径画圆，交BC于点D．如果CD=BD,则 A D等于（）A.300B. 450C. 600D. 90012 圆的一条弦把圆分成5 : 1 两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是.13 如图，若∠AOB=1000，则 ACB = ；若∠ACB=2500，则∠AOB= .14如图，AB, CD, EF 都是直径， ::2:3:4AC CE EB =, 则∠4= ;∠6= . 15. 如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD=CE,则AC 与CB 弧长的大小关系是 .16. 如图，在⊙O 中，∠AOB =∠COD ．求证：AC BD =, AC=BD.练习2一、选择题1．如果两条弦相等，那么（ ）(A)这两条弦所对的弧相等 (B)这两条弦所对的圆心角相等 (C)这两条弦的弦心距相等 (D)以上答案都不对2．如图20-55，在圆O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）(A)AC=BC (B) AN BN = (C) AM BM= (D)OC=CNB3．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）(C)24 (D)16图20-55 图20-56图20-57第8题4．如图20-56，在半径为2cm 的圆O 内有长为的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为（•）(A)60° (B)90° (C)120° (D)150°5．如图20-57，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ •）(A)∠COE=∠DOE (B)CE=DE (C)OE=BE (D) BDBC = 6．O 上有两点A B ，，AO B ∠是小于平角的角，将AO B ∠绕着圆心O 旋转，当点B 旋转到A 时，点A 旋转到C ，如果点C 和旋转前的点B 关于圆心O 成中心对称，则AO B ∠=（ ） (A)45︒(B)60︒ (C)90︒ (D)135︒二、填空题7．如图20-58，A(B)CE 是⊙O 的直径，∠COD=60°，且 AD BC=，•那么与∠AOE •相等的角有_____，与∠AOC 相等的角有_________．BABA8．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．9．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．10．如图20-59，AB 为圆O 的直径， BC BD =，∠A=25°，则∠BOD =______．11．如图20-60AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，•AB=6，则CD =_______．12．若一弦把半圆分成相等的三条弧，则此弦长与半径长之比为_______． 三、解答题13．已知如图20-61，在⊙O 中， AD 是直径，BC 是弦，D 为 BC的中点，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，写出六条以上结论）图20-58图20-59图20-6014．如图20-62所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，•求证: AC BD=．15．如图20-63：⊙O 1和⊙O 2是等圆，P 是O 1O 2的中点，过P 作直线AD 交⊙O 1于AB ，交⊙O 2于CD ，求证：AB =CD16．如图20-64所示，点O 是∠EPF 平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A 、B 和C 、D （1）求证：AB=CD ；（2）若角的顶点P 在圆上或在圆内，（1）的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；•若成立，请加以证明．17．如图20-65，点C 为 AB 的中点，点D 、E 分别为O A 、O B 的中点．求证：C D C E =．图20-62图20-63图20-6418．如图20-66，AB 、C D 是O 的直径，AE 为弦， DE AC =．求证：EC BC =．第3节 圆周角和圆心角的关系圆周角要具备两个特征：①角的顶点在圆上；图20-662、判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．3、判断：①顶点在圆上的角是圆周角（ ）②圆和角的两边都相交的角是圆周角（）（二）、新课讲解:圆周角定理：如图23.1.9，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ），那么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？定理：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 90°的圆周角所对的弦是圆的直径．图23.1.9已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ACB ，圆心角是∠AOB ．（分三种情况），定理：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．例1:如图, ⊙O 的直径AB 为10cm,弦AC 为6 cm, ∠ACB 的平分线交⊙O 于D,求BC,AD,BD 的长。

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初中数学知识归纳圆的概念及性质

初中数学知识归纳圆的概念及性质

初中数学知识归纳圆的概念及性质圆是初中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和应用。

本文将对圆的概念及其性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识点。

一、圆的定义与基本概念圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。

这个确定点称为圆心，距离称为半径。

圆可以用符号表示为O(A,r)，其中O为圆心，A为圆上的任意一点，r为半径。

二、圆的性质1. 圆的直径圆上的任意两点连线，经过圆心，则称为圆的直径。

直径的长度是半径的两倍，用符号表示为d=2r。

2. 圆的弦圆上的任意两点连线，不经过圆心，则称为圆的弦。

圆的直径是一条特殊的弦，它同时也是最长的弦。

3. 圆的弧圆上的部分曲线，是由两个弦之间的交点所夹的部分，称为圆的弧。

同一个圆上的两个弧可以互补称为对称弧。

4. 圆的周长圆的周长是圆上所有点与圆心的距离之和，也就是圆的一周的长度。

圆的周长公式为C=2πr，其中π取约等于3.14。

5. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，也就是圆所围成的区域的大小。

圆的面积公式为A=πr²。

6. 圆的切线与切点从圆外一点引一条直线与圆相交，该直线在圆上的切点和与圆相切的直线称为圆的切线。

7. 圆的切圆两个圆相切于一点，称为圆的切圆。

8. 圆的切线定理如果一条直线与一个圆相切，那么与这条直线相垂直的半径也是与这条直线相切的。

9. 圆的相交性质两个圆相交于两个点，这两个点到各自的圆心的距离相等，且此两点不在任一圆内部。

10. 弧长与弧度圆的弧长是指圆心角所对应的弧的长度。

弧度是表示弧长与半径之比，记作θ，弧度大小等于圆心角大小的弧长除以半径，即θ=弧长/半径。

11. 弧长公式圆的弧长公式为L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的大小（弧度制），r表示半径。

12. 扇形的面积公式扇形是由圆心角和半径所夹的弧围成的区域，扇形的面积公式为S=1/2θr²，其中S表示扇形的面积。

初三圆的知识点

初三圆的知识点

初三圆的知识点圆是初中数学中的一个重要内容，也是中考的必考知识点之一。

在初三阶段，我们对圆的认识会更加深入和全面。

接下来，让我们一起系统地学习一下初三圆的相关知识点。

一、圆的基本概念1、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中，定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的表示方法通常用符号“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。

3、弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最长的弦。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆。

5、等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP ＝ d，则有：点 P 在圆外⇔ d ＞ r；点 P 在圆上⇔ d ＝ r；点 P 在圆内⇔ d ＜ r。

2、直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则有：直线 l 和⊙O 相离⇔ d ＞ r；直线 l 和⊙O 相切⇔ d ＝ r；直线 l 和⊙O 相交⇔ d ＜ r。

浙教版初中数学初三数学上册《圆的基本性质》教案及教学反思

浙教版初中数学初三数学上册《圆的基本性质》教案及教学反思

浙教版初中数学初三数学上册《圆的基本性质》教案及教学反思一、教学目标1.理解圆相关的基本概念和公式；2.学会根据规定条件求圆的性质和参数；3.培养学生在解决问题中自行思考、自行探究和合作探讨的能力。

二、教学内容1. 内容概述本课时主要介绍圆的相关概念和性质，包括圆的定义、圆心、半径、直径、弧、圆周角以及它们之间的关系。

通过学习，学生能够熟练掌握圆的基本概念和公式，理解圆的性质和参数，能够在实际问题中应用所学知识解决问题。

2. 课时安排课时主要内容时间第一课时圆的定义和基本概念15分钟第二课时圆心、半径、直径的定义和关系20分钟第三课时弧和圆周角的定义和关系25分钟第四课时圆的基本性质及其证明30分钟3. 课前准备为了能够达到本课的教学目标，我们需要为前三个课时准备符合学生年级的简单例子，包括但不限于：1.定义圆心和半径；2.用单位圆说明弧、弧长、角度度数、弧度、正弦、余弦和正切的概念；3.圆内、圆外、切线、割线的定义及其相互关系；对于第四节课，我们需要为学生准备一个较为具体的实例，让学生能够在实际问题中应用所学知识解决问题。

三、教学重难点1. 教学重点1.圆的定义和基本概念；2.圆心、半径、直径的定义和关系；3.弧和圆周角的定义和关系；4.圆的基本性质及其证明。

2. 教学难点1.如何理解圆的性质和参数，以及如何应用知识解决实际问题；2.如何引导学生自主学习，自主探究，促进学生的思维能力和解决问题的能力。

四、教学策略1. 探究式教学通过实际例子引导学生自主学习和自主探究，激发学生学习兴趣，激发学生自己动手思考、解决问题的能力，促进学生主动学习和发展思维能力。

2. 合作学习鼓励学生合作探讨、交流思想，激励学生相互协作，激发学生的团队合作意识，以此提高学生合作学习的能力。

3. 认知策略通过理解、记忆、练习、应用等环节，掌握圆的基本概念和性质，并通过理解、分析和解题，培养学生的思维能力。

五、教学反思通过本课的教学，我认为自己还存在以下问题：1.不够熟练运用探究式教学、合作学习和认知策略，需要进一步探索适合学生的教学策略；2.教学方法还需要更加灵活多样，避免过度讲解，更加注重学生的思维发展和能力培养；3.教学素材需要进一步丰富和调整，使其更加贴合学生的需求。

数学中考一轮复习学案 第24节 圆的有关概念与性质（含解析）

数学中考一轮复习学案 第24节 圆的有关概念与性质（含解析）

第四章图形的性质第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．■知识点二：垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．■知识点三：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．■知识点四：圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．■考点1.圆的有关概念◇典例：（2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ 为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________■考点2.垂径定理及其推论◇典例：（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理，勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．◆变式训练1.（2018年山东省烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．2.（2018年浙江省绍兴市）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）■考点3. 圆心角、弧、弦的关系◇典例（2017•牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD ≌△COE，由此可得出结论．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA■考点4. 圆周角定理及其推论◇典例：1.（2018 年广西梧州市）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=__________度．【考点】圆周角定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．解：∵OA=2，OB=2，AB=2，∴OA 2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．◆变式训练1.（2018年四川省南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°2.（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°一、选择题1.（2018年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°2.（2018年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A．B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°3.（2018年浙江省衢州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°4.（2018年湖北省襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C． D．25.（2018年四川省甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD二、填空题6.（2018年广东省）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.（2018年青海省）如图，A．B、C是错误!未找到引用源。