初三圆的概念和性质

初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。

九年级圆的知识点讲义1. 什么是圆？圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。

这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

2. 圆的基本要素圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弧和弦。

- 圆心：圆的中心点，用字母O表示。

- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

- 直径：穿过圆心的线段，并且两个端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。

- 弧：圆上两点间的一段弯曲部分。

- 弦：圆上任意两点间直线段。

3. 圆的性质（1）半径相等性质：圆上任意两点之间的半径都相等。

（2）直径长为两倍性质：圆的直径长等于其半径的两倍，即d=2r。

（3）弧长和弧度性质：圆的弧长与圆心角的度数成正比，弧长等于圆周率π乘以半径的长度，用公式l = πr表示。

（4）圆周率π：π是一个无理数，大约等于3.14，用来计算圆的周长和面积。

4. 圆的坐标系表示圆可以在平面直角坐标系中表示为一个方程。

以圆心坐标为（h，k），半径为r的圆表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²5. 圆的相关公式和定理（1）周长计算公式：圆的周长等于直径乘以π，或等于2倍半径乘以π，用公式C = πd或C = 2πr表示。

（2）面积计算公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，用公式A = πr²表示。

（3）相交弧的性质：当两个圆相交时，它们的相交弧的度数之和等于360度。

（4）切线和半径垂直定理：切线和半径之间的夹角是直角。

6. 圆的应用圆在生活和科学中有广泛的应用，例如建筑结构中的圆形拱门、运动学中的圆周运动、天文学中的星体运动轨迹等等。

以上就是九年级圆的知识点讲义。

希望这份讲义能够帮助你更好地理解和掌握圆的相关知识。

圆的基本概念与性质圆是我们生活中常见的几何图形之一，它具有许多独特的特点和性质。

作为一位初中数学特级教师，我将为大家介绍圆的基本概念和一些重要的性质，并通过实例和分析来说明它们的应用。

一、圆的基本概念圆是由平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。

这个固定点称为圆心，定长称为半径。

圆的符号通常用大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径。

例如，我们可以用O(r)来表示半径为r的圆。

二、圆的性质1. 圆的周长和面积圆的周长是圆的边界上所有点到圆心的距离之和。

我们知道，圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14。

这个公式告诉我们，圆的周长与半径成正比，半径越大，周长也越大。

圆的面积是圆内部所有点到圆心的距离之和。

圆的面积公式是A=πr²。

这个公式告诉我们，圆的面积与半径的平方成正比，半径越大，面积也越大。

2. 圆的切线和弦圆上的切线是与圆相切且只有一个交点的直线。

切线与半径垂直，切点在切线上的两条半径相等。

圆内的弦是连接圆上任意两点的线段。

弦的长度小于或等于圆的直径，且直径是圆的最长弦。

3. 圆的相交关系当两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。

当两个圆的圆心距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相切。

当两个圆的圆心距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。

三、圆的应用举例1. 圆的周长和面积的计算假设一个圆的半径为5cm，我们可以使用周长公式C=2πr来计算它的周长。

代入半径r=5，得到C=2π×5≈31.4cm。

同样，我们可以使用面积公式A=πr²来计算它的面积。

代入半径r=5，得到A=π×5²≈78.5cm²。

2. 圆的切线和弦的应用在建筑设计中，我们经常需要确定一个圆的切线或弦的位置。

例如，如果我们要在一个圆形花坛周围铺设一条环形步道，我们可以通过确定切线的位置来确定步道的宽度和形状。

另外，如果我们要在一个圆形游泳池内部建造一个桥梁，我们可以通过确定弦的位置来确定桥梁的长度和位置。

九年级上册圆的知识点圆的知识点圆是我们数学学科中一个重要的几何概念。

它是由与一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。

无论在三维立体世界还是二维平面中，圆都扮演着重要的角色。

在九年级的上册，我们将学习许多和圆相关的知识点，包括圆的定义、性质、相关定理以及应用等。

一、圆的定义圆是平面上所有与一个固定点的距离相等的点的集合。

这个固定点称为圆心，而这个相等的距离称为半径。

我们可以通过圆心和半径来确定一个圆，记作O(r)，其中O代表圆心，r代表半径。

二、圆的性质1. 圆的直径：圆上任意两个点之间的最大距离被定义为圆的直径，它等于半径的两倍。

2. 弧：圆上两个点之间的线段被称为弧。

圆的弧可以是一个小弧、一条半圆或者整个圆。

通常用字母来表示一个弧。

3. 圆的周长和面积：圆的周长是指围绕圆的边界的长度，记作C。

圆的面积是指圆所覆盖的平面的大小，记作A。

周长和面积的计算公式分别为C = 2πr和A = πr²，其中π是一个数学常量，约等于3.14。

三、圆的相关定理1. 圆的同位角定理：在同一个圆或等圆上，对圆心的两个弧所对应的角是相等的。

2. 弧度和角度的关系：弧度是表示角度大小的单位，1弧度等于180°/π。

利用弧度的概念，我们可以更精确地描述圆的性质和定理。

3. 切线与半径的关系：在一个圆上，切线与半径垂直相交。

这就意味着切线和半径所形成的角是直角。

4. 切线定理：如果从切点作一条直线与切线相交，那么该条直线与半径所形成的角是相等的。

四、圆的应用圆不仅仅是一个几何概念，它在现实生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的圆的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑结构都离不开圆的概念，如圆形建筑、拱形结构和圆形窗户等。

圆的几何性质和稳定性使得它成为建筑设计中常用的元素。

2. 车轮：车轮通常是圆形的，这是因为圆形能够提供更好的平衡和稳定性。

无论是自行车还是汽车，理解圆的几何特性对于设计和制造车轮至关重要。

圆的知识点初三圆是初中数学中重要的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。

本文将从圆的定义、圆的元素、圆的性质和圆的应用等方面进行探讨。

一、圆的定义和元素圆是平面上的一个几何图形，它由平面上距离某一点固定距离的所有点组成。

这个固定距离叫做圆的半径，记作r。

圆心是到圆上任意一点的距离都等于半径的点。

圆的元素有圆心、半径、直径和弧长等。

圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，直径的长度等于半径的两倍，即d=2r。

弧长是圆上两点之间的弧所对应的弧长，用字母l表示。

二、圆的性质1. 圆的任意两点之间的距离都等于半径的长度，即圆上任意两点之间的距离是固定的。

2. 圆的直径是圆的特殊性质之一，它等于半径的两倍。

直径是圆的最长的线段，且通过圆心。

3. 圆的弧长是圆的另一个重要性质，弧长与圆心角的大小成正比。

当圆心角为360度时，弧长等于圆的周长。

4. 圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，也称为圆的周长。

周长的计算公式为C=2πr，其中π≈3.14。

5. 圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，面积的计算公式为A=πr^2，其中^2表示半径的平方。

三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的例子：1. 圆形的轮胎和车轮：汽车、自行车等的轮胎和车轮都是圆形的，这是因为圆形的轮胎和车轮能更好地保证车辆的稳定性和平衡性。

2. 圆形的钟表和计时器：钟表和计时器通常都是圆形的，因为圆形的刻度能更直观地显示时间的流逝。

3. 圆形的光学器件：如镜片和透镜等，它们的表面通常是圆形的，这是因为圆形的表面能更好地聚焦光线。

4. 圆形的篮球场和足球场：篮球场和足球场的形状通常是圆形的，这是为了保证比赛的公平性和平衡性，使运动员能够更好地进行比赛。

圆是初中数学中的重要知识点之一。

通过对圆的定义、元素、性质和应用的了解，我们可以更好地理解和应用圆的相关概念，为日常生活和学习中的问题提供解决方案。

初中数学知识归纳圆的概念与性质圆是初中数学中的重要概念，在本文中将对圆的概念与性质进行归纳和总结。

文章将从圆的定义开始，逐步介绍圆的基本要素、圆心角、内接外接等重要性质，并辅以相关的定义、公式和图示，以便读者更好地理解和掌握。

1. 圆的定义圆是由平面上所有距离固定点（圆心）的点构成的集合。

圆的平面被称为圆面，圆上的每一个点到圆心的距离都相等，这个相等的距离被称为圆的半径。

2. 圆的基本要素（1）圆心：圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。

（2）半径：圆心到圆上任一点的距离为圆的半径，通常用字母r表示。

（3）直径：直径是通过圆心且两端在圆上的线段，直径的长度为半径的两倍。

（4）弦：连接圆上两点的线段被称为弦，弦的长度可以小于或等于直径。

3. 圆的性质（1）圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，用C表示，可通过公式C = 2πr计算，其中π是一个常数，近似值为3.14。

（2）圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，用S表示，可通过公式S = πr²计算。

（3）圆心角：以圆心为顶点的角被称为圆心角，圆心角所对的弧称为圆心角所对的弧。

（4）弧长：弧长是圆的一部分，通常通过弧度来度量，弧长的计算公式是L = rθ，其中θ是圆心角的弧度数。

（5）切线和法线：切线是与圆相切于一点并且与圆的切点的切线垂直的直线，而法线是与切线垂直的直线。

4. 圆的内接和外接（1）内接：如果一个多边形的每条边都与圆的圆周相切，那么称该多边形为内接多边形，内接多边形的顶点都落在圆上。

（2）外接：如果一个多边形的每条边都与圆的圆周相切，那么称该多边形为外接多边形，外接多边形的每个顶点都在圆上。

综上所述，圆是一种特殊的几何图形，其定义、基本要素、性质和内接外接等概念是初中数学中必须掌握的内容。

通过对圆的学习，我们可以应用圆的性质解决实际问题，如计算圆的周长、面积，进行内接外接多边形的相关计算等。

深入理解和掌握圆的概念和性质能够夯实数学基础，为进一步学习和应用提供坚实的基础。

初三数学知识点总结归纳只有学习精彩，生命才精彩，只有学习成功，事业才成功。

每一门科目都有自己的学习方法，数学作为最烧脑的科目之一，需要不断的练习。

下面是小编给大家整理的一些初三数学的知识点，希望对大家有所帮助。

一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

圆的概念和性质知识点初三
一、圆的定义
1、圆是由一组点组成的一种二维几何形状，它们都距离中心点同样的距离；
2、一个圆可以定义为由圆心(C)和半径(r)确定的
一组点集合（每个点都离圆心C的距离都是r）；
3、用参数方程表示：
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a, b)为圆心，r为半径。

二、圆的性质
1、圆上的点都是对称的：连接任意两点，这条线段会穿过圆中心；
2、圆的半径不变：圆的半径是一个固定的数值，并且不会随着其他参数变化而变化；
3、圆的周长和面积：周长等于2πr，面积等于πr²；
4、圆的中心轴对称：即通过任意一点A，连接圆心，任意一点B都能满足之间的距离相等；
5、圆的角平分线：任取圆中的两点，以它们为两端点可以画出一条直线，这条直线可以将圆平分
成两等份；
6、圆的内切线：从圆上任取一点，可以画出一条
穿过该点的直线，叫做内切线，内切线与圆的半径垂直，通过任意一点，两条内切线总会相交于圆心，也称正切线。

九年级圆的知识点总结归纳圆是几何学中的基本概念之一，我们在九年级学习过程中也经常接触到圆与圆相关的知识点。

下面为大家总结归纳了九年级圆的重要知识点，请大家参考学习。

一、圆的定义和要素：圆是指平面上到一个定点的距离都相等的点的集合，该定点称为圆心，圆心到圆上任意一点的距离称为半径。

圆上的任意线段称为弦，通过圆心的弦称为直径，直径的长度等于半径的两倍。

二、圆的重要性质：1. 圆的任意一条弦都不能长于或等于直径。

2. 圆的任意一条弦所对应的弧相等。

3. 圆的外接角等于其所对应的弧所对的角。

4. 圆的内接角等于其所对应的弧所对的角的一半。

三、圆与直线的关系：1. 当直线与圆相切时，切点在圆上。

2. 当直线与圆相离时，直线上没有与圆的交点。

3. 当直线与圆相交时，有两个交点，这两个交点到圆心的距离是相等的。

四、圆的相关公式与计算：1. 圆的周长：周长等于圆周率π 乘以直径（C=2πr）。

2. 圆的面积：面积等于圆周率π 乘以半径的平方（A=πr²）。

五、圆锥、圆柱和圆球的相关知识：1. 圆锥是由一个顶点和一个底面为圆的锥体。

2. 圆柱是由两个平行且相等的底面为圆，并由矩形侧面连接而成的立体。

3. 圆球是由所有点到圆心的距离都相等的点构成的立体。

六、圆的应用：1. 圆在日常生活中的应用非常广泛，例如钟表、轮胎、光盘等物体都呈圆形。

2. 圆在数学中也有重要的应用，例如解决几何问题、计算图形的周长和面积等。

通过对九年级圆的知识点的总结归纳，我们能更好地掌握圆的定义、性质和相关计算公式，有助于我们在学习和解决问题时更加得心应手。

希望大家能够对九年级的圆有更深入的理解，并将这些知识应用于实际生活和学习中。

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。

一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；A内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级圆的知识点总结上册在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与圆相关的知识点。

圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的性质和定理。

本文将对九年级上册所学的圆的知识进行总结，希望能够帮助同学们更好地掌握这方面的知识。

1. 圆的定义与性质圆是平面上一组与一个确定点的距离相等的点的集合。

其中，确定点称为圆心，相等的距离称为半径。

圆的性质包括：任意两点之间距离最短是圆的直径，直径是半径的两倍，圆上的点到圆心的距离等于半径长度。

2. 圆的元素和相关术语圆的元素包括圆心、半径、弦、直径、切线、弧等。

圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

弦是圆上两点之间的线段，直径是穿过圆心的弦，切线是与圆交于一点的直线，弧是圆上两点之间的一段弧线。

3. 圆的关系定理(1) 相交弧与相交弦的关系：如果两个弧相交于一个点，则它们对应的弦也相交于同一个点，并且这个点在两个弦所在的直线上。

(2) 切线和半径的关系：切线与半径垂直，并且切点在半径所在直线上。

(3) 切线与切线的关系：切线与切线的交角等于两条切线所在圆的两个弧的交角的一半。

4. 圆周角的性质圆周角是指半径与弧所夹的角。

圆周角的性质包括：同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等，同半径所对的圆周角相等，圆周角的度数等于它所对的弧所对应的圆心角的一半。

5. 圆心角和弧的性质圆心角是指以圆心为顶点的角。

圆心角和弧的性质包括：同一弧上的两个圆心角相等，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 弧长和扇形的性质弧长是弧上的一段弧线的长度。

弧长和扇形的性质包括：弧长等于它所对的圆心角的度数与圆周长的比例，扇形面积等于它所对的圆心角的度数与圆的面积的比例。

7. 相交弦与弦所在直径的关系相交弦与弦所在直径的关系是指一个弦被另一个弦平分，那么这两个弦所在直径相垂直。

8. 切线的性质与定理切线的性质与定理包括：切线与半径垂直，切线和切线的交角等于两条切线所在圆的弧对应的圆心角的一半，相切弦与切点所在直径的关系。

初中数学知识归纳圆的性质与定理圆是初中数学中一个重要的几何概念，它有着许多性质与定理。

本文将对这些性质与定理进行归纳和总结。

1. 圆的定义
圆是由平面上离一个固定点距离相等的所有点构成的集合。

这个固定点称为圆心，距离称为半径。

2. 圆的性质
2.1 圆心角的性质
圆心角是以圆心为顶点、两条弧上的两条线段为边的角。

圆心角的度数等于所对弧的度数。

2.2 弧的性质
弧是圆上两点之间的一段曲线。

相等的弧对应的圆心角相等。

2.3 正弦定理
正弦定理适用于任意三角形，但在圆的性质中也有应用。

设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有下述关系：sin A/a = sin B/b = sin C/c
3. 圆的定理
3.1 弧长定理
弧长定理指出，一个圆的弧长等于这个圆的圆心角所对应的半径长度的比例乘以这个圆的半径的长度。

3.2 弦长定理
弦长定理也是围绕圆心角展开的，它指出一个圆上两条半径所夹的弦的长度之积等于这两条半径的积。

3.3 切线定理
切线定理是围绕着切线与半径的关系而展开的。

对于一个圆，从切点引出的切线与半径所夹的角是直角。

以上是初中数学中关于圆的性质与定理的归纳。

掌握这些性质与定理，能够帮助我们解决与圆相关的问题，提升解题能力。

希望本文对你理解和掌握圆的性质与定理有所帮助。

九年级上册数学圆知识点归纳总结数学是一门重要的学科，其中的圆是学习的重点之一。

九年级上册数学课程中，我们学习了许多与圆相关的知识。

本文将对九年级上册数学圆的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、圆的基本概念圆是指平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。

其中，定点称为圆心，距离称为半径。

记作圆O，圆心为O，半径为r。

圆的直径是通过圆心的任意两点，长度为2r。

圆上任意一点到圆心的距离等于半径。

二、圆的表示方法在平面直角坐标系中，圆可以通过方程的形式表示。

常见的圆的方程有两种：标准方程和一般方程。

标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，表示圆心坐标为(a,b)，半径为r的圆。

一般方程是x²+y²+ax+by+c=0，其中a、b、c为常数。

三、圆的性质1. 直径和半径的关系：直径等于半径的两倍，即d=2r。

2. 弧和弦的关系：一条弧被他的两个端点所分割得到的线段称为弦。

弧的长度是弦所对的圆心角的度数的一半，即s=rθ/180°π。

3. 切线和半径的关系：切线与半径的相交点处，切线与半径垂直，切线长为半径长r。

4. 弧度制与度数制的关系：在数学计算中，一般采用弧度制。

弧度制下，一周的圆心角度数为360°，对应的弧度为2π。

四、圆的交点与切点1. 圆的交点：两个圆的交点是它们的公共部分。

两个圆相交于两个点时，这两个点与圆心所组成的直径互相垂直。

2. 圆的切点：一条直线与圆只有一个公共的切点时，该直线称为切线，切线与半径垂直。

若该直线与圆有两个公共切点，则称该直线为割线。

五、圆的面积和周长1. 圆的面积：圆的面积可以通过半径或者直径来计算。

圆的面积公式为：S=πr²。

2. 圆的周长：圆的周长也可以通过半径或者直径来计算。

圆的周长公式为：C=2πr。

六、圆锥与圆柱的体积和表面积1. 圆柱的体积：圆柱的体积是指圆柱的表面积与它的高的乘积。

九年级上册圆知识点最全圆是几何学中的重要概念之一，其知识点在九年级上册学习中占据了很大的比重。

下面将全面介绍九年级上册关于圆的各个知识点，包括定义、性质、定理等内容，帮助学生更好地理解和掌握圆的相关知识。

1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。

圆由圆心和半径确定，其中圆心是一个固定的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

2. 圆的符号表示圆常用一个字母加一个圆圈表示，例如圆O可以表示为⭕(O)。

3. 圆的性质(1) 在同一个平面上，圆内任意两点都与圆心的距离相等。

(2) 圆上所有的点与圆心的距离都相等。

(3) 圆的半径相等的两个圆是同心圆。

4. 圆的元素(1) 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。

(2) 圆的半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

(3) 圆的直径：过圆心的两个相对点之间的距离，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。

(4) 圆的弦：圆上的两个点之间的线段，通常用字母AB表示。

(5) 圆的弧：圆上两个点之间的部分，通常用字母AB表示。

弧也可以表示为一段曲线。

(6) 圆的切线：与圆相切且在切点处与圆相切的线段。

5. 圆的定理(1) 圆的四个组成部分：半径、直径、弦、弧。

(2) 在同一个圆中，半径相等，直径是两倍的半径。

(3) 在同一个圆中，位于原弦之间且两弦的端点相连的两个弧是相等的。

(4) 在同一个圆中，位于圆心角上的弧是原弦的两倍。

(5) 位于圆心角上的弧大于位于同一个圆上其他的弧。

(6) 圆与定点的直线相交，相交点到圆心的距离等于定点到圆心的距离。

6. 圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到生活的各个方面。

在建筑设计中，圆形的窗户、圆顶等都可以为建筑增添美感和独特性。

在数学科研中，圆的性质和定理被广泛应用于几何学的研究和解决问题。

此外，圆的概念也运用在电子、通信、机械等众多领域，为各种设备和技术的实现提供了基础。

以上是九年级上册关于圆的知识点的全面介绍，希望通过这篇文章的阅读，学生们能够更好地理解和掌握圆的相关知识，并能在学习和生活中灵活应用，进一步提升数学水平。

数学圆的所有概念数学圆的所有概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等等。

下面将详细介绍这些概念。

一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。

这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。

二、圆的性质1. 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径，而圆上的点距离等于半径。

2. 圆的内部所有点的距离到圆心的距离都大于半径，而圆外的点到圆心的距离大于半径。

3. 圆是一个凸集，即圆上任意两点的连线都在圆内部。

三、圆心和半径1. 圆心是圆的中心点，用字母O表示。

2. 半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

四、直径和周长1. 直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段。

2. 直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2r。

3. 周长是圆的边界的长度，用字母C表示，计算公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。

五、面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域的大小，用字母A表示，计算公式为A=πr²。

六、弧长弧是圆上的一段曲线，弧长是弧所占有的圆的周长的长度比例。

1. 弧度制（radian）是计量弧长的单位，用符号rad表示。

一个圆周的弧长等于半径r的弧长是2πr，故一个圆的周长等于2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。

2. 利用弧长S、圆心角θ和半径r之间的关系可以得到公式S=rθ，其中θ用弧度制表示。

七、扇形扇形是圆内以圆心为顶点的两条半径和介于它们之间的弧所围成的区域。

1. 扇形的面积可以通过扇形的圆心角θ和半径r计算，公式为A=(θ/360)πr²。

2. 扇形的弧长与圆周长的比例等于圆心角与360的比例，即s=(θ/360)2πr。

总结：数学圆的概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等。

圆是由平面上距离一个固定点相等的所有点组成的集合，这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。

第三章圆1、圆的定义（重点）２、和圆相关的概念：（１）弦：连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）（２）直径：经过圆心的弦；（３）弧：圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（４）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（５）优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示；（６）劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示；（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；（８）等圆：能够重合的两个圆；（９）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；（１０）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；（１１）圆心角：定点是圆心的角；（１２）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；（１３）弦心距：圆心到弦的距离。

注意：（１）直径等于半径的２倍；（２）同圆或等圆的半径相等；（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。

练习1 圆【基础知识填空】1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．3．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．4．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．5．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．6．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．7．半径相等的两个圆叫做____________．【练习题】8．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．9．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．11．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．练习2 圆1.要确定一个圆，需要知道_________和___________.2.已知⊙O的直径为4cm，则⊙O的面积为_________，周长为_________。

初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。

垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。