基于Rytov近似的叠前深度偏移方法

基于Rytov近似的叠前深度偏移方法

陈生昌󰀁　曹景忠　马在田

(同济大学海洋地质重点实验室)

摘 要

陈生昌,曹景忠,马在田.基于Rytov近似的叠前深度偏移方法.石油地球物理勘探,2001,36(6):690～697

本文在频率—波数域和频率—空间域实现了一种基于Rytov近似的叠前深度偏移方法,并在二维空间作了Marmousi模型炮集数据的处理。通过与Split-StepFourier和Phase-Screen等叠前深度偏移方法的比较,我们认为基于Rytov近似的叠前深度偏移方法不仅在效果上优于前两者,而

且还能更好地处理速度横向变化。在散射波场的计算中,我们使用了一个比HuangL等(1999)[3]的方法更稳定的散射波场计算公式,扩大了Rytov近似的应用范围,使基于Rytov近似的叠前深度偏移方法能够适应更剧烈的

横向速度变化。

关键词　叠前深度偏移　Rytov近似　散射波场　速度横向变化　波场外推　Green函数

ABSTRACT

ChenShengchang,CaoJingzhongandMaZaitian.PrestackdepthmigrationmethodbasedonRytovapproximation.OGP,2001,36(6):690～697

Inthispaper,aprestackdepthmigrationmethodbasedonRytovapproximationiscarriedoutinfrequency-wavenumberdomainandfrequency-spacedomain,andisusedtoprocesscommonshotgatherdataforMarmousimodelin2-Dspace.Throughcom-parisonwithsplit-stepFouriermigrationmethodandphase-screenmigrationmethods,weconsideredthattheprestackdepthmigrationmethodbasedonRytovapproximationnotonlycanproducebettermigrationresultthanprevioustwomethods,butalsocanbetterhandlelateralvelocityvariation.Duringcalculationofscatteredwavefield,weuseamorestableformulaforscat-teredwavefieldthanthatusedbyHuangLetal.ItextendstherangeofRytovapprox-imation,andmakestheprestackdepthmigrationmethodbasedonRytovapproxima-tioncanadaptstronglateralvelocityvariation.

Keywords:prestackdepthmigration,Rytovapproximation,scatteredwavefield,lat-

eralvariationofvelocity,wavefieldextrapolation,Greenfunction2001年12月 石油地球物理勘探 第36卷　第6期󰀁ChenShengchang,DepartmentofMarineGeologyandGeophysics,TongjiUniversity,ShanghaiCity,200092,China 本文于2000年10月20日收到。引 言

在地下速度模型已知的前提下,波动方程叠前深度偏移在某种程度上可视为地震波在地下传播过程的计算机逆模拟,因此,叠前深度偏移被广泛应用于地下复杂构

造成像。目前叠前深度偏移方法主要有三类:󰀁有限差分法;󰀂Kirchhoff积分法; 频率—波数(空间)域法。有限差分法虽然能较好地适应地下速度横向变化,但由于

其运算效率低,难以在目前大数据量的三维叠前深度偏移上广泛应用;基于射线追

踪的Kirchhoff积分法,虽然是目前工业界的主流方法,但由于它在处理地下复杂构造方面的固有缺陷,使其在实际应用中并不十分成功;频率—波数域方法,因其快速

简捷而受到人们的青睐,但由于不能适应速度的横向变化而使其应用受到限制,后虽经不少学者致力研究,提出了多种改进方法(如相移加内插法、Split-StepFourier法

和Phase-Screen法),取得了一定的效果,但不十分明显。

HuangL等(1999)[3]把Rytov线性近似应用于波场递归外推过程中的散射波场计算,提出了“扩展的局部RytovFourier偏移方法”。这种方法虽然在本质上与Split-

StepFourier法很相似,但由于在波场递归外推过程中利用Rytov近似计算速度扰动引起的散射波场,不仅考虑了速度扰动引起的相位变化,而且兼顾了速度扰动引起的

振幅变化,因此从理论上讲,它比Split-StepFourier法更合理、更精确。然而,在

HuangL等提出的扩展的局部RytovFourier偏移方法中,所用的速度扰动引起的散射波场相位计算公式对剧烈横向变化的速度模型可能会出现不稳定性问题,难以得

到正确的偏移结果(在HuangL等(1999)[2]提出的基于Born近似的偏移方法中,与之类似的散射波场计算公式应用于Marmousi模型的偏移时,也出现过不稳定性问

题)。这是由于散射波场相位计算过程中引入的Rytov近似造成的。本文我们利用一个稳定的Rytov近似散射场相位计算公式,推导出一个稳定的

散射场计算公式。在偏移的波场外推过程中,应用该散射波场计算公式能更好地避免

基于Rytov近似的偏移方法在剧烈横向变化的速度模型中可能遇到的不稳定性问题,扩大了基于Rytov近似叠前深度偏移方法的应用范围。为解决波场外推过程中的

奇异性问题,我们使用P󰀁de展开代替(HuangL等使用的)Taylor展开。此外,在散射波场计算公式的推导中采用准确的慢度平方差代替常用的近似慢度差。

将本文导出的叠前深度偏移方法应用于Marmousi模型炮集数据处理,并与

Split-StepFourier法和Phase-Screen法的偏移结果进行比较,可明显看出本文提出的基于Rytov近似的叠前深度偏移方法不仅在效果上要优于后两者,而且能更好地处

理速度横向变化问题。

方法原理

Rytov近似

常密度介质下的标量波动方程为󰀁2󰀁x2+󰀁2󰀁y2+󰀁2󰀁z2+󰀁2v2(x,y,z)p(x,y,z;󰀁)=0(1)

为了推导Rytov近似,令691第36卷　第6期 陈生昌等:基于Rytov近似的叠前深度偏移方法 p(x,y,z;󰀁)=ei󰀂(x,y,z;󰀁)(2)

将式(2)代入式(1),则有

i󰀂2󰀂(x,y,z;󰀁)-󰀂󰀂(x,y,z;󰀁)2+󰀁2v2(x,y,z)=0(3)

再令󰀂(x,y,z;󰀁)≈󰀂0(x,y,z;󰀁)+󰀂1(x,y,z;󰀁)(4)

其中󰀂0(x,y,z;󰀁)满足下式

i󰀂2󰀂0(x,y,z;󰀁)-󰀂󰀂0(x,y,z;󰀁)2+󰀁2v20(z)=0(5)

式中v0(z)为引入的参考速度。将式(4)代入式(3),经简化得到

󰀂2p0(x,y,z;󰀁)󰀂1(x,y,z;󰀁)+k20(z)p0(x,y,z;󰀁)󰀂1(x,y,z;󰀁)=

-ip0(x,y,z;󰀁)󰀂󰀂1(x,y,z;󰀁)2+ip0(x,y,z;󰀁)󰀁2 (x,y,z)(6)

其中:p0(x,y,z;󰀁)为参考介质中的波场(也称为入射波场);k0(z)为参考波数; (x,y,z)为慢度平方差。存在如下关系

p0(x,y,z;󰀁)=ei󰀂0(x,y,z;󰀁) (7)

k0(z)=󰀁v0(z)(8)

(x,y,z)=1v2(x,y,z)-1v2(z)(9)

如果󰀂1(x,y,z;󰀁)很小,则󰀂󰀂1(x,y,z;󰀁)2更小,式(6)可近似为󰀂2+k20(z)p0(x,y,z;󰀁)󰀂1(x,y,z;󰀁)=ip0(x,y,z;󰀁)󰀁2 (x,y,z) (10)

式(10)的解为

󰀂1(x,y,z;󰀁)=-ip0(x,y,z;󰀁)∫!dx′dy′dz′G(x,y,z;x′,y′,z′;󰀁)×

×󰀁2 (x′,y′,z′)p0(x′,y′,z′;󰀁)(11)

其中G(x,y,z;x′,y′,z′;󰀁)为参考速度介质中的Green函数。

令󰀂s(x,y,z;󰀁)为式(11)中的积分项,则有

󰀂s(x,y,z;󰀁)=∫!dx′dy′dz′G(x,y,z;x′,y′,z′;󰀁)×

×󰀁2 (x′,y′,z′)p0(x′,y′,z′;󰀁)(12)

式(11)称为Rytov近似。因此,总波场为

p(x,y,z;󰀁)≈p0(x,y,z;󰀁)ei󰀂1(x,y,z;󰀁)(13)

波场外推算子在已知地下速度场v(x,y,z)和参考速度场v0(z)的前提下,上述Rytov近似可

用于波场的外推,即把给定深度上的波场外推到下一个深度层位。

假定深度zi上的波场为p(x,y,zi;󰀁)(已作过时间上的Fourier变换),深度zi+∀z上的波场为p(x,y,zi+∀z;󰀁);再令(zi,zi+∀z)间的速度场为v(x,y,zi),参考速度场为v0(zi)(可取为v(x,y,zi)的平均值)。在由p(x,y,zi;󰀁)求取p(x,y,zi+∀z;󰀁)的过程中,可把p(x,y,zi;󰀁)作为入射

波场,而zi+∀z上的总波场由参考介质中的波场p0(x,y,zi+∀z;󰀁)和散射波场ps692 石油地球物理勘探 2001年(x,y,zi+∀z;󰀁)组成,即

p(x,y,zi+∀z;󰀁)=p0(x,y,zi+∀z;󰀁)ei󰀂1(x,y,zi+∀z;󰀁)(14)

其中p0(x,y,zi+∀z;󰀁)可利用参考速度v0(zi)由下述相移法得到

p0(x,y,zi+∀z;󰀁)=F-1kx,kyeikz(zi)∀zFx,yp(x,y,zi;󰀁

)(15)

这里Fx,y表示x,y方向上的Fourier正变换;F-1kx,ky表示x,y方向上的Fourier反变

换;kz(zi)=󰀁2v20(zi)-k2x-k2y,为垂向波数。

另外,式(14)中的󰀂1(x,y,zi+∀z;󰀁)可由下式求得

󰀂1(x,y,zi+∀z;󰀁)=-ip0(x,y,zi+∀z;󰀁)∫zi+∀z

zidz′∫dx′dy′G(x,y,zi+∀z;x′,y′,z′;󰀁)×

×󰀁2 (x′,y′,z′)p0(x′,y′,z′;󰀁)

=-ip0(x,y,zi+∀z;󰀁)󰀂s(x,y,zi+∀z;󰀁)(16)

其中

󰀂s(x,y,zi+∀z;󰀁)=∫zi+∀z

zidz′∫dx′dy′G(x,y,zi+∀z;x′,y′,z′;󰀁)×

×󰀁2 (x′,y′,z′)p0(x′,y′,z′;󰀁)(17)

利用数值积分,并作x,y方向的Fourier变换,将积分变量换为x,y,则式(17)就可

写为

󰀂s(kx,ky,zi+∀z;󰀁)≈∀z󰀂dxdyG(kx,ky,zi+∀z;x,y,zi;󰀁)×

×󰀁2 (x,y,zi)p0(x,y,zi;󰀁)(18)

式中下行波Green函数G(kx,ky,zi+∀z;x,y,zi;󰀁)由下式(Clayton和Stolt,1981)[1]

给定

G(kx,ky,zi+∀z;x,y,zi;󰀁)=i2kz(zi)eikz(zi)∀ze-i(kxx+kyy)(19)

把式(19)代入式(18),得到

󰀂s(kx,ky,zi+∀z;󰀁)≈k0(zi)kz(zi)eikz(zi)∀z×

×Fx,yi󰀁v0(zi)2 (x,y,zi)∀zp0(x,y,zi;󰀁)(20)

对式(20)作x,y的Fourier反变换,则有

󰀂s(x,y,zi+∀z;󰀁)≈F-1kx,kyk0(zi)kz(zi)eikz(

zi)∀z×

×Fx,yi󰀁v0(zi)2 (x,y,zi)∀zp0(x,y,zi;󰀁)(21)

令#=k0(zi)kz(zi),则有

#=1

1-v20(zi)󰀁2(k2x+k2y)(22)

对式(22)应用P󰀁de(三阶)展开,得693第36卷　第6期 陈生昌等:基于Rytov近似的叠前深度偏移方法