第3讲 因式分解(定)
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第三讲 分解因式
【基础知识】
1．分解因式的概念：，叫做把这个多项式分解因式。
2．分解因式的方法：（法则：分解到不可再分）
（1）提公因式法：(1) 对于系数；（2）对于字母，（3）首项是负数，则公因式符号取“－”
拓展：()222
222a b c ab ac ac a b c ++±±±=±±
③公式的拓展：立方和（差）公式：
()()3322a b a b a ab b +=+-+ ； ()()332
2a b a b a a b b
-=-++ ④三平方，三一倍公式：222
2
2
2
()()()2
a b b c a c a b c ab bc ac ±+±+±++±±±=
（3）分组分解法：
原则：分组后有公因式可提或能用公式分解，且每组之间又有公因式可提或能使用公式。
（4）十字相乘法：()2()()a b x ab x a x b +++=++
方法是：拆两边，凑中间
【课前热身】
1、下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A ．9)3)(3(2-=-+a a a
B ．6)2(10422++=++x x x
C ．2
2)3(96-=+-x x x D ．)12(122
x
x x x x --=--
2、若2
249b kab a +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．±6
C ．12
D ．±12
【典型例题】
例1：把下列各式分解因式 提公因式法：
（1）3
2
3129x x x -+- （2）3
222)2(12)2(24)2(18m n m m n mn n m m -----
（3）2
3
1(1)(1)(1)x x x x x x x +++++++
平方差公式：
（1）22(23)36(2)a b a b +-- （2）44
81a b -
（3）（2010成外半期）22221111
(1)(1)(1)(1)234
n ----
，n 为正整数，且2n ≥
完全平方公式：
（1）22
4a b - （2）2
21222
m mn n ++ （3）42167281x x -+
分组分解法：
（1）3223x x y xy y
+--
（2）22
21x y y --- （3）2222
a a
b ab a b b -+-+-
（4）22
4963a a b b ---+ （5）22
69103025x xy y x y -+-++
（6）（2010实外半期）a a b b a b ab ++--422433
222
十字相乘法：
（1）892
++x x ； （2）3x 2－11xy －14y 2 ；
（3）6(x+y)2 －7(x+y)－3． （4）10x 4－23x 2y 2－5y 4（在实数范围内分解）
双十字相乘：
（1）()(2)453x y x y x y +++++ （2）（2010实外半期）x x y y --+-22
9643
（3）22276x xy y x y -----
例2．（换元法）分解因式()()2
2
32
712120x x x
x ++++－． （abcd e +型）
变式练习： (2010成外半期)分解因式：(2)(3)(1)8x x x x -+++=
例3．（添项法）分解因式（1）444x y + （2）42
951x x ++
例4.（三平方、三一倍公式） 已知：4,3-=-=+c b b a ，求bc ac ab c b a -++++2
22的值.
例5．待定系数法：已知2
x nx m +-有因式()()12x x --和，求m= ，n .
变式:
1．（08福建）若二次多项式2
2
32k kx x -+能被1x -整除，试求k 的值为
2．若二次三项式kx 2
+32x –35（k ≠0）有一个因式是2x+7，求k 及另一个因式.
例6.主元法：（2010实外半期）()()ab bc ca a b c abc ++++-
变式练习：已知一个三角形的三边,,a b c 满足()()()2220a b c b c a c a b -+-+-=，试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。
例7.（2010成外月考）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且444222222
2220,a b c a b a c b c +++--= 则△ABC 为（ ） A.锐角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
变式练习：1.已知,,a b c 为ABC ∆的三边，且满足4
4
2
2
2
2
b a
c b c a -=-，则ABC ∆是 （ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
2.（2011七中初中半期）在ABC ∆中，已知三边,,a b c 满足02223
3
4
2
2
4
=--++ab b a b b a a 。
试判断ABC ∆的形状。
【名书名校中考在线】
1．（2010成外）关于x 的二次三项式227x x m ++能被3+x 整除，则m 的值为_________．
2．（2010培优）多项式 142
+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是__________．（填上你认为正确的一个即可）
3.（浙江中考）若2
92(4)16x a x +-+是一个完全平方式，则a =________． 4．（2010重庆模拟）已知 29,722=+=+b a b a ，则b a -=__________．
5.（2009 七中）四边形ABCD 的四条边依次为 a ,b ,c , d ,且满足2222
a b c d 2ac 2bd +++=+.则这个四边形是____________四边形．
6.（2009·龙门在线） b a ab b a 0448:2
222=+++-已知，则2008
)
2
(3b
a +的值为________．
7.（2012七中育才半期）已知：04
17
42
2
=+
+-+b a b a ，求=a ______，=b ______．
8. 当a =_______，b =______时，多项式22
4618a a b b ----有最大值，这个最大值是________．
9. 已知32
71-可被40至50之间的两个数整除，则这两个整数是分别是 ．
10．（2009 竞赛培训）已知5,a b c a b +=、、满足 92
-+=b ab c ，则c =______，b=_______．
11．（2009 七中）因式分解2
x ax b ++，甲看错a 的值，分解的结果是(6)(1)x x -+，乙看错b 的值，分解的结果是(2)(1)x x -+，那么分解因式的正确结果是________________． 12．（2009嘉祥）已知m 、n 均为自然数，且()()12m m n n n m ---=，求m 、n 的值．
13．已知：c bx x ++2
（b 、c 为整数）是2562
4
++x x 及528432
4
+++x x x 的公因式，求b 、c 的值．
14．（2010培优）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，证明：222222()40a b c a b +--<．
望子成龙学校家庭作业
学生姓名：________ 家长签字：
1．已知a ＞b ＞c ，222222,,M a b b c c a N ab bc ca =++=++则M 与N 的大小关系是（ ） A ． M ＜N B ． M ＞N C ． M =N D ． 不能确定
2．若多项式2222()()ab c d cd a b +++有一个因式bc+ad ，则另一个因式为（ ） A ． ab+cd B ． ac+bd C ． a+bc D ．ad+b
3．（2011·潍坊）因式分解：3
2
1a a a +--=_____________
4.（2006成都）把b a ab a 2
232-+分解因式的结果是 。
5. 若多项式229)1(b ab k a +-+能用完全平方公式进行因式分解，则k= 。
6．（2010石室）232
:5990069851022x x x x x +-=+-+已知，求的值。
7．将下列各式分解因式：
（1）y x y xy x 634422+-+- （2）12222
2++-+-y x y xy x
（3）16)8)((2
222+-++y x y x （4）2
2
96192204204+⨯+
(5)4
2
28x x -- （2011·广州）（6）22
8(2)(7)x y x x y xy --++
8. 已知a 、b 、c 是⊿ABC 的三边，且满足0208422=+--+b a b a ,求⊿ABC 最大边c 的取值范围.。
