第11讲 因式分解高端方法(学生版)

七年级数学下册第十一章素材：
因式分解
1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引入应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就．
2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学生模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题对策．
评价与反馈建议
1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。

发现问题，及时反馈。

2．通过做一做及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。

3．通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。

4．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫
正的针对性更强。

5．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。

6．课堂上反馈信息除了语言和练习外，学生神情也是信息来源，而且这些信息更真实。

学生神态、表情、坐姿都反映出学生对教师教学内容的理解和接受程度。

教师应积极捕捉学生在知识掌握、思维发展、能力培养等各方面全方位的反馈信息，随时评价，及时矫正，随时调节教学。

因式分解(超全方法)因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。

下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。

练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz综合练：1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^24) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2四、十字相乘法。

七年级数学下册第十一章素材：
公式法
第一课时
重点：用平方差公式分解因式
难点：灵活运用平方差公式分解因式，正确判断因式分解的彻底性.
实施建议：
1．让学生一起来计算(a+b)（a－b）= _______ 探究新的问题：(x2－1) a2－b2=__________。

（1）其间可作这样的启发引导：因式分解和整式乘法是相反的过程，什么样的两个整式的积等于x2－1？
（2）让同学们交流各自的认识并解释理由。

2．学生独立完成“试着做做”
3．师生共同总结用平方差公式进行因式分解。

（1）满足什么条件？
（2）规范的步骤应是什么？
4．再让同学独立去做例1、例2中的题目，并对过程和结果通过展示、解释、相互点评，达到能较好运用平方差公式进行因式分解的目的。

5．独立完成课后练习，强化用平方差公式分解因式。

第二课时
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活运用完全平方公式分解因式
实施建议：
可先向学生提问题：与平方差公式用来分解因式类比，用两数和（差）的平方公式能进行因式分解吗？
1．让学生写出两个公式，并把这两个公式用逆向表示方式写出。

2．让学生直接去探索如何对例3的多项式进行因式分解。

（1）这个多项式能写成公式展开后的基本形式吗？
（2）怎样逆过来用公式？
在这个过程中，教师对部分学生可给以必要的帮助。

（3）让学生向大家展示自己的做法，解释理由，对某些错误和偏差，师生作出点评，形成统一认识。

3．教师再对用这两个公式分解因式的步骤作出总结和概括。

4．像处理例1那样，再让学生研究例4。

5．最后教师再作概括，给出完全平方式的概念。

第11讲提公因式与公式法因式分解目标导航1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式.知识精讲知识点01 因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．【知识拓展1】（2021秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（）A．2a2﹣b+c B．2a2﹣b﹣c C．2a2+b﹣c D．2a2+b+c【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•yC．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2知识点02 公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【知识拓展1】（2021秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（）A．abc B．4ab2C．ab2D．4ab2c【知识拓展2】（2021秋•广饶县期中）n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+1【即学即练1】（2021秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是．【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．知识点03 因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【知识拓展1】（2021秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）【即学即练1】（2021秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（）A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2【即学即练2】（2021秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．【即学即练3】（2021秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．【知识拓展2】（2021秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．【即学即练1】．（2021秋•海口期末）把下列多项式分解因式．（1）﹣2a+32ab2；（2）x（y2+9）﹣6xy．【即学即练2】（2021秋•梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．知识点04因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．【知识拓展1】（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．【即学即练1】（2021秋•博兴县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．【即学即练2】（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：（1）16﹣x4；（2）4x（y﹣x）﹣y2．【知识拓展2】（2021秋•虹口区校级期末）已知，求ab．【知识拓展3】（2021秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．知识点05提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．【知识拓展1】（2021秋•大余县期末）因式分解：（1）a3b﹣ab3；（2）2a3+12a2+18a．【即学即练1】（2021秋•鱼台县期末）分解因式：（1）a3﹣2a2b+ab2．（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【即学即练2】（2021秋•西平县期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2. 把下列各式因式分解（1）324x xy - （2）3223288x y x y xy ++例3. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

因式分解●目标知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生观察能力和语言概括能力.情感与价值观要求。

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.●教学重点 1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.●教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.●教学方法观察讨论法●教学过程Ⅰ .创设问题情境,引入新课导入：由（a+b）（a－b）=a2－b2逆推a2－b2=（a+b）（a－b）Ⅱ.讲授新课1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.993－99 =99× 98×1002.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.3.做一做[（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=_________;②（y－3）2=__________;③3x（x－1）=_______;④m（a+b+c）=_______; ⑤a（a+1）（a－1）=________ （2）根据上面的算式填空：①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2. ⑤a3－a=（）（）.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式. 4.想一想由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？下面我们一起来总结一下.如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）ma +mb+mc=m（a+b+ c）（2）5、整式乘法与分解因式的联系和区别ma+mb+mc m（a+b+c）.因式分解与整式乘法是相反方向的变形.6.例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8 ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.Ⅲ.课堂练习随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.。

因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-．从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤： （1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ． 二．对称式与轮换对称式【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

11 初一数学暑假-分组分解发与因式分解综合（pdf、教师版+学生版）11 分组分解法与因式分解综合教学目标目标1 ★★★☆☆☆操作熟练掌握四项式的分组分解法因式分解目标2 ★★★★★★综合综合运用各类方法进行因式分解教学目标【考情分析】1. 考纲要求：2.5 因式分解的意义2.6 因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1 的二次三项式的十字相乘法）2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而分组分解因式法因式分解则是因式分解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念9.16 分组分解法法4. 分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点2等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．【课堂引入】1．把下列多项式因式分解。

（1）2x2+10x；（2）a(m+n)+b(m+n)；（3）2a(x-5y)+4b(5y-x)；（4）(x+y)2-2(x+y)。

2．新课讲解。

二、引入1．提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。

怎么办呢？由于am+an=a(m+n)，bm+bn=b(m+n)，而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。

这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n )(a+b)。

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。

这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。

您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。

我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。

本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。

本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。

因为下次再搜索到我的机会不多哦！用完全平方公式因式分解教学目标：1、经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

进一步体会整式乘法与分解因式之间的联系。

2、了解完全平方式和运用公式法分解因式的含义，会用完全平方公式分解因式。

教学重点：会用完全平方公式分解因式教学难点：完全平方式的识别及正确运用完全平方公式分解因式及其简单应用教法：启发式教学与探究式教学相结合导学设计：教学内容与教师行为学生行为活动一：复习引入将下列式子分解因式（1）(m+n)2-9；（2）16-(2a+3b)2；（3）x2+4x+4.针对（3）题的结果提出问题：x2+4x+4＝(x+2)2是分解因式吗？为什么？启发学生得出肯定的回答后，揭示课题。

学生板演练习引导学生根据定义进行分析，作出回答。

活动二：探究新知观察a2±2ab+b2，有什么特征？由此得出完全平方式定义：我们把形如a2±2ab+b 2＝(a±b)2的式子叫做完全平方式。

练习1：填空：将下列式子补成完全平方式(1) x2+( )+9=x2+2( )( )+( )2a2+ 2a b+ b2(2) (a+b)2+( )+4学生发言互相补充，完善特征： (1) 三项式， (2) 首2+2首尾+尾2=(a+b)2+2( )( )+( )2(3) ( )2-6xy+y2=( )2-2( )( )+( ) 2教师小结a、b可代表单个字母，数字、单项式还可表示多项式。

学必求其心得，业必贵于专精
因式分解
1．在“观察与思考"的活动中，通过观察对数进行的简便运算,认识到将含加减运算的算式化为因数积的意义。

这个活动有学生的观察引发思考,让学生切实体会到因数分解给计算带来的方便.
2．类比把“数"的算式化为积的形式,提出“如何把一个多项式化为积的形式？"，再引导学生借助于整式乘法,“反过来"就能写成整式乘积的形式，从而建立因式分解的概念，并体会到可借助于整式乘法对多项式进行因式分解的认识，为探究因式分解的方法奠定基础。

3．“大家谈谈"是从变形的结果理清多项式相乘与因式分解的联系与区别，以加深对因式分解概念的理解。

因此，应引导学生在观察上面具体实例的基础上进行交流，并形成共识。

4．应注意及时运用因式分解的概念进行判断。

这样,既可以巩固概念，还可以作为演绎思维训练的过程。

1。