函数的最大(小)值

1 函数的最大（小）值 学习目标： 重点：函数的最大（小）值及其几何意义 难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值

引入：前面学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请看某市一天24小时内的气温变化图. (1)说出气温随时间变化的特点. 从图象上看出0时4时之间气温下降,4时14时之间气温逐步上升,14时~24时气温逐渐下降. (2)某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？ 14时气温达到最高,4时气温达到最低. (3)从图象上看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值,从图象上看出,图象在这一点的位置最高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值问题.

探究点1 函数的最值 1.观察函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.

思考1 这三个函数图象有何共同特征？ 【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,第三个函数图象有最高点C，也就是说,这三个函数的图象都有最高点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)≤M 最高点的纵坐标即是函数的最大值！ 2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①()3fxx ②()3[1,2]fxxx

③2()21fxxx ④2()21[2,2]fxxxx

（二）研探新知 1．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM． 2

那么，称M是函数()yfx的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()yfx的最小值的定义． 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0xI，使得0()fxM； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有()(())fxMfxm．

★函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0) ★函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值. ★定义中的两个条件缺一不可,只有(1)没有(2)不存在最大值点,而只有(2)没有(1),M不一定是函数y=f(x)的最大值.

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意的xI，都有f(x)≥N；（2）存在0xI，使得f(x0)=N. 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值. ★函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0). ★最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.

2．请思考, 是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明. (1)()1;fxx2(2)();fxx2(3)()21,[0,3)fxxxx

32-2-1x

y

o ★一个函数不一定有最值. ★有的函数可能只有一个最大(或小)值. ★如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个.

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是该闭区间两端点的值．( ) (2)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值是f(a)或f(b)．( )

(3)函数y＝x－1x(x∈[1，3])的最大值和最小值分别是83和0.( ) 解析：(1)对，根据函数最值的概念知，该说法正确． 3

(2)错，若函数y＝f(x)是区间[a，b]上的单调函数，则结论正确，若不是单调函数，则结论不一定正确． (3)对，利用单调性定义容易证明y＝x－1x(x∈[1，3])是增函数，所以ymax＝3－13＝83，ymin＝1－11＝0. 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．函数y＝2x2－1，x∈N*的最值情况是( ) A．无最大值，最小值是1 B．无最大值，最小值是－1 C．无最大值，也无最小值 D．不能确定最大、最小值 解析：因为x∈N*，且函数在(0，＋∞)上单调递增，故函数在x＝1时取得最小值，最小值为1，无最大值． 答案：A

3．若函数y＝kx(k>0)在[2，4]上的最小值为5，则k＝________.

解析：因为k>0，所以函数y＝kx在[2，4]上是减函数，所以当x＝4时，y＝k4最小，由题意知k4＝5，k＝20. 答案：20

4.求函数y=x2-2x-1的值域和最值. (1) x∈[0, 3] ； (2) x∈(2, 4]； (3) x∈[-2, -1]

例1求函数y=12x在区间［2，6］上的最大值和最小值. 活动：先思考，提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.

利用变换法画出函数y=12x的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的. 解：设2≤x1

f(x1)-f(x2)=121221xx=)1)(1()]1()1[(22112xxxx=)1)(1()(22112xxxx ∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0. ∴f(x1)>f(x2),即函数y=12x在区间［2，6］上是减函数.

所以，当x=2时，函数y=12x在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2； 当x=6时，函数y=12x在区间［2，6］上取得最小值f(6)= 52. 变式训练 1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______. 答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1. 2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是. 分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值. 设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)， 又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数， 则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值－1. 所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1. 3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值. 分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助 4

图象，根据单调性的几何意义写出单调区间. 解：函数图象如图所示.

由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)， 故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题. 单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)= -4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？ 将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值. 解：画出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象，如下图所示， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.

由二次函数的知识，对于函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18，我们有： 当t=)9.4(27.14=1.5时，函数有最大值, 即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m. 点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论. 注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合. 变式训练 1.【2006山东菏泽二模，文10】把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )