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方程迭代3

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1 西南交通大学数值分析题库 （1）.设()3()1fxx=-，则()fx关于[0,1]C的f¥= 1 ,1f= 14 ,

2f= 17 。

(2) 设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解 唯一 (唯一,不唯一) (3) 用梯形公式计算积分232xedx 9.219524E-003:此值比实际值 小 (大,小)

(4) 用Euler方法解初值问题 0(0)1yyy的近似解的最终表达式ny=()1nh+ (取步长xhn=)；当n时，limnny= xe 。 (5) 令f(x)=3x7+ x4+3x+1, 则f[20, 21,…,27]= 3 ；f[20, 21,…,28]= (5) 在以10((),())()(),(),()[0,1]gxfxxfxgxdxfxgxC为内积的空间C[0,1]

中，与非零常数正交的一次多项式是 2,03cxc 例4-2 证明0sin1xx在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41021的根要迭代多少次？ 解答 设xxxfsin1)(，则01sin)1(,01)(fxf；又因

]1,0[,0cos1)(xxxf，故)(xf在[0，1]上单减，因此f(x)在[0,1]上有且仅有一

个根。 使用二分法时，误差限（按例4-1的编号方式）为

4111102121)(21*kkkabxx，解得

7 287.132ln/10ln4,1024kk 所以需迭代14次即可。 例4-3 求解方程xex的根，要求取5.00x,分别用简单迭代法、迭代法的加速方

法：)(1)(111kkkkkxxppxxx，以及埃特金方法求解，要求误差应满足5110kkxx

。

解答 （1）简单迭代法。此时迭代公式为 ,2,1,0,5.0,01kxexxk 2

计算结果如下： k kx k k

x

0 0.5 10 0.566 907 2 1 0.606 530 6 11 0.567 277 2 2 0.545 239 2 12 0.567 067 3 3 0.579 703 1 13 0.567 486 3 4 0.560 064 6 14 0.567 118 8 5 0.571 172 1 15 0.567 157 1 6 0.564 862 9 16 0.567 135 4 7 0.568 438 0 17 0.567 147 7 8 0.566 409 4 18 0.567 140 7 9 0.567 559 6

此时已满足5171810xx，故取5671407.0*18xx。

（2）用加速技巧来做。在5.00x附近，6.0)(xe，故取6.0p，此时迭代式为





,2,1,0),(6.016.01111kxxxxex

kkkkx

kk

计算结果如下： k kx kx k kx k

x

0 0.5 3 0.567 149 8 0.567 143 1 1 0.606 530 7 0.566 581 7 4 0.567 143 4 0.567 143 3 2 0.567 461 9 0.567 131 8

此时已满足53410xx，做5671433.0*4xx。 （3）用埃特金方法来做。此时迭代式为





,2,1,0,2)()(),(121111kxcccccxccxc

kkkkkkk

kkkk

计算结果如下： k kC 1kC k

x

0 0.5 1 0.6065307 0.5452392 0.5676239 2 0.5668708 0.5672979 0.5671433 3 0.5671433 0.5671433

此时不能再算了，因已达到精度要求，故取5671433.0*2xx即可 3

例4-4 当R取适当值时，曲线2xy与222)8(Rxy相切，试用迭代法求切点横坐标的近似值，要求不少于4位有效数字，也不求R。 分析 两曲线相切，在切点处曲线函数值相等，导数值相等，根据这些条件可列出切点横坐标应满足的关系式，然后用迭代法求解。

解答 2xy的导数为222)8(;2Rxyxy的导数y满足

0)8(22xyy，故由两曲线相切的条件，可得

0)8(242xxx 即 0823xx 令82)(3xxxf，则0)2(,0)1(ff，因此0)(xf在（1，2）内有根。又在（1，2）内016)(2xxf仅有一个根，构造迭代格式 2,1,0,]2/)8[(3/11kxxkk

取 5.1)21(210x，计算结果如下： 482563.1,482671.1,481248.1,5.13210xxxx 由于3231021000108.0xx，故取483.1*3xx，即可保证有4位有效数字。即两曲线切点的横坐标为1.438. 例4-5 分别用单点弦割法和双点弦割法求020102)(23xxxxf的根，要

求6110kkxx。 解答 因010341643)(2acxxf，故)(xf没有极值点。由于012)2(,70)1(ff，因此0)(xf在（1，2）内仅有一根。

（1）用单点弦割法，迭代公式为 ,2,1),()()(001kxfxfxfxxxxkkkkk

取2,110xx，计算结果如下： k kx k k

x

0 1 5 1.368808644 1 2 6 1.368808049 4

2 1.368421053 7 1.368808115 3 1.368851263 8 1.368808107 4 1.368803298

此时，已满足精度要求，故取368808107.1*8xx即可 （2）若采用双点弦割法，迭代公式为 ,2,1),()()(111kxfxfxfxxxxkkkkkkk

仍取2,110xx，则有 k kx k k

x

0 1 3 1.368850469 1 2 4 1.368808104 2 1.368421053 5 1.368808108

取368808108.1*5xx，可保证64510xx。 注记 本题方程为Leonardo方程。Leonardo于1225年研究了该方程，并得到了368808107.1*x的结果，这在当时是非常重要的结果，但无人知道他是用何法而得。这

时000000009.0*)(xf。 例4-6 用牛顿法求解Leonardo方程 02010223xxx

要求 6110kkxx。 解答 由上题知，0)(xf在（1，2）内有一个根，且0)2(,0)(fxf，故应取20x，利用牛顿迭代公式

,2,1,0),(/)(1kxfxfxxkkkk

计算结果如下：

k kx k k

x

0 1 3 1.368869419 1 1.6 4 1.368808109 2 1.383388704 5 1.368808108

684510101.0xx

,故取368808108.1*5xx。

注记 由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言， 5

当牛顿法中)(kxf的计算量超过)(kxf的计算量的44%时，双点弦割法的总计算时间较牛顿法的少，见参考文献7. 例4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。

（1）4/)sin(cosxxx； （2）xx24。

分析 判断方程)(xx能否用迭代法求根，最关键的是)(x在根的附近能否满足1)(Ix。因此可用该条件来判断。

解答 （1）4/)sin(cos)(xxx，对所有的x，有 121424/)cossin()(xxx 故能用迭代法求根。 （2）方程为024xx。设xxxf24)(，则0)2(,0)1(ff，故有根区

间为[1,2]，题中138629.12ln22ln2)(,24)(xxxx，故不能用kxkx241来迭代。

把原方程改写为2ln/)4ln(xx，此时，2ln)4ln()(xx，

12ln212ln12412ln141)(xx，故可用迭代公式

2ln/)4ln(1kkxx

来求解。

例4-11为求方程0123xx在5.10x附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

（1）211xx，迭代公式 2111kkxx

（2）231xx，迭代公式 3/121)1(kkxx （3）112xx，迭代公式 2/11)1/(1kkxx 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。 解答 取5.10x的邻域[1.3,1.6]来考察。

（1）1901.03.1/2/2)(,/11)(332xxxx，故迭代公式（1）收敛。

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计算方法--第3章逐次逼近(线性方程组的迭代解法)

计算方法--第3章逐次逼近(线性方程组的迭代解法)


⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
b1 ⎞ ⎟ a1 1 ⎟ b2 ⎟ ⎟ a 22 ⎟ M ⎟ ⎟ bn ⎟ ⎟ a nn ⎠
=
注意:
⎛ ⎜ 0 ⎜ ⎜ a21 ⎜− a ⎜ 22 ⎜ M ⎜ − an1 ⎜ a ⎝ nn
B
L L O L
D −1
a ⎞ − 1n ⎟ ann ⎟ a ⎟ − 2n ⎟ a22 ⎟ M ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ a11 ⎟ ⎜ ⎜b ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ a22 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ bn ⎟ ⎜ ⎟ ann ⎠ ⎝
迭代法（3-5）或（3-6）称为Jacobi迭代法。
例1 将线性方程组
⎧8 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 20 ⇒ ⎪ ⎨4 x1 + 11x2 − x3 = 33 ⇒ ⎪2 x + x + 4 x = 12 ⇒ 3 ⎩ 1 2
解：写成Jacobi迭代格式（3-5）：
1 (k ) (k ) x1 = (3 x2 − 2 x3 + 20) 8 ( k +1) 1 (k ) (k ) x2 = (− 4 x1 + x3 + 33) 11 ( k +1) 1 (k ) (k ) x3 = (− 2 x1 − x2 + 12) 4
x
( k +1) 3
−x
(k ) 2
)
x
( k +1) 3
(0) T 取初始向量 x = (0,0,0) ，得到
x1(1) = 2.5
( x21) = 3 − 0.363636 × 2.5 ≈ 2.0909091
( x31) = 3 − 0.5 × 2.5 − 0.25 × 2.0909091 ≈ 1.768939
线性方程组的迭代式求解方法

线性方程组的迭代式求解方法

线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。

道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。

迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。

2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。

迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。

Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。

迭代法求方程的近似解

迭代法求方程的近似解

迭代法求方程的近似解在数学中，方程是一种重要的数学工具，它可以描述各种自然现象和数学问题。

解方程是数学学习中的基本内容之一，而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。

本文将介绍一种常用的方法——迭代法，用于求解方程的近似解。

一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。

其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。

迭代法的优点在于简单易行，适用于各种类型的方程。

二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。

具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。

2. 根据方程的特点，构造一个递推公式xn+1=f(xn)，其中f(x)是方程的函数表达式。

3. 通过不断迭代计算，得到xn+1的值。

4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求，如果满足要求，则停止计算，否则返回第3步继续迭代计算。

三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。

假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。

首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。

然后，根据方程的特点，构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。

通过不断迭代计算，得到如下结果：初始值x0=1，迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5，迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167，迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142，迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算，我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。

可以发现，随着迭代次数的增加，近似解逐渐逼近方程的真实解。

四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中，需要注意以下几点：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代结果有很大影响，一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。

2. 迭代公式的构造：迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计，以确保迭代过程的收敛性和稳定性。

3次方程求解方法

3次方程求解方法

3次方程求解方法三次方程，即含有三次项的方程，可一般表示为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中a、b、c、d为已知系数，且a≠0。

解三次方程一般有四种方法：代入法、化为二次方程法、牛顿迭代法和Cardano公式法。

下面将逐一介绍这四种方法。

一、代入法代入法是一种直观的解方程的方法。

步骤如下：1.假设已知解为x=r，将r代入原方程得到一个二次方程；2.求解二次方程，得到解r；3.将r代入原方程，检验是否满足。

当然，这种方法的前提是我们能够猜测到一个解r，且这个解确实存在。

二、化为二次方程法化为二次方程法又称Vieta定理法。

其思想是通过变量代换将三次方程转化为二次方程，再用求解二次方程的方法求解。

步骤如下：1.设x=t-b/3a，其中t是未知数，代入原方程化简；2.移项整理后得到一个以t为未知数的二次方程；3.求解二次方程，得到解t；4.通过t求解原方程。

三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求方程的近似解。

步骤如下：1.假设已知解x0；2.假设x0附近存在解，通过牛顿迭代公式x=x0-f(x0)/f'(x0)求解近似解；3.重复步骤2，直至近似解达到所需精度。

四、Cardano公式法Cardano公式法适用于一般的立方方程。

步骤如下：1. 将原方程形式化为x^3 + px + q = 0；2. 令y = x + p/3x，将方程化为y^3 + ry + s = 0；3.引入一个新的变量z，使得y和z的线性项抵消，得到一个关于z 的二次方程；4.求解这个二次方程，得到根z；5.通过z回代求解y；6.通过y回代求解x。

四种方法中，代入法和化为二次方程法相对简单，适用于能够猜测到解的情况。

而牛顿迭代法和Cardano公式法更加复杂，适用于无法直接得到解的情况。

综上所述，解三次方程有多种方法，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

在实践中，通过结合多种方法，可以更加高效地求解三次方程。