贵州省独山第二中学2017届九年级第一学期期中数学试卷(无答案)

O G F E D CB A 2017-2018学年第一学期期中检测数学试题卷考生须知：本试卷分试题卷和答题卷两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

答题时，应该在答题卷指定位置内写明校名，姓名和考号。

一．仔细选一选（本小题有10个小题，每小题4分，共40分）1．二次函数2)3(22+-=x y 的图象顶点坐标为 （ ） A.（3,2） B.(－3，2) C.(2,3) D.(2,-3)2．函数y ＝x2－4x ＋3化成y ＝(x ＋m)2＋k 的形式是 ( )A ．y ＝(x ＋2)2－1B ． y ＝(x ＋2)2＋7C ．y ＝(x －2)2－1D ．y ＝(x －2)2＋73．把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线是（ ）A.2)3(32-+=x yB.2)3(32++=x y C.2)3(32--=x y D.2)3(32+-=x y 4. 已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为 （ ）A ． 3B ． 3C ．D ．5.从一副扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃，放在一起洗匀，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情 （ ）A ．可能发生 B.不可能发生 C.很可能发生 D.必然发生6.若将直尺的0cm 刻度线与半径为5cm 的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动，则直尺上的10cm 刻度线对应量角器上的度数约为 （ ） A ．90° B ．115° C ．125°D ．180°7.如图，弧AB 、弧BC 、弧CA 度数比为12：13：11，在弧BC 上取一点D ，过D 分别作弦AC 、弦AB 的平行线，交弦BC 于E 、F 两点，则∠EDF 的度数 ( )A ． 55B ． 60C ． 65D ． 708．如图，是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若，则 PQ 的值为（ ） A ． 3a B ．1.5a C ． a D ．32 a9．如图，AB 是⊙O 直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是弧AC 上任意一点，延长AG ，与第6题图 第7题第8题图 第9题图DC 的延长线相交于点F ，连结AD ，GD ，CG ，则与AGD ∠相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个10. 二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1）正确结论的个数（ ）A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二.认真填一填（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是___12．已知二次函m x x y +--=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=+--m x x 的解为 ___________13．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD的最小值为 ．第13题图 第14题图 第15题图 第16题图14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x ﹣3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 ．第10题 第12题15.如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．16，已知抛物线与直线y=2x 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。

注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）数学3、考试结束后，只收回答题卡.第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是A．B．02342=++xx 0122=--y x C．D．0122=++x ax ()024=-x x 2．如图，将含有30°角的三角尺ABC （∠BAC =30°），以点A 中心，顺时针方向旋转，使得点C ，A ，B ′在同一直线上，则旋转角的大小是A．30°B．60°C．120°D．150°3．方程的两个实数根是x x =2A．x 1=x 2=1B．x 1=1，x 2=-1C．x 1=0，x 2=1D．x 1=0，x 2=-14．将关于x 的方程配方成的形式，则的值是0862=+-x x ()p x =-23p A．1B．28C．17D．445．如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是032=+-k x x A．k≥B．k≤C．k＞D．k＜49494949C′B′CBA6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单()2122---=x y 位，则所得到的二次函数的解析式是A．B．()1322---=x y ()1122-+-=x y C．D．()3122-+-=x y ()3322---=x y 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA 病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x 只动物，则下面所列方程正确的是A．3x（x+1）=363B．3+3x+3x ²=363C．3（1+x）²=363D．3+3（1+x）+3（1+x）²=3638．已知二次函数（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），c x x y +-=42则关于x 的一元二次方程的两个实数根是042=+-c x x A．x 1=1，x 2=-1B．x 1=-1，x 2=2C．x 1=-1，x 2=0D．x 1=1，x 2=39．二次函数的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：c bx ax y ++=2则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A．开口方向向上B．当x＞-2时，y 随x 增大而增大C．函数图象与x 轴没有交点D．函数有最小值是-210．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图bx ax y +=2a bx y +=象可能是x …-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在⊙O 中，AC =BC ，半径OC 与AB 交于点D ，若AB =8cm，OB =5cm，则CD =▲cm.13．已知点A （4，y 1）和点B （-1，y 212．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转▲°能与原雪花图案重合.）是二次函数（m 为常数）()m x y +-=21-215．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD 的图象上两点，则y 1和y 2的大小关系是▲.14．2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为▲.的面积的最大值是▲.HG FED CBA⌒⌒三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解方程（每小题5分，共10分）（1）()910-=+x x （2）()12832+=+x x x 17．（本小题5分）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于点G .求证：EF =FG .18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5，4），B （1，3），C （3，1）.点P （a，b）是△ABC 内的一点.（1）以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标：A 1▲，B 1▲，C 1▲.注：点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1分别是对应点.（2）点P 的对应点P 1的坐标是▲；（3）若以点O 为中心，把△ABC 逆时针旋转则点P 的对应点P 2的坐标是▲，点P 1与点P 2关于▲对称.（填写“x 轴、y 轴或原点”）⌒⌒19．（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：一元二次方程在几何作图中的应用如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.因为矩形ABCD 的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14-x.所以，得x（14-x）=24.解得x 1=2，x 2=12.当x=2时，14-x=12；当x=12时，14-x=2.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.如图2，在边AB 的延长线取点G ，使得AG =4AB .在AD 上取AE =AD .21以AG 和AE 为邻边作出矩形AGFE .则矩形AGFE 的周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.学习任务：（1）在作出矩形AGFE 的过程中，主要体现的数学思想是▲；（填出序号即可）A.转化思想B.数形结合思想C.分类讨论思想D.归纳思想（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的？21若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.图1 图2GFEDCBA D CBA20．（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA =60米，在水面的跨度BC =80米，桥面距水面的垂直距离OE =7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？21．（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“，”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？解：设….根据题意，所列出方程：.()6080402300-20=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+x x …根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“”处短缺的条件是▲，小明所列方程中未知数x 的实际意义是▲.（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.图1图222．（本小题12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，将△ADE 以点A 为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF ，连接EF ．过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．试猜想FG 与GE 的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG ，他们认为DG 平分∠ADC ．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若AD +DE =28，则四边形AGED 的面积为▲.（直接写出答案即可）图1 图2AB CDEFGGFEDCBA23．（本小题13分）综合与探究已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 32-2-=x x y 轴交于点C ，点D 是y 轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图1，当点D 在第四象限时，求出△BCD 面积的最大值，并求出这时点D 坐标；（3）当∠DAB =∠ABC 时，求出点D的坐标.图1 备用图一、选择题：1—10：DDCAB BCDCC二、填空题：11.2；12.60°；13.y 1＜y 2；14.2.9（1+x）²=3.8；15.50.三、解答题：16.解：（1）x 1=-1，x 22023～2024学年第一学期九年级期中质量监测试题数学参考答案=-9；…………………………………………………………5分（2）x 1=，x 2=4.…………………………………………………………………5分23-注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB.……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，……………………………………………………………………2分∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，……………………………………………………………………3分∴∠GAF=∠FAE，…………………………………………………………………4分∴EF=FG.……………………………………………………………………5分18.解：（1）画图略，画图正确.………………………………………………2分A 1（4，-5），B 1（3，-1），C 1（1，-3）.………………………………………5分（2）（b,-a）.……………………………………………………………………6分（3）（-b,a），原点.………………………………………………………………8分19.解：（1）B；…………………………………………………………………2分（2）不存在.……………………………………………………………………3分理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的，21则所求的矩形周长为7，面积为6.………………………………………………4分设所求的矩形一边长为x，则与其相邻的另一边的长为-x.………………5分27所以，得x（-x）=6.……………………………………………………………6分27整理，得2x ²-7x+12=0.…………………………………………………………7分因为△=（-7）²-4×2×12=49-96＜0.所以该方程无解.…………………………………………………………8分所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的……9分21⌒⌒20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为y=ax ²+bx.………………1分∵OA=60，∴A 点坐标为（60，0）.∵BC=80，根据对称性可知，点C 坐标为（70，-7）.…………………………2分把A（60，0），B（70，-7）代入y=ax ²+bx，得………3分⎩⎨⎧-=+=+77049000603600b a b a 解得………………………………………………………………4分⎪⎩⎪⎨⎧=-=531001b a ∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.………………5分x x y 5310012+-=（2）∵x x y 5310012+-=……………………………………………………7分().93010012+--=x ∴该函数的顶点为（30，9）.……………………………………………………8分∵9+7=16.∴桥拱最高点到水面的距离是16米.…………………………………………9分21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了x 元.………………………………………………………………2分（2）设每件商品的定价为x 元，根据题意可列方程…………………………3分.………………………………………6分()60804026030040=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 整理，得x ²-115x+3304=0.……………………………………………………7分解得x 1=59，x 2=56.……………………………………………………………8分为了让每位顾客得到更大的实惠，所以x=59舍去.…………………………9分答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.…………………………………………………………………10分22.（1）FG=EG.………………………………………………………………1分证明：∵△ABF 是由△ADE 顺时针方向旋转90°得到的，∴△ABF≌△ADE，………………………………………………………………2分∴AF=AE. (3)分∵AG⊥EF，∴FG=EG.………………………………4分（2）连接CG.……………………………5分∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD，∠FCE=90°.……………………6分由（1）可知，FG=EG，∴CG=EF.………………………………7分21∵∠EAF=90°，∴AG=EF.………………………………8分21∴AG=CG.∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，………………………………………………………………9分∴∠ADG=∠CDG，即DG 平分∠ADC.…………………………………………10分（3）196………………………………………………………………………12分23.解：（1）当y=0时，.032-2=-x x 解得x 1=-1，x 2=3.∴点A（-1，0），B（3，0）.……………………………………………………2分当x=0时，y=-3，∴点C（0，-3）……………………………………………………………………3分（2）如图，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E，并且交直线BC 于点F.过点C 作CH⊥DE，垂足为H.……………………4分设BC 的解析式为y=kx+b.把点B（3，0），点C（0，-3）代入，得，⎩⎨⎧-==+33b b k 解得k=1，b=-3.∴直线BC 的解析式为y=x-3.……………………5分设点D（m，m ²-2m-3），则点F（m，m-3）.则DF=m-3-（m ²-2m-3）=-m ²+3m.……………6分∵S △BCD =S △CDF +S △BDF =×DF×CH+×DF×BE=×DF（CH+BE）=21212121ACDEFG∴S △BCD =（-m ²+3m）×3=-m ²+m.………………………………7分212329=-（m-）²+.（0＜m＜3）…………………………………………8分2323827∵-＜0，∴当m=时，S △BCD 有最大值，S △BCD 的最大值为.………9分2123827（3）∵点B（3，0），点C（0，-3）.∴OB=OC.∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°.设点D（m，m ²-2m-3）.如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DP⊥OB，垂足为P.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠APD=90°.∴∠PDA=∠PAD，∴PA=PD.∴m-（-1）=-（m ²-2m-3）.……………………10分解得m=2或m=-1（舍去）.当m=2时，m ²-2m-3=-3.∴点D 坐标为（2，-3）.…………………………11分如图，当点D 在x 轴上方时，过点D 作DQ⊥OB，垂足为Q.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠AQD=90°.∴∠QDA=∠QAD，∴QA=QD.∴m-（-1）=m ²-2m-3.…………………………………………………………12分解得m=4或m=-1（舍去）.当m=4时，m ²-2m-3=5.∴点D 坐标为（4，5）.∴当∠DAB=∠ABC 时，点D（2，-3）或（4，5） (13)分。

资中县2017—2018学年度第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．化简2(3)-的结果是（ ）． A ．－3 B ．3C ．±3D ．92．计算并化简455⨯的结果为（ ）． A ．2 B ．4 C ．±2D ．±43．下列根式中，最简二次根式是（ ）． A ．24 B ．15 C ．12D ．124．一元二次方程4x 2﹣2x －＝0的根的情况是（ ）．A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断5．下列叙述正确的是（ ）．A ．形如ax 2＋bx ＋c ＝0的方程叫一元二次方程B ．方程4x 2＋3x ＝4不含有常数项C ．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0D ．（3－y ）2＝0是关于y 的一元二次方程6．下列计算正确的是（ ）．A ．325+=B ．6223⨯=C ．1162322÷= D ．32232-= 7．方程2（2x －1）（x ＋3）＝0的两根分别为（ ）． A ．12和3 B ．﹣12和3 C ．12和﹣3 D ．﹣12和﹣3 8．如图1，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）．A ．AD AE AB AC =B ．AD ACAE AB = C ．AD AE ABAC =D ．AB ADBE DC= 9．已知一元二次方程2x 2﹣5x －1＝0的两个根为x 1，x 2，下列结论正确的是（ ）．A ．x 1＋x 2＝5B ．x 1·x 2＝－1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2异号，且正根的绝对值大 10． 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）． A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为（x ＋4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为2（x ﹣74）2＝818D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为3（x ﹣）2＝10311．如图2，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条道路，横向道路宽度是纵向道路宽度的2倍，剩余的空地上种植草坪，草坪的面积为570m 2．若设纵向道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）．EDCB A图1A ．（32﹣2x ）（20﹣2x ）＝570B ．32×2x ＋2×20x ＝32×20﹣570C ．（32﹣2x ）（20﹣2x ）＝32×20﹣570D ．32×2x ＋2×20x ﹣2x 2＝57012．已知a 、b 是关于x 的一元二次方程22220x x k k --+-=的两个实数根，直线y ＝ax ＋b 一定经过的象限是（ ）．A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．使32x -有意义的x 的最大整数值是 ． 14．已知5a ＝6b （a ≠0），那么aa b+的值为 ． 15．当04x <<时，化简22(1)(4)x x +--的结果是 ．16．若关于x 的一元二次方程22(1)56m x x m m ++=-++的一个根是0，那么m 的值为 ．三、解答题(本大题共5小题，共44分)17．（10分，第（1）（2）题每题3分，第（3）题4分）（1）计算：2150(5)12555÷-⨯；（2）计算：111627154834+-+； （3）解方程：(2)(4)1x x +-=．18．（8分）如图3，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，AD ＝2，DE ＝4，EF ＝7.5．求BC 、BE 的长．2xm xmxm 图219．（8分）中国高铁是“中国创造”走向世界的一张亮丽的名片．2016年，我国高铁已运营里程为2．2万公里，预计到2018年将达到2．662万公里．求我国这两年高铁里程的年平均增长率．20．（8分）已知1(53)2x =+，1(53)2y =-． （1）求代数式x 2－xy ＋y 2值；（2）求以 x 、y 为两根的二次项系数为1的一元二次方程． 21．（10分）已知关于x 的方程22(23)10x k x k +-++=． （1）当k 是为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：214x x +=，求k 的值．B 卷（共60分）四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 22．已知a ，b 为实数，且113b a a <-+-+，那么关于x 的不等式(3)3b x b -<-的解集是 ．23．已知a b ≠,且满足22510a a -+=，22510b b -+=，那么b aa b+的值为 ．24．已知反比例函数2y x=-和一次函数1y kx =+的图象只有一个公共点，那么k 的值为 ．25．如图4，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ︰DC ＝1︰n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么BFFC的值为 （用n 表示）．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为250元，投入市场后，调研表明：当销售价为290元时，平均每天能售出8双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出4双．（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到420元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元？可使商场平均每天获得的利润最多？最大利润是多少元？图42721311=+⨯+， 22321=+⨯+， 23331=+⨯+，……（1= ．= ，其中n 为正整数．（2）请证明②式．（3）28．阅读材料 解方程组：276x y xy +=⎧⎨=⎩ ②①．分析：方程①是二元一次方程，方程②是二元二次方程，这样的方程组叫二元二次方程是组，像这种有一个方程是二元一次方程的二元二次方程组，可以类比二元一次方程组的解法，采用消元法求解．解：由方程①，得y ＝7－2x ， 代入方程②，得x （7－2x ）＝6， 整理，得2x 2－7x ＋6＝0，解这个方程，得 x 1＝2，x 2＝32． 当x ＝2时，y ＝3； 当x ＝32时，y ＝4． 所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，22324x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．解决下列问题（1）解方程组：2310x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ ②①． （2）如图5，点D 、E 是等腰RT △ABC 斜边AB 上两点，且∠DCE ＝45°．①求证：DE 2＝AD 2＋EB 2；②设AC ＝1，求DE 的最小值．E DBA C图5。

九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的．不选、多选、错选，均不给分）1．下列各数中，比﹣2小1的数是（）A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．12．下列计算正确的是（）A．（a2b）3=a6b3B．（a3）4=a7C．a3•a4=a12D．a3÷a4=a（a≠0）3．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值24．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=42°，则∠2等于（）A．138°B．142°C．148°D．159°5．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．87．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．2D．48．（4分）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠B=50°，则下列判断不正确的是（）A．∠ACB=90° B．AC=2CDC．∠DAB=65° D．∠DAB+∠DCB=180°9．（4分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1010．（4分）如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC=3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2y﹣4y=．12．（5分）科学家发现一种病毒的直径为0.0000104米，用科学记数法表示为米．13．（5分）若分式有意义，则x的取值范围为．14．（5分）如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，点D在AB上，且∠ACD=∠B，则AD=．15．（5分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．（1）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，则移动时间t=．（2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）．当d＜2时，求t的取值范围．16．（5分）如图，点A，D是函数y=（k＞0，x＞0）图象上两点（点A在点D的左侧），直线AD分别交x，y轴于点E，F．AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点C，连结AO，BD．若BC=OB+CE，S△AOF+S△CDE=1，则S△ABD=．三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）（1）计算：（﹣π）0﹣6tan30°+（）﹣2+|1﹣|．（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．18．（8分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=，n=，表示“足球”的扇形的圆心角是度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．19．（8分）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．20．（8分）如图，直线AB交双曲线于A，B两点，交x轴于点C，且BC=AB，过点B作BM⊥x轴于点M，连结OA，若OM=3MC，S△OAC=8，则k的值为多少？21．（10分）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=，求DE的长．22．（12分）我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．23．（12分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=，b=．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=，b=．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．24．（14分）如图1，已知直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+4ax+b 经过A．C两点，且与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在抛物线上，且△AQC与△BQC面积相等，求点Q的坐标；（3）如图2，P为△AOC外接圆上弧ACO的中点，直线PC交x轴于点D，∠EDF=∠ACO，当∠EDF绕点D旋转时，DE交直线AC于点M，DF交y轴负半轴于点N．请你探究：CN﹣CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．2016-2017学年浙江省绍兴市绍兴县马鞍中学等七校九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的．不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）（2017春•柯桥区期中）下列各数中，比﹣2小1的数是（）A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1【分析】根据有理数的减法，即可解答．【解答】解：﹣2﹣1=﹣3，故选：B．【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法．2．（4分）（2014•义乌市三模）下列计算正确的是（）A．（a2b）3=a6b3B．（a3）4=a7C．a3•a4=a12D．a3÷a4=a（a≠0）【分析】根据积的乘方，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．【解答】解：A、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故A正确；B、底数不变指数相乘，故B错误；C、底数不变指数相加，故C错误；D、底数不变指数相减，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了幂的运算，根据法则计算是解题关键．3．（4分）（2010•金华）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值2【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），可直接做出判断．【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值﹣3．故选B．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．4．（4分）（2014•江干区校级模拟）如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=42°，则∠2等于（）A．138°B．142°C．148°D．159°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠BAG=∠1，再根据角平分线的定义求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAG=∠1=42°，∵EF为∠GEB的平分线，∴∠3=∠BAG=×42°=21°，∵AB∥CD，∴∠2=180°﹣∠1=180°﹣21°=159°．故选D．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．5．（4分）（2017•广东模拟）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图有3列，2行，每行小正方形数目分别为3，2，从而画出图形．【解答】解：根据题意它的俯视图是：故选D．【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的俯视图时应注意小正方形的数目及位置．6．（4分）（2015•宁波校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解．【解答】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．7．（4分）（2017•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD 的面积为（）A．2 B．4 C．2D．4【分析】由点A、B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B的坐标，由两点间的距离公式即可求出AB的长度，再结合菱形的性质以及BC∥x轴即可求出菱形的面积．【解答】解：∵点A、B在反比例函数y=的图象上，且A，B两点的纵坐标分别为3、1，∴点A（1，3），点B（3，1），∴AB==2．∵四边形ABCD为菱形，BC与x轴平行，∴BC=AB=2，∴S=BC•（y A﹣y B）=2×（3﹣1）=4．菱形ABCD故选D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是求出菱形的边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，再由两点间的距离公式求出菱形的边长是关键．8．（4分）（2015•杭州模拟）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠B=50°，则下列判断不正确的是（）A．∠ACB=90° B．AC=2CDC．∠DAB=65° D．∠DAB+∠DCB=180°【分析】由AB是半圆的直径，可得∠ACB=90°；由点D是的中点，可得AC＜2CD，然后又圆的内接四边新的性质，可求得∠DAB=65°，∠DAB+∠DCB=180°．【解答】解：A、∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，故本选项正确；B、∵点D是的中点，∴AD=CD，∵AD+CD＞AC，∴AC＜2CD，故本选项错误；C、∵∠B=50°，∴∠D=180°﹣∠B=130°，∴∠DCA=∠DAC=25°，∵∠ACB=90°，∴∠BAC=40°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=65°，故本选项正确；D、∠DAB+∠DCB=180°．正确．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理及其推论及圆内弧、弦的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．10．（4分）（2015•岱岳区二模）如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC=3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（）A．B．C．D．【分析】连接OC、OD，过C做CE⊥OD于点E，得出四边形BCED为矩形，求出OE，求出cos ∠COE==，得出cos2A=，根据1﹣2sin2A=求出即可．【解答】解：连接OC、OD，过C作CE⊥OD于E，∵BD切⊙O于D，∴BD⊥OD，∵BC⊥BD，∴∠B=∠BDE=∠CED=90°，∴四边形CEDB是矩形，∴BC=DE=3，∵OD=，∴OE=OD﹣DE=﹣3=，∴cos∠COE===，∵∠COD为弧CD对的圆心角，∠A为弧CD对的圆周角，∴∠COD=2∠A，∴cos2A=，∵1﹣2sin2A=，∴sinA=，故选C．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出cos∠COE的值和得出∠COD=2∠A．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．12．（5分）（2017春•柯桥区期中）科学家发现一种病毒的直径为0.0000104米，用科学记数法表示为 1.04×10﹣5米．【分析】根据科学记数法的方法可以表示题目中的数据，从而可以解答本题．【解答】解：0.0000104=1.04×10﹣5，故答案为：1.04×10﹣5．【点评】本题考查科学记数法，解答本题的关键是明确科学记数法的方法．13．（5分）（2017春•柯桥区期中）若分式有意义，则x的取值范围为x≠6．【分析】根据分式有意义的条件得出x﹣6＞0，求出即可．【解答】解：要使有意义，必须x﹣6≠0，解得：x≠6，故答案为：x≠6．【点评】本题考查了分式有意义的条件，能根据已知得出x﹣6＞0是解此题的关键．14．（5分）（2017春•柯桥区期中）如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，点D在AB上，且∠ACD=∠B，则AD=4．【分析】根据∠ACD=∠B，∠A=∠A，从而可证明△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出AD的值．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AB=9，AC=6，∴AD=4故答案为：4【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是证明△ACD∽△ABC，本题属于基础题型．15．（5分）（2016•浙江二模）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．（1）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，则移动时间t=2+．（2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）．当d＜2时，求t的取值范围2﹣＜t＜2+2．【分析】（1）连接OO1，并延长交l2于点E，过点O1作O1F⊥l1于点F，当点O1，A1，C1恰好在同一直线上时，AA1﹣A1F=O1E；（2）当d=2时，⊙O与直线AC相切，且直线AC与⊙O相切有两种情况，①当直线AC在⊙O 的左边时，AA1+A1F=O1E；②当直线AC在⊙O的右边，AA1﹣A1F=O1E．【解答】解：（1）连接OO1，并延长交l2于点E，如图1，过点O1作O1F⊥l1于点F，∴由题意知：OO1=3t，AA1=4t，∵tan∠DAC=，∴∠DAC=60°，∴tan∠O1A1F=，∴A1F=，∵AA1﹣A1F=O1E，∴4t﹣=3t+2，∴t=2+；（2）当d=2时，此时⊙O与直线AC相切，当直线AC在⊙O的左边，如图2，由（1）可知，A1F=，∴AA1+A1F=O1E，∴4t+=3t+2，∴t=2﹣，当直线AC在⊙O的右边，如图3，此时，A1F=2∴AA1﹣A1F=O1E，∴4t﹣2=3t+2，∴t=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围为：2﹣＜t＜2+2．故答案为：（1）2+；（2）2﹣＜t＜2+2．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，锐角三角函数，解方程等知识，内容较为综合，考查学生灵活运用知识的能力．16．（5分）（2014•鹿城区校级二模）如图，点A，D是函数y=（k＞0，x＞0）图象上两点（点A在点D的左侧），直线AD分别交x，y轴于点E，F．AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点C，连结AO，BD．若BC=OB+CE，S△AOF+S△CDE=1，则S△ABD=．【分析】设A（a，），D（d，），则d＞a，B（a，0），C（d，0），由BC=OB+CE，得E（2d﹣2a ，0）．根据tan ∠AEB===，得出==，求出d=3a ，OF=，根据S △AOF +S △CDE =1，得到××a +×（2d ﹣2a ﹣d ）×=1，将d=3a 代入求出k=，根据S △ABD =S梯形ABCD﹣S △BCD 即可求解．【解答】解：设A （a ，），D （d ，），则d ＞a ，B （a ，0），C （d ，0）， ∵BC=d ﹣a ，BC=OB +CE ， ∴OE=2BC=2d ﹣2a ， ∴E （2d ﹣2a ，0）． ∵tan ∠AEB===，∴==，整理得3a 2﹣4ad +d 2=0， （a ﹣d ）（3a ﹣d ）=0， ∵a ﹣d ≠0， ∴3a ﹣d=0， ∴d=3a ． ∵=，∴OF=．∵S △AOF +S △CDE =1， ∴××a +×（2d ﹣2a ﹣d ）×=1，∴k=，∴S △ABD =S 梯形ABCD ﹣S △BCD=（+）（d ﹣a ）﹣××（d ﹣a ） =××（d ﹣a ）=××（3a﹣a）=．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，有一定难度．利用数形结合及方程思想是解题的关键．三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）（2017春•柯桥区期中）（1）计算：（﹣π）0﹣6tan30°+（）﹣2+|1﹣|．（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．【解答】解：（1）原式=1﹣6×+4+﹣1=4﹣；（2）解不等式①，得x≤10．解不等式②，得x＞7．∴原不等式组的解集为7＜x≤10．∴原不等式组的所有整数解为8，9，10．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，能利用数形结合求不等式组的解集是解答此题的关键．也考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂．18．（8分）（2013•十堰）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九（1）班的学生人数为40，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=10，n=20，表示“足球”的扇形的圆心角是72度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人），补全统计图如图所示；（2）∵×100%=10%，×100%=20%，∴m=10，n=20，表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；故答案为：（1）40；（2）10；20；72；（3）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，∴P（恰好是1男1女）==．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（8分）（2015•滕州市校级四模）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出EM的长进而得出EH的长；（2）利用已知得出△EPK∽△EAM，进而得出PK的长，再求出PR的长进而得出答案．【解答】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N，则四边形ABHM和MHCN都是矩形，∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°，又∵AB=AE=1.2米，∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米），∴EH≈2.24（米）；（2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米，下面计算PR是否小于2米；由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米，∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM，∴=，即=，∴PK=0.08（米），∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6=1.8+0.08≈1.94（米），∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用以及锐角三角函数关系，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．20．（8分）（2014•杭州模拟）如图，直线AB交双曲线于A，B两点，交x轴于点C，且BC=AB，=8，则k的值为多少？过点B作BM⊥x轴于点M，连结OA，若OM=3MC，S△OAC【分析】设B坐标为（a，b），将B坐标代入反比例解析式求出得到ab=k，确定出OM与BM的长，根据OM=3MC，表示出MC长，进而表示出三角形BOM与三角形BMC的面积，两面积之和表示出三角形BOC面积，由BC为AB的一半，不妨设点O到AC的距离为h，求出三角形BOC 与三角形AOB面积之比，确定出三角形AOC面积，利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值．【解答】解：设B（a，b），∵点B在函数y=上，∴ab=k，且OM=a，BM=b，∵OM=3MC，∴MC=a，∴S△BOM =ab=k，S△BMC=×ab=ab=k，∴S△BOC =S△BOM+S△BMC=k+k=k，∵BC=AB，不妨设点O到AC的距离为h，则===，∴S△AOB =2S△BOC=k，∴S△AOC =S△AOB+S△BOC=k+k=2k，∵S△AOC=8．∴2k=8，∴k=4．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．21．（10分）（2014•德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=，求DE的长．【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出==，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得=，再利用比例性质可计算出DE=．【解答】（1）解：∵AC为直径，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，∴BC==2，∵直径FG⊥AB，∴AP=BP=AB=2；（2）证明∵AP=BP，AO=OC∴OP为△ABC的中位线，∴OP=BC=1，∴=，而==，∴=，∵∠EOC=∠AOP，∴△EOC∽△AOP，∴∠OCE=∠OPA=90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）解：∵BC∥EP，∴∠DCB=∠E，∴tan∠DCB=tan∠E=在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，∴BD=3，∴CD==，∵BC∥EP，∴=，即=，∴DE=．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．22．（12分）（2017春•柯桥区期中）我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，即可解答；（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根据70≤x≤100，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），即可解答．【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，∴120﹣x≤50，∴x≥70，①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，综上所述，W=；（2）∵甲团队人数不超过100人，∴x≤100，∴W=﹣10x+9600，∵70≤x≤100，∴x=70时，W=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），最大∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）．答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1700元．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一次函数的性质求得最大值．注意确定x的取值范围．23．（12分）（2015•南昌）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=2，b=2．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=2，b=2．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到结果；（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论．（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG 是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD=，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．或构造出“中垂三角形”，利用（2）结论计算即可．【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=3，AP=PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=4．或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，因为AB=3，BC=1/2AD=根号5，根据上一问的结论，直接可求AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，注意类比思想在本题中的应用．24．（14分）（2017春•柯桥区期中）如图1，已知直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+4ax+b经过A．C两点，且与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在抛物线上，且△AQC与△BQC面积相等，求点Q的坐标；（3）如图2，P为△AOC外接圆上弧ACO的中点，直线PC交x轴于点D，∠EDF=∠ACO，当∠EDF绕点D旋转时，DE交直线AC于点M，DF交y轴负半轴于点N．请你探究：CN﹣CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．【分析】（1）先求得点A和点C的坐标，然后将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式求得a、b 的值即可；（2）先求得点B的坐标，当Q在直线AC上方的抛物线上时．△ACQ和△BCQ为同底的三角形，则QC∥AB，依据抛物线的对称性质可求得点Q的坐标；当Q在直线AC下方的抛物线上时．设直线CQ与x轴于点L，由△ACQ的面积等于△BCQ的面积，可知AL=BL，然后求得CL的解析式，最后求得LC与抛物线的交点坐标即可；（3）设△AOC的外接圆圆心为S，连接SP，作∠NDR=∠PDE，交y轴于点R，先证明△SCP∽△DCR，则CD=DR，依据等腰三角形三线合一的性质可知OC=OR=2．然后再证明△DCM≌△DRN，则CM=RN，最后证明CN﹣CM=CR即可．【解答】解：（1）把x=0代入直线的解析式得：y=2，∴C（0，2）．把y=0代入直线的解析式得：x+2=0，解得：x=﹣5，∴A（﹣5，0）．将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2．（2）令y=0得：﹣x2﹣x+2=0，解得x=1或x=﹣5，∴B（1，0）．如图1所示：当Q在直线AC上方的抛物线上时．∵△ACQ和△BCQ为同底的三角形，且它们的面积相等，∴点A和点B到直线CQ的距离相等．∴QC∥AB．∵抛物线的对称轴为x=﹣2，∴点Q与点C关于x=﹣2对称，∴Q（﹣4，2）．如图2所示：当Q在直线AC下方的抛物线上时．设直线CQ与x轴于点L，则△ACQ的面积=AL•|y C﹣y Q|，△BCQ的面积=BL•|y C﹣y Q|．∵△ACQ的面积等于△BCQ的面积，∴AL=BL．∴L（﹣2，0）．设直线LC的解析式为y=kx+b，将点C和点L的坐标代入得：，解得k=1，b=2．。