专题 不等式的性质及解法
考点精要
（1）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
（2）一元二次不等式
①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题。 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二次一次不等式组。 ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 （4）基本不等式：
2
a b
+≥a ≥0，b ≥0） ①了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 1、常用的基本不等式和重要的不等式
（1）2,a R a ∈≥ ，a ≥ ，当且仅当”取“==,0a （2）22,,a b R a b ∈+≥则 ， （3）+∈R b a ,，则a b +≥ ，
（4）222a b + 2()2
a b +
2、最值定理:设,x y 均为正数，由x y +≥
（1）如xy P =（定值），则和x y +有最小值
（2）如和x y S +=（定值），则积xy 有最大值2
2
S （）
热点分析
不等式是中学数学中的重点内容，是进一步学习数学知识的基础和工具之一，所以不等式知识是高考考试的重要内容，在试卷中占有较大的比重，高考中不仅直接考察不等式的基础知识，如不等式的性质，均值不等式、解不等式等，通过它们重点考察基础知识，基本技能和基本方法；也经常把不等式的知识融汇到函
数导数、数列解析等其他知识中去进行考察，这时综合性较强，有一定难度。
例题精讲:
例1 已知a ，b ，c ，d 为实数，以下四个命题中：
（1）若ac 2>bc 2，则a >b ， （2）若a ab >b 2
（3）若a>b >0，c>d >0>
（4）若0 a a x +<+ 其中真命题的序号是________________ 例2 函数y=a 1-x （a >0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny -1=0上（mn >0），则11 m n +的最小值为_________ 例3、若正数,x y 满足21,x y +=求11 x y +的最小值 例4 10、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ． 例5 解下列不等式 （1）-x 2+5x -6>0 （2） 2031 x x +>- （3）9x 2-6x +1>0 （4）x 2 -4x +5>0 （5）2 35 223 x x x -≥+- （6）|1||4|y x x =-++； 例 6 分式不等式的解法 先将不等式整理成()0()g x f x >或() 0() g x f x ≥的形式，再转化为整式不等式求解。即： ()0____________()g x f x >?。() 0____________() g x f x ≥?。。 练习：例1、不等式235 023 x x x -≤+-的解集为 。 例2、不等式2 2 043 x x x -<++的解集为 。 一元高次不等式的解法 一元高次不等式()0f x >，用数轴标根法求解，其步骤是 （1）将()f x 的最高次项的系数化为正数 （2）将()f x 分解为若干个因式之积 （3）在数轴上标出()0f x =的根 （4）从右至左，从上至下穿线，奇次穿过，偶次不穿过 （5）写出解集 练习：解不等式：23(4)(5)(2)0x x x ++-< 三、指对不等式的解法 例1、若2 21log 01a a a +<+，则a 的取值范围是 。 例2、不等式组2 2|2|2 log (1)1x x -?的解集为 。 针对训练 1．已知a ，b ，c 满足c A ．ab>ac B ．c (b -a )<0 C ．cb 2 D ．ac (a -c )>0 2．若a=3log π，b=log 76，c=log 20.8，则（ ） A ．a>b>c B ．b>a>c C ．c>a>b D ．b>c>a 3．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a+c >b+d B ．a -c >b -d C ．ac>bd D ． a b d c > 4．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．设函数f (x )=2x +11x -（x <0），则f (x ) （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 6．若x >0，则2 x x +的最小值是___________ 7．已知x ≥5 2 ，则f (x )=24524x x x -+-有（ ） A ．最大值54 B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1 8．不等式 211 11 x x ≤ --的解集为（ ） A ．(1, +∞) B ．[0, +∞) C ．[0, 1)∪(1, +∞) D ．(-1, 0)∪(1, +∞) 9．若不等式x 2-2x +3≤a 2-2a -1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是_________ 10．不等式2 21 x x + >+的解集是（ ） A ．(-1, 0)∪(1, +∞) B ．(-∞, -1)∪(0, 1) C ．(-1, 0)∪ (0, 1) D ．(-∞, -1)∪(1, +∞) 11．不等式1<|x +1|<3的解集为（ ） A ．(0, 2) B ．(-2, 0)∪(2, 4) C ．(-4, 0) D ．(-4, -2) ∪(0, 2) 12．不等式组221030x x x ?- ?- 的解集为（ ） A ．{x |-1 B ．{x |0 C ．{x |0 D ．{x |-1 13．不等式 1 x x -≥2的解集为（ ） A ．[-1, 0) B ．[-1, +∞) C ．(-∞, -] D ．(-∞ , -1] ∪(0, +∞) 14．若不等式|ax +2|<6的解集为(-1, 2)，则实数a 等于（ ） A ．8 B ．2 C ．-4 D ．-8 15．不等式lg(x 2+2x +2)<1的解集是____________ 16．不等式|x +2|≥|x |的解集是_____________ 17．不等式x+x 3≥0的解集是_________________ 答案 例1 ①②③ 例2 4 例3 （1）{x |2 } （3） {x |x ≠13 } （4）x ∈R （5）{x -3 2 ≤x <1} 针对训练 1．A 2．A 3．A 4．D 5．A 6．7．D 8．D 9．{a |-1 高考链接 1（09北京文）设集合21 {|2},{1}2 A x x B x x =-<<=≤，则A B = A ．{12}x x -≤< B ．1 {|1}2 x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤< 2（06北京）设集合A ={}312＜+x x ，B ={}23＜＜x x -，则A ?B 等于 (A) {}23＜＜x x - (B) {}21＜＜x x (C) 3-＞x x (D) 1＜x x 3（08北京文）不等式 12 1 >+-x x 的解集是 . 4（山东）若x >0，则2x x +的最小值是___________ 5（全国）已知x ≥5 2 ，则f (x )=24524x x x -+-有（ ） A ．最大值54 B ．最小值5 4 C ．最大值1 D ．最小值1 6（上海）不等式 211 11 x x ≤ --的解集为（ ） A ．(1, +∞) B ．[0, +∞) C ．[0, 1)∪(1, +∞) D ．(-1, 0)∪(1, +∞) 7（全国）若不等式x 2-2x +3≤a 2-2a -1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是_________ 8（全国）不等式2 21 x x + >+的解集是（ ） A ．(-1, 0)∪(1, +∞) B ．(-∞, -1)∪(0, 1) C ．(-1, 0)∪ (0, 1) D ．(-∞, -1)∪(1, +∞) 答案1 略 2 A 3{}|2x x <- 4 5．D 6．D 7．{a |-1 8．A 不等式的基本性质练习及答案 1．若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B ．x ＋3＞y ＋3 C ．－3x ＞－3y D.x 3＞y 3 2．下列不等式变形正确的是( ) A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得－2a ＞－2b C ．由a ＞b 得－a ＜－b D ．由a ＞b 得a －2＜b －2 3．下列变形中，不正确的是( ) A ．由x －5＞0可得x ＞5 B ．由1 2x ＞0可得x ＞0 C ．由－3x ＞－9可得x ＞3 D ．由－34x ＞1可得x ＜－4 3 4．因为－1 3x ＞1，所以x －3(填“＞”或“＜”)，依据 是 . 5．用不等号填空：(1)若a ＞b ，则ac 2 bc 2；(2)若a ＞b ，则3－2a 3－2b . 6．把不等式2x ＞3－x 化为x ＞a 或x ＜a 的形式是( ) A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＞1 D ．x ＜1 7．小明的作业本上有四道利用不等式的性质，将不等式化为x ＞a 或x ＜a 的作业题：①由x ＋7＞8解得x ＞1；②由x ＜2x ＋3解得x ＜3；③由3x －1＞x ＋7解得x ＞4；④由－3x ＞－6解得x ＜－2.其中正确的有( ) A ．1题 B ．2题 C ．3题 D ．4题 8．根据不等式的基本性质，可将“mx ＜2”化为“x ＞2 m ”，则m 的取值范围 是 . 9．已知x 满足－5x ＋5＜－10，则x 的范围是 . 10．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式： (1)2x＞－4; (2)x－4＜－2； (3)－2x＜1; (4)1 2 x＜2. 11．某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件，如果商店销售这些商品时，每件定价为x 元，则会获得不少于12%的利润，用不等式表示以上问题中的不等关系，并把这个不等式变形为“x≥a”或“x≤a”的形式． 12．某商贩去菜摊买西红柿，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又 买了20斤，价格为每斤y元，后来他以每斤x＋y 2 元的价格卖完后．发现自己赔 了钱，你知道是什么原因吗？ 答案： 1. C 高中数学-不等式的基本性质（一）练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b 第五讲 不等式的解法、性质与证明 一、不等式的性质： ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>，; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若a>b ，则ac 2>bc 2 ； （2）若 a c 2>b c 2 ，则a>b ； （3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b ； （4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ； （5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ； （6）若a>b>0，则a a >a b ；（7）若a>b>0，则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2 ；3）11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数，试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是（ D ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 初中精品试卷 3.2 不等式的基本性质 ◆回顾探索 1．不等式性质 1，如果 a>b ，那么 a ±b______b ±c ，如果 ab ，并且 c____0，那么 ac>bc ． 3．不等式性质 3，如果 a>b ，并且 c_____0，那么 ac 2．2 《不等式的基本性质》练习题 一、选择题（每题4分，共32分） 1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ） A 、m －9＜n －9 B 、－m ＞－n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0a b < D 、－a ＞－b 3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜b a ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a≤0 B 、a ＜0 C 、a≥0 D 、a ＞0 4、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ） A 、a ＋t ＞a B 、a ＋t ＜a C 、a ＋t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--，则a 必须满足（ ） A 、a≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ） a 0b c A 、cb ＞ab B 、ac ＞ab C 、cb ＜ab D 、c ＋b ＞a ＋b 7、有下列说法： （1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0； （3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ； （5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y --<， 则x ＞y 。 其中正确的说法有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系（ ） A 、2a ＜3a B 、2a ＞3a C 、2a ＝3a D 、不能确定 二、填空题（每题4分，共32分） 9、若m ＜n ，比较下列各式的大小： （1）m －3______n －3 （2）－5m______－5n 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 一元一次不等式性质姓名： 1、下列式子中（）是不等式 1、2 ①x-4＞6 ②-3＞5 ③2x-y=0 ④s=ut ⑤2a-v ⑥x≠ x>1的解有 , 5，2，5/3 2、在下列各数 -2、5、0、2、5/3、4/3中，是不等式2 3 x>1的解有。 -2 是不等式-2 3 3、用不等式表示下列关系： a-b<6 x≥0 ① a-b是负数② x是非负数 ③ m不大于-5 ④ x的5倍大于2 m≤-5 5x>2 4、直接写出不等式的解集： ①x+3＞8的解集，②2x＜-10的解集， ③0.5x＞7的解集。 x>5 x<-5 x>14 一元一次不等式性质姓名： 1、下列式子中（）是不等式 ①x-4＞6 ②-3＞5 ③2x-y=0 ④s=ut ⑤2a-v ⑥x≠ x>1的解有 , 2、在下列各数 -2、5、0、2、5/ 3、4/3中，是不等式2 3 x>1的解有。 是不等式-2 3 3、用不等式表示下列关系： ① a-b是负数② x是非负数 ③ m不大于-5 ④ x的5倍大于2 4、直接写出不等式的解集： ①x+3＞8的解集，②2x＜-10的解集， ③0.5x＞7的解集。 5、不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） D -3 0 3 -3 0 3 A B C D 6、在数轴上表示下列不等式的解集： ①x ≥2 ②x ＜-1/2 ③x ＜3/4 7、下列命题是真命题的是 （ ） A A 、不等式x+1＜2的解有无数个 B 、 -1，12，19都是不等式0.5x-6<0的解。 C 、不等式x+1＜4的解集是x=3 D 、不等式x+2＞1的解集是x ＞0 8、用不等式表示。 X ≤3, a ≤0 ○1、x 的值不超过3. ○2、a 为非正数。 2 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 《不等式的性质》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若a＜b，则下面可能错误的变形是（） A．6a＜6b B．a+3＜b+4C．ac+3＜bc+3D．﹣ 2．（5分）已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（） A．4a＜4b B．﹣2a+4＜﹣2b+4 C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣4＜3b﹣4 3．（5分）下列式子一定成立的是（） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1） 4．（5分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．2﹣a＜2﹣b D． 5．（5分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（） A．a+7＜b+7B．C．﹣5a＞﹣5b D．9a﹣2＞9b﹣2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是． 7．（5分）已知a＞b，则﹣4a+5﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 8．（5分）若x＞y，则﹣x﹣2﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“＝”）9．（5分）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a2﹣3b．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．（5分）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m， 最小值为n，则m﹣n＝． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？ 12．（10分）阅读下列材料： 解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围． 13．（10分）根据不等式的基本性质，把﹣2x＜15化成“x＞a”或“x＜a”的形式． 14．（10分）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 15．（10分）根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）10x﹣1＞7x； （2）﹣x＞﹣1． 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： A ．a<1< B ．a< <1 C ． 不等式的基本性质 1、不等式的基本性质1：如果a>b，那么a+c____b+c，a－c____b－c． 不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc． 不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc． 2、设a 1、已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x< 2 1-a，则1－a是____数． 2、已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是 A．3b 高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时，abacbc c0时，abac 运算性质有： (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。 (4)ab0(nN,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 9.1.2《不等式的性质》同步练习题（1） 知识点： 1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b，那么a±c>b±c． 2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变， 用式子表示：如果a > b，c>0，那么ac > bc 或a c > b c ． 3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变， 用式子表示：a>b，c<0，那么，ac < bc 或a c < b c ． 。 二、知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 同步练习： 1.用a＞b，用“＜”或“＞”填空： ⑴ a＋2 b＋2 ⑵ 3a 3b ⑶－2a －2b⑷ a－b 0 ⑸－a－4 －b－4 ⑹ a－2 b－2； 2. 用“＜”或“＞”填空： ⑴若a－b＜c－b，则a c ⑵若3a＞3b，则a b⑶若－a＜－b，则a b ⑷若2a＋1＜2b＋1，则a b 3.已知a＞b，若a＜0则2a a b，若a＞0则2a a b； 4. 用“＜”或“＞”填空：不等式的基本性质练习及答案
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