高中数学不等式的性质及解法专项练习

第一讲不等式的性质与解法题组1不等式的性质1.[2015浙江,3,5分][文]设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.[2015浙江,6,5分][文]有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz3.[2013北京,2,5分][文]设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bcB.1a <1bC.a2>b2D.a3>b3题组2不等式的解法4.[2017全国卷Ⅰ,5,5分]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]5.[2013重庆,7,5分][文]关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=()A.52B.72C.154D.1526.[2015广东,11,5分][文]不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)7.[2014江苏,10,5分][文]已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.A组基础题1.[2018贵阳市摸底考试,1]设集合A={x|(x-1)(x+2)<0},B={x|x+1x-3<0},则A∪B=()A.(-2,1)B.(-2,3)C.(-1,3)D.(-1,1)2.[2018豫南九校第二次联考,8]若0<b<a<1,则下列结论不成立的是()A.1a <1bB.√a>√bC.a b>b aD.log b a>log a b3.[2018武汉市部分学校调研测试,7]已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有()A.ax >byB.sin ax>sin byC.log a x>log b yD.a x>b y4.[2018惠州市二调,4]“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m>14B.0<m<1C.m>0D.m>15.[2018全国名校第二次联考,15]已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f (x )=-x+2,那么不等式f (x )+1<0的解集是 .6.[2018长春市高三第一次质量监测,13]已知角α,β满足-π2<α-β<π2,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是 . B 组提升题7.[2017惠州市三调,12]已知函数f (x )=x sin x+cos x+x 2,则不等式f (ln x )+f (ln 1x )<2f (1)的解集为( )A .(e,+∞)B .(0,e)C .(0,1e)∪(1,e) D .(1e,e)8.[2018南宁市摸底联考,15]已知函数f (x )=(e x -e -x )x (e 为自然对数的底数),f (log 3x )+f (log 13x )≤2f (1),则x 的取值范围是 .9.[2018南昌市摸底调研,16]已知函数f (x )={ln (x +1),x >0,-x 2+3x ,x ≤0,若不等式|f (x )|-mx+2≥0恒成立,则实数m 的取值范围为 .10.[2017云南省高三统一检测,16]已知函数f (x )={3x 2+ln (√1+x 2+x ),x ≥0,3x 2+ln (√1+x 2-x ),x <0,若f (x-1)<f (2x+1),则x 的取值范围为 .答案1.D 若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.选D .2.B 采用特值法进行求解验证即可,若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=14,az+by+ cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=13.由此可知最低的总费用是az+by+cx.选B .3.D 对于A 选项,若c<0,结论显然不正确;对于B 选项,若a>0,b<0,则1a <1b 显然不正确;对于C 选项,若a=1,b=-3,则a 2>b 2显然不正确.选D .4.D ∵f (x )为奇函数,且f (1)=-1,∴f (-1)=-f (1)=1,∵函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且-1≤f (x-2)≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x ≤3,故选D .5.A 由条件知x 1,x 2为方程x 2-2ax-8a 2=0的两根,则x 1+x 2=2a ,x 1x 2=-8a 2,故(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(2a )2-4×(-8a 2)=36a 2=152,解得a=52,故选A . 6.(-4,1) -x 2-3x+4>0⇒(x+4)(x-1)<0⇒-4<x<1.7.(-√22,0) 因为f (x )<0对于x ∈[m ,m+1]恒成立,所以{f(m)=2m 2-1<0,f(m +1)=2m 2+3m <0,解得-√22<m<0.A 组基础题1.B A={x|-2<x<1},B={x|-1<x<3},所以A ∪B={x|-2<x<3},故选B .2.D 对于A, 函数y=1x 在(0,+∞)上单调递减,所以当0<b<a<1时,1a <1b 恒成立;对于B, 函数y=√x 在(0,+∞)上单调递增,所以当0<b<a<1时,√a >√b 恒成立;对于C, 函数y=a x (0<a<1)单调递减,函数y=x a (0<a<1)单调递增,所以当0<b<a<1时,a b >a a >b a 恒成立;当a=12,b=14时,log a b=2,log b a=12,log a b>log b a ,D 选项不成立,故选D .3.D 对于A 选项,不妨令x=8,y=3,a=5,b=4,显然58=a x <b y =43,A 选项错误;对于B 选项,不妨令x=π,y=π2,a=2,b=32,此时sin ax=sin 2π=0,sin by=sin 3π4=√22,显然sin ax<sin by ,B 选项错误;对于C 选项,不妨令x=5,y=4,a=3,b=2,此时log a x=log 35,log b y=log 24=2,显然log a x<log b y ,C 选项错误;对于D 选项,∵a>b>1,x>y>0,∴a x >b x ,b x >b y ,∴a x >b y ,D 选项正确. 综上,选D .4.C 不等式x 2-x+m>0在R 上恒成立⇔Δ<0,即1-4m<0,∴m>14,同时要满足“必要不充分”,在选项中只有“m>0”符合.故选C .5.{x|x>0} 由题意知,函数y=f (x )的定义域为R,当x<0时,f (x )=-x+2,则当x>0时,-x>0,所以f (-x )=x+2,又函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x-2,即f (x )={-x +2,x <0,0,x =0,-x -2,x >0,因此不等式f (x )+1<0等价于{x <0,-x +2+1<0或{x =0,0+1<0或{x >0,-x -2+1<0,解得x>0.故不等式f (x )+1<0的解集为{x|x>0}.6.(-π,2π) 设3α-β=m (α-β)+n (α+β)=(m+n )α+(n-m )β,则{m +n =3,n -m =-1,解得{m =2,n =1.因为-π2<α-β<π2,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π. B 组提升题7.D 由f (x )=x sin x+cos x+x 2,可知f (-x )=f (x ),即f (x )是偶函数,所以f (ln 1x )=f (-ln x )=f (ln x ),所以f (ln x )+f (ln 1x )<2f (1)可变形为f (ln x )<f (1).f '(x )=x cos x+2x=x (2+cos x ),因为2+cos x>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f (ln x )<f (1)等价于-1<ln x<1,所以1e<x<e .故选D .8.13≤x ≤3 ∵f (x )=(e x -e -x )x ,∴f (-x )=(e -x -e x )(-x )=(e x -e -x )x=f (x ),即函数f (x )是偶函数.∵ f '(x )=(e x -e -x )+x (e x +e -x )≥0在[0,+∞)上恒成立,∴函数f (x )在[0,+∞)上单调递增.由f (log 3x )+f (log 13x )≤2f (1),得2f (log 3x )≤2f (1),即f (log 3x )≤f (1),∴|log 3x|≤1,解得13≤x ≤3.9.[-3-2√2,0] 由f (x )={ln (x +1),x >0,-x 2+3x ,x ≤0知|f (x )|={ln (x +1),x >0,x 2-3x ,x ≤0,不等式|f (x )|-mx+2≥0恒成立,即|f (x )|≥mx-2恒成立.令g (x )=|f (x )|,h (x )=mx-2,则原不等式恒成立等价于y=h (x )的图象不在y=g (x )图象的上方.h (x )=mx-2是过定点(0,-2)的直线系.如图D 7-1-3,图D 7-1-3l 1与x 轴平行,l 2与曲线y=x 2-3x (x ≤0)相切,易知直线l 1的斜率k 1=0,设直线l 2的斜率为k 2,联立方程,得{y =k 2x -2,y =x 2-3x ⇒x 2-3x-k 2x+2=0,即x 2-(3+k 2)x+2=0,则Δ=(3+k 2)2-4×2=0,故k 2=-2√2-3(2√2-3舍去),结合图象易知m 的取值范围为[-3-2√2,0].10.(-∞,-2)∪(0,+∞) 若x>0,则-x<0,f (-x )=3(-x )2+ln(√1+(-x )2+x )=3x 2+ln(√1+x 2+x )=f (x ),同理可得,当x<0时,f (-x )=f (x ),且x=0时,f (0)=f (0),所以f (x )是偶函数.因为当x>0时,函数f (x )单调递增,所以不等式f (x-1)<f (2x+1)等价于|x-1|<|2x+1|,整理得x (x+2)>0,解得x>0或x<-2.。

高一数学不等式练习题在高中数学的学习中，不等式是基础而重要的概念之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些高一数学不等式的练习题，供同学们练习和巩固知识。

练习题一：解绝对值不等式1. 解不等式 |x - 3| < 2。

2. 解不等式|x + 4| ≥ 5。

练习题二：解一元一次不等式3. 解不等式 3x - 5 > 10。

4. 解不等式 -2x + 1 ≤ -4。

练习题三：解一元二次不等式5. 解不等式 x^2 - 4x + 3 > 0。

6. 解不等式 2x^2 + 5x - 3 ≤ 0。

练习题四：解含有分式的不等式7. 解不等式 \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\)。

8. 解不等式 \(\frac{2x - 3}{x^2 - 1} < 0\)。

练习题五：解含有根式的不等式9. 解不等式 \(\sqrt{x} - 2 < 0\)。

10. 解不等式 \(\sqrt{2x + 3} ≥ x\)。

练习题六：解含有指数和对数的不等式11. 解不等式 \(2^x > 8\)。

12. 解不等式 \(\log_2(x - 1) < 1\)。

练习题七：解不等式组13. 解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 0 \\3 - 2x ≥ 4\end{cases}\]14. 解不等式组：\[\begin{cases}3x - 1 < 5x + 2 \\x^2 - 4x + 4 ≤ 0\end{cases}\]练习题八：应用题15. 某工厂需要生产一批零件，每件零件的成本为 \(c\) 元，售价为\(s\) 元。

若工厂希望每件零件的利润不低于 5 元，求 \(c\) 和\(s\) 之间的关系。

16. 某公司计划购买一批电脑，每台电脑的价格不超过 3000 元。

如果公司希望每台电脑的利润率不低于 20%，求电脑的最低进价。

1.3.1不等式性质一、单选题1．设a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b<B ．22ac bc <C ．b a a b>D ．22a ab b >>2．已知0x a <<，下列不等式一定成立的是（）A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax>>3．若,a b c d >>，则下列关系一定成立的是（）A ．ac bd >B ．ac bc >C ．a c b d+>+D ．a c b d->-4．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b c+>-B ．22ac bc>C ．2c a b>-D ．2()0a b c -≥5．若0a b >>，0m <．则下列不等式成立的是（）A ．a m ab m b->-B ．a m ab m b-<-C ．1ma b>-D ．22am bm <6．若0,10a b <-<<，则下列不等关系一定正确的是（）A ．a b<B ．2a b <C ．a b>D ．0a b +>7．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．[]28,B ．[]3,8C ．[]2,7D ．[]5,108．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则11a b<C ．若22ac bc >，则a b >D ．若a b >，则22a b >9．下列选项正确的是（）A ．a 与b 的差不是正数用不等式表示为a -b <0B ．a 的绝对值不超过3用不等式表示为a ≤3C ．(x -3)2<(x -2)(x -4)D ．x 2+y 2+1>2(x +y -1)10．已知a >b >c ，则1a b -+1b c -+1c a-的值（）A ．为正数B ．为非正数C ．为非负数D ．不确定二、填空题11．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）．12（填<或>）.13．设46,12a b <<<<，则aa b-的取值范围是________（取值范围写成区间形式）14．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 4>b 4；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题序号是_______.三、解答题15．已知54x -<<，23y <<.求（1）2x y -的取值范围；（2）32x y +的取值范围.16．（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>.参考答案1．D 【分析】对于ABC ，通过举反例判断即可，对于D ，利用不等式的性质判断【详解】解：对于A ，若2,1a b =-=-，则11112a b=->=-，所以A 错误，对于B ，当0c =时，220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，若2,1a b =-=-，则1122221b a a b --==<==--，所以C 错误，对于D ，因为0a b <<，所以2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，所以D 正确，故选：D 2．B 【分析】根据不等式的性质判断．【详解】220,0,0,x a x a x ax ax a <<<<⇒>>，即22x ax a >>故选：B ．3．C 【分析】利用基本不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得到答案；【详解】对A ，当0,0a b c d ac bd >>>>⇒>，故A 错误；对B ，当0c >时，ac bc >，故B 错误；对C ，同向不等式的可加性，故C 正确；对D ，若2,1,0,31,4a b c d a c b d ====-⇒-=-=，不等式显然不成立，故D 错误；故选：C.4．D 【分析】作差法比较大小，再取值验算.【详解】因为()22a c b c a b c c +--=-+>，当取1,0,2a b c ===-时，1a c +=-，2b c -=，有a c b c +<-.故选项A 错误；因为()2220ac bc a b c -=-≥，20c a b≥-，当取0c =时，22ac bc =，20c a b=-，故选项B 错误，选项C 错误，选项D 正确.故选：D.5．B 【分析】根据已知条件，由作差比较法得0a m ab m b--<-，从而可判断选项B 正确.【详解】解：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m -------=---， 0a b >>，0m <，∴0b a -<，0m ->，()0b b m ->，∴0a m ab m b--<-，即a m ab m b -<-，所以选项A 不正确，选项B 正确；而选项C 、选项D ，由不等式的性质易判断不正确．故选：B ．6．B 【分析】根据正负直接选出正确答案.【详解】0a <，20b >，所以2a b <故选：B 7．A 【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，利用待定系数法求得,m n ，利用不等式的性质即可求32x y -的取值范围.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1532()()22x y x y x y -=+--，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以[]1532()()2,822x y x y x y -=+--∈，故选：A.8．C 【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A ：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B ：取1,1a b ==-进行否定；对于C ：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D ：取1,1a b ==-进行否定.【详解】对于A ：当a b >时，若取0c ≤，则有ac bc ≤.故A 不正确；对于B ：当a b >时，取1,1a b ==-时，有11a b>.故B 不正确；对于C ：当22ac bc >，两边同乘以21c ，则a b >.故C 正确；对于D ：当a b >，取1,1a b ==-时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.9．D 【分析】用做差法比较大小，即可做出判断.【详解】A.a 与b 的差不是正数用不等式表示为a -b ≤0，故A 错误；B.a 的绝对值不超过3用不等式表示为|a |≤3，故B 错误；C.(x -3)2-(x -2)(x -4)=1>0，所以(x -3)2>(x -2)(x -4)，故C 错误；D .x 2+y 2+1-2(x +y -1)=(x -1)2+(y -1)2+1>0，所以x 2+y 2+1>2(x +y -1)，故D 正确.故选：D 10．A 【分析】利用不等式的性质判断即可【详解】因为a >b >c ，所以a -b >0，b -c >0，a -c >b -c >0，所以1a b ->0，1b c ->0，1a c-<1b c -，所以1b c -+1c a ->0，所以1a b -+1b c -+1c a ->0，所以1a b -+1b c -+1c a-的值为正数.故选：A 11．＜【分析】根据不等式的性质计算可得；【详解】解：因为a b >，所以a b -<-故答案为：<12．<【分析】比较6、6.【详解】6328==Q，6239==，则66<<故答案为：<.13．(0,3)【分析】利用不等式的性质求解即可【详解】解：由12b <<，得1112b<<，所以1112b -<-<-，所以1111112b -<-<-，即11012b <-<，因为46a <<，所以1140(1)62a b ⨯<-<⨯，即03aa b<-<，所以aa b-的取值范围是(0,3)，故答案为：(0,3)14．②③【分析】对于①，举反例判断；对于②，利用不等式的性质判断即可；对于②，作差判断；对于④，举反例即可【详解】解：①当c 2=0时不成立.②因为0a b >≥，所以22a b >，即22a b >，所以44a b >，所以②正确③当a >b 时，a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)=(a -b )·22324b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0成立.④当b <0时，不一定成立.如：|2|>-3，但22<(-3)2.故答案为：②③15．（1）1120x y -<-<；（2）113218x y -<+<.【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】解：（1）因为23y <<，所以624y -<-<-，所以()()56244x y -+-<-<+-，即1120x y -<-<.（2）因为54x -<<，23y <<，所以15312x -<<，426y <<，所以113218x y -<+<.【点睛】本题考查不等式的基本性质及应用，属于简单题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据c d <不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到c d ->-,再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得10ab>,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>,再用同向同正可乘性得出结果.【详解】证明：（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-.（2）因为0ab >，所以10ab>.又因为a b >，所以1a b ab ab 1⋅>⋅，即11b a >，因此11a b<.（3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>.又因为0a b >>，则11a b c d⋅>⋅，即a b c d>.【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。

高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。

为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。

1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。

2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。

【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。

因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。

【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。

解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。

所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。